《2019年数学新同步湘教版必修2第2章 2．3.2 第二课时 直线与抛物线的位置关系.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019年数学新同步湘教版必修2第2章 2．3.2 第二课时 直线与抛物线的位置关系.doc（12页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第二课时第二课时 直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系读教材读教材填要点填要点直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系设直线设直线 l：ykxm，抛物线：，抛物线：y22px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于关于 x 的方程：的方程：ax2bxc0，(1)若若 a0，当当 0 时，直线与抛物线时，直线与抛物线相交相交，有，有两个两个交点；交点；当当 0 时，直线与抛物线时，直线与抛物线相切相切，有，有一个一个交点；交点；当当 0 时，直线与抛物线时，直线与抛物线相离相离，无无公共点公共点(2)若若 a0，直线与抛物线有，直线与抛物线有一
2、个一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合合小问题小问题大思维大思维若直线与抛物线有且只有一个公共点，则直线与抛物线有什么样的位置关系？若直线与抛物线有且只有一个公共点，则直线与抛物线有什么样的位置关系？提示：提示：直线与抛物线相切时，只有一个公共点，反过来，当只有一个公共点时，直线直线与抛物线相切时，只有一个公共点，反过来，当只有一个公共点时，直线与抛物线相切或直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合与抛物线相切或直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系若直线若直线 l：y(a1)x1 与曲线与
3、曲线 C：y2ax 恰好有一个公共点，试求实数恰好有一个公共点，试求实数 a的取值集合的取值集合自主解答自主解答 因为直线因为直线 l 与曲线与曲线 C 恰好有一个公共点，所以方程组恰好有一个公共点，所以方程组Error!Error!有唯一一组实有唯一一组实数解数解消去消去 y，得，得(a1)x12ax，整理得整理得(a1)2x2(3a2)x10.(1)当当 a10，即，即 a1 时，方程时，方程是关于是关于 x 的一元一次方程，解得的一元一次方程，解得 x1，这时，这时，原方程组有唯一解原方程组有唯一解Error!Error!(2)当当 a10，即，即 a1 时，方程时，方程是关于是关于 x
4、 的一元二次方程的一元二次方程令令 (3a2)24(a1)2a(5a4)0，解得解得 a0 或或 a .45当当 a0 时，原方程组有唯一解时，原方程组有唯一解Error!Error!当当 a 时，原方程组有唯一解时，原方程组有唯一解Error!Error!45综上，实数综上，实数 a 的取值集合是的取值集合是.1， ，45， ，0若将若将“曲线曲线 C：y2ax 恰有一个公共点恰有一个公共点”改为改为“抛物线抛物线 C：y2ax(a0)相交相交” ，如何，如何求解？求解？解：解：列方程组列方程组Error!Error!消去消去 x 并化简，并化简，得得(a1)y2aya0.(*)当当 a10
5、 即即 a1 时：方程时：方程(*)化为化为 y10，y1.方程组的解为方程组的解为Error!Error!故直线与抛物线相交故直线与抛物线相交当当 a10 即即 a1 时，时，由由 (a)24a(a1)0，得，得5a24a0，结合，结合 a0，解得解得 a 或或 a0.45综上所述，实数综上所述，实数 a 的取值范围是的取值范围是(0，)(， ，45直线与抛物线的位置关系有三种，即相交、相切、相离，这三种位置关系可通过代数直线与抛物线的位置关系有三种，即相交、相切、相离，这三种位置关系可通过代数法借助判别式判断当直线与抛物线的对称轴平行或重合时直线与抛物线也是相交，此时法借助判别式判断当直线
6、与抛物线的对称轴平行或重合时直线与抛物线也是相交，此时只有一个交点只有一个交点1.如图，直线如图，直线 l：yxb 与抛物线与抛物线 C：x24y 相切于点相切于点 A.(1)求实数求实数 b 的值；的值；(2)求以点求以点 A 为圆心，且与抛物线为圆心，且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程的准线相切的圆的方程解：解：(1)由由Error!Error!得得 x24x4b0，(*)因为直线因为直线 l 与抛物线与抛物线 C 相切，相切，所以所以 (4)24(4b)0.解得解得 b1.(2)由由(1)可知可知 b1，故方程，故方程(*)为为 x24x40.解得解得 x2，代入，代入 x24y，得，
7、得 y1，故点故点 A(2,1)因为圆因为圆 A 与抛物线与抛物线 C 的准线相切，的准线相切，所以圆所以圆 A 的半径的半径 r 就等于圆心就等于圆心 A 到抛物线的准线到抛物线的准线 y1 的距离的距离即即 r|1(1)|2.所以圆所以圆 A 的方程为的方程为(x2)2(y1)24.弦长、中点弦问题弦长、中点弦问题已知顶点在原点，焦点在已知顶点在原点，焦点在 y 轴上的抛物线被直线轴上的抛物线被直线 x2y10 截得的弦长为截得的弦长为，求此抛物线方程，求此抛物线方程15自主解答自主解答 设抛物线方程为：设抛物线方程为：x2ay(a0)，由方程组由方程组Error!Error!消去消去 y
8、 得：得：2x2axa0，直线与抛物线有两个交点，直线与抛物线有两个交点，(a)242a0，即，即 a0 或或 a8.设两交点坐标为设两交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，则x1x2 ，x1x2 ，y1y2 (x1x2)，a2a212弦长为弦长为|AB| x1x2 2 y1y2 2 54 x1x2 254 x1x2 24x1x2 .145 a28a |AB|， ，15145 a28a 15即即 a28a480，解得，解得 a4 或或 a12，所求抛物线方程为：所求抛物线方程为：x24y 或或 x212y.(1)研究直线与抛物线的弦长问题，通常不求弦的端点坐标，而是直接利用弦长公
9、式研究直线与抛物线的弦长问题，通常不求弦的端点坐标，而是直接利用弦长公式|AB|x1x2|，另外要注意斜率不存在的情况，当弦过焦点时可利用焦点弦公式求，另外要注意斜率不存在的情况，当弦过焦点时可利用焦点弦公式求1k2解解(2)在直线与抛物线的问题中经常遇到中点弦的问题，处理的基本方法是点差法或利用在直线与抛物线的问题中经常遇到中点弦的问题，处理的基本方法是点差法或利用根与系数的关系求出中点弦所在直线的斜率根与系数的关系求出中点弦所在直线的斜率2过点过点 Q Q(4,1)作抛物线作抛物线 y28x 的弦的弦 AB，若弦恰被，若弦恰被 Q Q 平分，求平分，求 AB 所在直线方程所在直线方程解：解
10、：设以设以 Q Q 为中点的弦为中点的弦 AB 端点坐标为端点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有，则有Error!Error!k，y1y2x1x2得得(y1y2)(y1y2)8(x1x2)将将代入，得代入，得 y1y24(x1x2)，4.y1y2x1x2k4.经验证，此时直线与抛物线相交经验证，此时直线与抛物线相交所求弦所求弦 AB 所在直线方程为所在直线方程为 y14(x4)，即即 4xy150.抛物线中的定点、定值问题抛物线中的定点、定值问题A，B 是抛物线是抛物线 y22px(p0)上的两点，并满足上的两点，并满足 OAOB，求证：，求证：(1)A，B 两点的横坐标之积、纵
11、坐标之积，分别都是一个定值；两点的横坐标之积、纵坐标之积，分别都是一个定值；(2)直线直线 AB 经过一个定点经过一个定点自主解答自主解答 (1)因为因为 AB 斜率不为斜率不为 0，设直线，设直线 AB 方程为方程为 myxb，由由Error!Error!消去消去 x，得，得 y22pmy2pb0.由由 (2pm)28pb0，又又y1y22pm，y1y22pb，OAOB，x1x2y1y20.y1y20.y2 1y2 24p2b22pb0.b2p0.b2p.y1y24p2，x1x2b24p2.所以所以 A，B 两点的横坐标之积、纵坐标之积，分别是两点的横坐标之积、纵坐标之积，分别是 4p2和和
12、4p2；(2)直线直线 AB 的方程为的方程为 myx2p，所以所以 AB 过定点过定点(2p,0)直线与抛物线相交问题中有很多的定值问题，如果该定值是个待求的未知量，则可以直线与抛物线相交问题中有很多的定值问题，如果该定值是个待求的未知量，则可以利用特殊位置利用特殊位置(如斜率不存在、斜率等于如斜率不存在、斜率等于 0 等等)找出该定值，然后证明该定值即为所求找出该定值，然后证明该定值即为所求3过抛物线过抛物线 y22px(p0)的焦点的焦点 F 作直线作直线 l 交抛物线于交抛物线于 A，B，求证：，求证：yAyBp2.证明：证明：斜率不存在时斜率不存在时 y1p，y2p，y1y2p2.斜
13、率存在时，斜率存在时，Error!Error!消去消去 x 得，得，yk，y22pkp2y1y2p2.kp2k2p解题高手解题高手 多解题多解题 条条大路通罗马，换一个思路试一试条条大路通罗马，换一个思路试一试抛物线抛物线 y2x 上，存在上，存在 P，Q Q 两点，并且两点，并且 P，Q Q 关于直线关于直线 y1k(x1)对称，求对称，求 k 的取的取值范围值范围解解 法一法一：设：设 P(x1，y1)，Q Q(x2，y2)，Error!Error!(y1y2)(y1y2)x1x2.又又Error!Error!y1y2k.1k (y1y2)22y1y22k2(y2 1y2 221)k2k2
14、kk22y1(ky1)22ky 2k2y1k3k20.2 14k48k(k3k2)0.k(k32k4)0.k(k32k4)0)相交于相交于 A，B 两点，则两点，则|AB|等于等于( )p2A5p B10pC11pD12p解析：解析：将直线方程代入抛物线方程，将直线方程代入抛物线方程，可得可得 x24pxp20.设设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则则 x1x24p，y1y29p.直线过抛物线的焦点，直线过抛物线的焦点，|AB|y1y2p10p.答案：答案：B2过点过点(1,0)作斜率为作斜率为2 的直线，与抛物线的直线，与抛物线 y28x 交于交于 A，B 两点，则弦两点，则弦 AB
15、的长为的长为( )A2B21315C2D21719解析：解析：不妨设不妨设 A，B 两点坐标分别为两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由直线由直线 AB 斜率为斜率为2，且过点且过点(1,0)得直线得直线 AB 方程为方程为 y2(x1)，代入抛物线方程代入抛物线方程 y28x 得得 4(x1)28x，整理得整理得 x24x10，x1x24，x1x21，|AB| 1k2 |x1x2|2.5 x1x2 24x1x215答案：答案：B3过点过点(0,1)作直线，使它与抛物线作直线，使它与抛物线 y22x 仅有一个公共点，这样的直线有仅有一个公共点，这样的直线有( )A1 条条B2 条条C
16、3 条条D4 条条解析：解析：斜率不存在时，直线斜率不存在时，直线 x0 符合题意，符合题意，斜率存在时，由斜率存在时，由Error!Error!得得 k2x2(2k2)x10，k0 时，符合题意，时，符合题意，k0 时，由时，由 0 得得 k .12答案：答案：C4已知已知OAB 为等腰直角三角形，其中为等腰直角三角形，其中|OA|OB|，若，若 A，B 两点在抛物线两点在抛物线 y x2上，上，14则则OAB 的周长是的周长是_解析：解析：设设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，x21 且且 k0，设设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意得：由题意得：x1x24k2k2k2k20
17、.4k8k2解得解得 k2 或或 k1(舍去舍去)由弦长公式得：由弦长公式得：|AB|1k264k64k22.5192415一、选择题一、选择题1过抛物线过抛物线 y22px(p0)的焦点作一条直线交抛物线于的焦点作一条直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，两点，则则的值为的值为( )y1y2x1x2A4 B4Cp2Dp2解析：解析：取特殊位置，当取特殊位置，当 ABx 轴时，轴时，A，B.(p2， ，p)(p2， ，p)4.y1y2x1x2答案：答案：B2设抛物线设抛物线 y28x 的准线与的准线与 x 轴交于点轴交于点 Q Q，若过点，若过点 Q Q 的直线的直线 l 与
18、抛物线有公共点，则与抛物线有公共点，则直线直线 l 的斜率的取值范围是的斜率的取值范围是( )A.B2,212， ，12C1,1D4,4解析：解析：准线准线 x2，Q Q(2,0)，设，设 l：yk(x2)，由由Error!Error!得得 k2x24(k22)x4k20.当当 k0 时，时，x0，即交点为，即交点为(0,0)，当当 k0 时，时，0，1k0 或或 0k1.综上，综上，k 的取值范围是的取值范围是1,1答案：答案：C3已知双曲线已知双曲线1(a0，b0)的左顶点与抛物线的左顶点与抛物线 y22px(p0)的焦点的距离的焦点的距离x2a2y2b2为为 4，且双曲线的一条渐近线与抛
19、物线的准线的交点坐标为，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2，1)，则双曲线的焦距为，则双曲线的焦距为( )A2B235C4D435解析：解析：由由Error!Error!解得解得Error!Error!由题得知由题得知Error!Error!解得解得Error!Error!又知又知 a4，故，故 a2，b1，c，p2a2b25焦距焦距 2c2.5答案：答案：B4设定点设定点 M与抛物线与抛物线 y22x 上的点上的点 P 的距离为的距离为 d1，P 到抛物线准线到抛物线准线 l 的距离的距离(3， ，103)为为 d2，则，则 d1d2取最小值时，取最小值时，P 点的坐标为点的
20、坐标为( )A(0,0)B(1，)2C(2,2)D.(18， ，12)解析：解析：连接连接 PF，则，则 d1d2|PM|PF|MF|，知，知 d1d2的最小值为的最小值为|MF|，当且仅当，当且仅当M，P，F 三点共线时，等号成立，而直线三点共线时，等号成立，而直线 MF 的方程为的方程为 y，与，与 y22x 联立可得联立可得43(x12)x2，y2.答案：答案：C二、填空题二、填空题5已知抛物线已知抛物线 y24x，过点，过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于的直线与抛物线相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，两点，则则 y y 的最小值是的最小值是_2 12 2解析：解析：显
21、然显然 x10，x20.又又 y 4x1，y 4x2，所以，所以 y y 4(x1x2)8，当且，当且2 12 22 12 2x1x2仅当仅当 x1x24 时取等号，所以时取等号，所以 y y 的最小值为的最小值为 32.2 12 1答案：答案：326过抛物线过抛物线 y22px(p0)的焦点的焦点 F 作斜率为作斜率为 45的直线交抛物线于的直线交抛物线于 A，B 两点，若线两点，若线段段 AB 的长为的长为 8，则，则 p_.解析：解析：设设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由条件可知直线由条件可知直线 AB 的方程为的方程为 yx ，p2由由Error!Error!得得 x2px2p
22、x.p24即即 x23px0，p24又又|AB|8，即，即8.(x1p2) (x2p2)x1x28p.即即 3p8p，p2.答案：答案：27直线直线 yx3 与抛物线与抛物线 y24x 交于交于 A，B 两点，过两点，过 A，B 两点向抛物线的准线作垂两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为线，垂足分别为 P，Q Q，则梯形，则梯形 APQ QB 的面积为的面积为_解析：解析：由由Error!Error!消去消去 y 得得 x210x90，得，得 x1 或或 9，即，即Error!Error!或或Error!Error!所以所以|AP|10，|BQ Q|2 或或|BQ Q|10，|AP|2，所以，
23、所以|PQ Q|8，所以梯形，所以梯形 APQ QB 的面积的面积S848.1022答案：答案：488已知以已知以 F 为焦点的抛物线为焦点的抛物线 y24x 上的两点上的两点 A，B 满足满足3，则弦，则弦 AB 的中的中AFFB点到准线的距离为点到准线的距离为_解析：解析：依题意，设直线依题意，设直线 AB 的方程是的方程是 xmy1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由则由Error!Error!消去消去 x 得得 y24(my1)，即即 y24my40，所以所以 y1y24m，y1y24.又又3，AFFB(1x1，y1)，(x21，y2)，AFFB于是有于是有y13y2，y ，2
24、243(y1y2)24y ，2 2163弦弦 AB 的中点到准线的距离为的中点到准线的距离为11x1x22y2 1y2 2811 . y1y2 22y1y281638883答案：答案：83三、解答题三、解答题9已知抛物线已知抛物线 y2x 与直线与直线 l：yk(x1)相交于相交于 A，B 两点两点(1)求证：求证：OAOB；(2)当当OAB 的面积等于的面积等于时，求时，求 k 的值的值10解：解：(1)证明：易知证明：易知 k0，联立联立Error!Error!消去消去 x，得，得 ky2yk0.设设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则则 y1y2 ，y1y21.1k因为因为 y x1
25、，y x2，2 12 2所以所以(y1y2)2x1x2，所以所以 x1x21，所以所以 x1x2y1y20，即即0，所以所以 OAOB.OAOB(2)设直线设直线 l 与与 x 轴的交点为轴的交点为 N，则则 N 的坐标为的坐标为(1,0)，所以所以 SAOB |ON|y1y2|12 |ON|12 y1y2 24y1y2 1 ，121k2410解得解得 k2，所以，所以 k .1361610.如图，过抛物线如图，过抛物线 y2x 上一点上一点 A(4,2)作倾斜角互补的两条直线作倾斜角互补的两条直线AB，AC 交抛物线于交抛物线于 B，C 两点，求证：直线两点，求证：直线 BC 的斜率是定值的斜率是定值证明：证明：设设 AB 的斜率为的斜率为 k，则，则 AC 的斜率为的斜率为k.故直线故直线 AB 的方程是的方程是 y2k(x4)，与与 y2x 联立得，联立得，y2k(y24)，即，即 ky2y4k20.y2 是此方程的一解，是此方程的一解，2yB，yB，4k2k12kkxBy .2 B14k4k2k2B.(14k4k2k2， ，12kk)kACk，以，以k 代替代替 k 代入代入 B 点坐标得点点坐标得点 C 的坐标为的坐标为，(14k4k2k2， ，12kk)kBC 为定值为定值12kk12kk14k4k2k214k4k2k214