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1、1第 7章 二阶动态电路分析 1.分析二阶电路过渡过程的经典法；2.二阶动态电路的零输入响应、零状态响应、全响应；3.二阶动态电路的阶跃响应、冲激响应；主 要 内 容127-1 二阶电路的零输入响应 二阶电路：用二阶微分方程描述的动态电路 在二阶电路中，给定的初始条件应有两个，它们由储能元件的初始值决定。RLC 串联电路和 GCL 并联电路为最简单的二阶电路。23初始条件 零输入响应：上述线性二阶常系数微分方程中 u0C(t)=0 的响应 或34 特征方程特征根 称为固有频率 解为：这里：p1 和 p2 是特征根，仅与电路结构及参数有关；积分常数A1 和 A2 决定于uC 的初始条件 给定初始
2、条件:uC(0)=U0,i(0)=I045,非振荡衰减放电过程（过阻尼情况）当 时，固有频率 p1 和 p2 是两个不相等的负实根 56由于 衰减得快，衰减得慢，故 1设 uC(0)=U0,i(0)=067 uC,iL 始终不改变方向，uC iL 0,电容放电；uL 改变一次方向，t=tm 时，uL=0；t 0），建立磁场；t tm 电感释放能量（uL iL 0），磁场逐渐衰减，趋向消失；整个过程完毕，uC=0,iL=0,uL=0。78 例 7-1：电路如下图所示,US=10 V,C=1F,R=4 k,L=1 H，开关 S 原来闭合在触点 1 处，t=0 时，开关 S 由触点 1 接至触点 2
3、 处，求：(1)uC,uR ,i 和 uL (2)imax .解：(1)uC,uR ,i 和 uL 特征根899102设 uC(0)=0,i(0)=I0例7-2：前述电路中,C=1 F,L=1 H,R=3,uC(0)=0,i(0)=1 A，t 0 时，uOC(t)=0,试求 uC(t)及 iL(t)。解：利用前述结果101111123.设 uC(0)=U0,i L(0)=I0 例7-3：前述电路中,C=0.25 F,L=0.5 H,R=3,uC(0)=2 V,i(0)=1 A，t 0 时，uOC(t)=0,试求 uC(t)及 iL(t)。解：根据前述结果12131314二.，衰减振荡放电过程（
4、欠阻尼情况）如果 ，则固有频率为共轭复数 其中 1415将 代入 中 1516 1.uC(t)是衰减振荡，它的振幅 A e-t 随时间作指数衰减，为衰减系数，越大，衰减越快；2.为衰减振荡角频率，越大，振荡周期越小，振荡加快；3.时，响应是振荡性，称为欠阻尼情况，反映振幅的衰减情况，为振荡的角频率。16174.特殊情况：R=0，无阻尼 5.电路的零输入响应的性质,取决于电路的固有频率 p，p 为实数，复数或虚数，决定了响应为非振荡，衰减振荡或等幅振荡。1718 例7-4：RLC串联电路中,R=1,L=1 H,C=1 F,uC(0)=1 V,i(0)=1 A，试求零输入响应 uC(t)及 iL(
5、t)。解：1819特征方程解：电路方程 例7-5：LC 振荡回路中，L=1/16 H,C=4 F,uC(0)=1 V,i(0)=1 A，试求零输入响应 uC(t)及 iL(t)。特征根192020216.能量转换情况：设 uC(0)=U0,iL(0)=0，则 2122 t=k,k=0,1,2,3.为电流 i 的过零点，即 uC 的极值点；t=k/2-,k=1,3,5,7.为电感电压 uL 的过零点，即 i 的极值点；t=k/2+,k=1,3,5,7.为电容电压 uC 的过零点；2223三.临界情况（临界阻尼情况）当 时，p1,p2 为相等负实数，微分方程的解为 常数 A1 和 A2 可由初始条
6、件确定 /2+t 电感释放，电容吸收，电阻消耗；/2-t /2+电感释放，电容释放，电阻消耗;0 t /2-电感吸收，电容释放，电阻消耗;2324 电路的响应仍然是非振荡性的，如果电阻稍微减小，以致 ，则响应将为振荡性的，当符合 时，响应处于临界振荡状态，称为临界阻尼情况。2425 例7-6：前述电路中,R=1,L=1/4 H,C=1 F,uC(0)=-1 V,i(0)=0，t 0 时，uOC(t)=0,试求 iL(t)。解：临界阻尼状态25267-2 二阶电路的零状态响应和阶跃响应 一、直流RLC串联电路的完全响应 如果前述电路中，uOC(t)=US(t 0),则电路的微分方程为 2627
7、此时的全响应与其零输入响应的差别仅在于用 uC(0-)-US 代替了原来的 uC(0-)，并在这里增添了 US 项。其中，根据初始条件 uC(0-),iL(0-)可确定 A1,A2 2728二.GCL并联电路的分析 其解答由对应的齐次方程的通解和特解组成，即 2829 取稳态解 i”L 为特解，而通解 iL 与零输入响应形式相同，再根据初始条件确定积分常数，从而得到全解。上述结果可由RLC串联电路的方程通过对偶量 uC iL,L C,C L,R G 的置换得到，其解答也可由串联电路的解答通过对偶量的置换得到。其中 二阶电路在阶跃激励下的零状态响应称为二阶电路的阶跃响应，其求解方法与零状态响应的
8、求解方法相同。2930 例7-7：前述电路中,直流电源 uOC(t)=US 在 t=0 时作用于电路，试求 uC(t)，并绘出波形图，设电路为零初始状态。解：因 ，电路属欠阻尼情况3031 uC(t)在 US 上下作衰减振荡最后趋于US，电压上升超过 US 所呈现的突出部分，称为“上冲”或“正峰突”。例7-8：接续例7-7，如要求第一个上冲为 US 的 10%，问 C 应如何选择?3132解：最大值发生在 ,即 第一个最大值发生在 时，根据题意要求3233 例7-9：GCL并联电路中，L=1H，C=1F，求 iL(t)的阶跃响应，若（1）G=10 S；（2）G=2 S；（3）G=0.1 S。解
9、：依题意，iSC(t)=1 A（阶跃响应），且或3334（其中特解 iLp=1A）343535363637 例7-10：GCL并联电路中,G=210-3 S,C=1F,L=1H,uC(0-)=0,iL(0-)=0,试求阶跃响应 iL ,uC 和 iC 。解：电路方程 特征方程特征根强制分量对应齐次方程的解通解为又因373838397-3 二阶电路的冲激响应 二阶电路的冲激响应：零状态的二阶电路在冲激函数激励下的响应 电路方程0-t 0+电路受 (t)作用获得能量 39401,由(t)在 t=0 作用产生的 uC(0+),i(0+)对电路方程两边取 0-到 0+的积分，则有 t 0+,放电，满足二阶齐次微分方程，又此时 uC 不能跃变，仅 才可能发生跃变 4041 意义：(t)在 t=0-到 0+间隔内使电感电流跃变，电感中储存一定的磁场能量。此磁场能量引起冲激响应。2.t 0+,为零输入解 4142如果 ，即周期振荡衰减放电，冲激响应为 3、可以首先求出电路的单位阶跃响应，再对时间求导数就能得到单位冲激响应。42