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1、第第7 7章章 一阶电路和二阶电路的时域分析一阶电路和二阶电路的时域分析 7.1 7.1 动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件7.2 7.2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应 7.3 7.3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 7.4 7.4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应 7.5 7.5 二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应 7.6 7.6 二阶电路的零状态响应全响应二阶电路的零状态响应全响应 7.7 7.7 一阶电路与二阶电路的阶跃响应一阶电路与二阶电路的阶跃响应 7.8 7.8 一阶电路和二阶电路的冲激响应一阶电路和二阶电路的冲激响应一阶电路零输入响应
2、一阶电路零输入响应 零状态响应零状态响应 全响应全响应重点：重点：一阶电路基本信号一阶电路基本信号 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数动态电路的初始条件动态电路的初始条件二阶电路的零输入响应，零状态响应和全响应二阶电路的零输入响应，零状态响应和全响应动态电路动态电路：含储能含储能(动态动态)元件元件L、C的电路。其的电路。其KCL、KVL方方程仍为代数方程，而元件特性（程仍为代数方程，而元件特性（VCR）中含微分）中含微分或积分形式。因此描述电路的方程为或积分形式。因此描述电路的方程为微分方程。微分方程。电阻电路电阻电路：电路仅由电阻元件和电源元件构成。由于其电路仅由电阻元件和电源元件构成。
3、由于其KCLKCL、KVLKVL方程和元件特性（方程和元件特性（VCRVCR）均为代数方程。因此）均为代数方程。因此描述电路的方程为描述电路的方程为代数方程代数方程。7-1 7-1 动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件一、一、 电阻电路、动态电路及其描述方程电阻电路、动态电路及其描述方程 线性时不变动态电路中含有两个动态元件时，其描述方线性时不变动态电路中含有两个动态元件时，其描述方程为二程为二阶线性常微分方程阶线性常微分方程 ，电路为二，电路为二阶电路阶电路（RLC电路）。电路）。 线性时不变动态电路中含有一个动态元件时，其描述方线性时不变动态电路中含有一个动态元件时，其描述
4、方程为程为一阶线性常微分方程一阶线性常微分方程 ，电路为，电路为一阶电路一阶电路。包括。包括RC电路电路和和RL电路。电路。S(t=0)+uCUSRCi+uRUSLS (t=0)+uLR+uRiLRLCiRiLiC50 Vt=0+- -uL+- -uC二、二、 电路的电路的动态过程动态过程 动态过程：动态过程：当系统从一种相对稳定状态过渡到另一种当系统从一种相对稳定状态过渡到另一种相对稳定状态需要经历的过程称为动态过程（过渡过程）。相对稳定状态需要经历的过程称为动态过程（过渡过程）。热学热学： 10水水 100水水 （旧稳态）（旧稳态） 过渡时间（过程）过渡时间（过程） （新稳态）（新稳态）
5、力学力学： 火车启动火车启动V=0 100公里公里/小时小时 匀速匀速 （旧稳态）（旧稳态） 过度时间（过程）过度时间（过程） （新稳态）（新稳态）流体流体： 高山激流高山激流江河平稳流动江河平稳流动 （旧稳态）（旧稳态） 过渡时间（过程）过渡时间（过程） （新稳态）（新稳态） 存在运动过程的根本原因是能量的变化需要时间。电路存在运动过程的根本原因是能量的变化需要时间。电路也是一种系统，因而当能量发生变化时也要出现动态过程。也是一种系统，因而当能量发生变化时也要出现动态过程。K打开打开 跳变跳变无过渡过无过渡过程程K闭合闭合Ai22310Ai0（t0）（旧稳态）（旧稳态）（t0）（新稳态）（新
6、稳态）说明：开关动作前后，说明：开关动作前后，电流由电流由0A 2A是立刻是立刻完成（跳变）的。完成（跳变）的。 纯电阻电路，无储能纯电阻电路，无储能元件，电路切换，无元件，电路切换，无过渡过程。过渡过程。S+uCUSRCiS+uCUSRCiS未动作前，一种相对稳未动作前，一种相对稳定状态定状态 uC= US WC = 1/2 C US2S接通后经过动态过程（电容充接通后经过动态过程（电容充电）进入另一种相对稳定状态电）进入另一种相对稳定状态 uC = 0 WC = 0uCtt1USO初始初始状态状态过渡过渡状态状态新稳态新稳态三、换路定则三、换路定则 1. 换路换路：在：在t=0（或（或t
7、= t0 ）时刻，电路结构或元件参数的）时刻，电路结构或元件参数的变化，如电路中开关的通断、接线的改变、激励或参数变化，如电路中开关的通断、接线的改变、激励或参数骤然变化，称为换路。骤然变化，称为换路。初始值：初始值：电路在换路时间电路在换路时间（t=0+）时求解变量）时求解变量uC（0+）值。值。SCCUudtduRC)?()0(初始值Cu2. 换路定则换路定则换路定则就是用来确定独立初始条件的。换路定则就是用来确定独立初始条件的。对线性电容对线性电容C换路定理换路定理001(0 )(0 )CCcuui dtCqcu00(0 )(0 )cqqi dt)0()0(CCuu)0()0( qq0,
8、00tt取当当ic为有限值时，为有限值时，CiuC+d)(1)()(00ttcCCiCtUtU0d100tiCc对线性电感元件对线性电感元件换路定理换路定理换路定理换路定理指电感电流不能跳变和电容电压不能跳变。即在指电感电流不能跳变和电容电压不能跳变。即在换路瞬间，电感中电流的初始值等于原始值，电容电压的换路瞬间，电感中电流的初始值等于原始值，电容电压的初始值等于其原始值初始值等于其原始值( 0)( 0)LLii(0)(0)LL LiLu+d)(1)0()0(00uLiiLLd)()0()0(00uLL电感电压均为有限值电感电压均为有限值四、电路初始条件的确定四、电路初始条件的确定 (1) 求
9、解换路前电路求解换路前电路uc(0 ) 和和iL(0 ): t = 0 时刻，时刻，电路处于一种稳态，当电路激励为直流源时，电路处于一种稳态，当电路激励为直流源时，可将可将C看做开路，看做开路，L看做短路，激励保持不变，看做短路，激励保持不变，求出求出uc(0 ) 和和iL(0 )。 (2) 求解独立初始条件求解独立初始条件uc(0) 和和iL(0) : 根据换路根据换路定则定则 uC (0+) = uC (0 ) iL(0+)= iL(0 )(3) 求解非独立初始条件求解非独立初始条件: t = 0时刻，可将时刻，可将C用用值为值为uC (0+)的电压源替代，的电压源替代，L用值为用值为iL
10、(0+)的电流的电流源替代，其余不变，求出非独立初始条件源替代，其余不变，求出非独立初始条件u(0+)、i(0+) 。例例1.求求 uC (0+) ,iC (0+).t = 0时刻打开开关时刻打开开关S.由换路定则：由换路定则：uC (0+) = uC (0 )=8VV840104010)0(Cu0+等效电路：等效电路：mA2 . 010810)0(Ci+10ViiCuCS10k 40k + C解：解：+10Vi (0+)iC(0+)8V10k + 电容隔直通交稳态电容隔直通交稳态时电容相当于开路时电容相当于开路例例2.t = 0时闭合开关时闭合开关S.求求uL(0+).iL(0+)= iL(
11、0 )=2A0+等效电路：等效电路：V842)0( Lu10VS1 4 iLLuL+解：解：10V1 4 iL(0+)uL (0+)+稳态时，电感线圈稳态时，电感线圈可视为短路可视为短路例例3.0+电路：电路：iL(0+)=iL(0 )=IS uC(0+)=uC(0 )=RISuL(0+)= uC(0+)= RISiC(0+)=iL(0+) uC(0+)/R =IS IS =0求求 iC(0+) , uL(0+).S(t=0)+uLCuCLISRiL+uL (0+)uC (0+)R+iC (0+)iL(0+)解：解：R1S(t=0)+uLCuCLUSR2iL+iC例例4.求求 uC(0+) ,
12、 iL(0+) iC(0+) , uL(0+).解：解：12(0 )(0 )SLLUiiRR212(0 )(0 )SCCR UuuRR电感用电流源替代，电容用电压源替代。电感用电流源替代，电容用电压源替代。12(0 )(0 )SCLUiiRR +uL（0+）12SURR212SR URRR2iC （0+）iL(0+)2(0 )(0 )(0 )0LCLuuR i7-2 7-2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应零输入响应零输入响应：动态电路在没有外施激励时：动态电路在没有外施激励时(激励为零激励为零) ，由电，由电 路中动态元件的初始储能引起的响应。路中动态元件的初始储能引起的响应。一、一
13、、 RC电路的零输入响应电路的零输入响应 (电容放电过程电容放电过程)S(t=0)+uCRCi+uR0dd tuRCuCCuC (0 )=U0； t = 0时刻，开关闭合时刻，开关闭合,C储存的储存的能量通过能量通过R以热能形式释放。以热能形式释放。 讨论讨论t 0后，电路中响应的变化规律。后，电路中响应的变化规律。0RCuu开关闭合后开关闭合后ddCuiCt 而而RuRi(一阶齐次微分方程一阶齐次微分方程)0dd tuRCuCC此方程的通解：此方程的通解： uC(t)=Aept 带入上式得：带入上式得：相应的特征方程相应的特征方程 RCp+1=0（RCp+1）Aept =01PRC 特征根特
14、征根根据初始条件根据初始条件 uC (0+)=uC(0 )=U0 得：得：1 00tRCtUAetRCCAeu1 求得积分常数：求得积分常数： A=U0)0( t零输入响应零输入响应uC的表达式的表达式:令令 =RC, 称称 为为RC电路的时间常数。电路的时间常数。 具有时间的量纲具有时间的量纲 。 的大小反映了的大小反映了RC一阶电路过渡过程的一阶电路过渡过程的衰减快慢衰减快慢。(欧欧 法法=欧欧 库库/伏伏=欧欧 安安 秒秒/伏伏=秒秒)I0tiCOU0tuC O0dedtCRCCuUiiCtR )0( t)0( t电容电压电容电压uC响应曲线：响应曲线：电路电流电路电流i响应曲线：响应曲
15、线：tCeUtu0)(000tttCeUdtdutgtudtduCttC)(00000)(tCeUtu 的几何确定方法的几何确定方法 时间坐标次切距的长度为时间常数。时间坐标次切距的长度为时间常数。0)(0ttCCdtdutuABCt)(tuC经过经过3 5 的时间的时间, 过渡过程结束过渡过程结束,电路已达到新的稳态电路已达到新的稳态. 电容在放电过程中，电容在放电过程中，C储存的电场能储存的电场能量不断释放量不断释放, 被被R吸收并转化为热能吸收并转化为热能, 直到直到全部储能消耗完毕，放电过程结束。全部储能消耗完毕，放电过程结束。t0 2 3 4 5 U0 0.368U0 0.135U0
16、 0.05U0 0.02U0 0.007 U0 tceUu 0 能量关系能量关系：202 000221d)e(dCUtRRUtRiWRCtR RC二、二、RL电路的零输入响应电路的零输入响应(电感放电过程电感放电过程)USS(t=0)R1iLLuL+RiL (0 )= I0， t = 0时刻，开关闭合时刻，开关闭合,具有具有初始电流初始电流I0 的的L和电阻和电阻R构成闭合回路。构成闭合回路。 讨论讨论t 0后，电路中响应后，电路中响应iL（t）和）和 UR （t）的变化规律。）的变化规律。0LRuu开关闭合后开关闭合后(一阶齐次微分方程一阶齐次微分方程)而而RuRitiLuLLdd d0 d
17、LLiLRit此方程的通解：此方程的通解： iL(t)=Aept 带入上式得：带入上式得：（Lp+R）Aept =0得特征根得特征根LRp RtLLiAe 00RtLtIAe求得积分常数：求得积分常数： A=I0根据初始条件根据初始条件 01S)0()0(IRRUiiLL 得：得：)0( tRL零输入响应零输入响应I0tiLO电感电压电感电压uL动态过程：动态过程：tLRLLRItiLtu edd)(0)0( t RI0tuLO =L/R RL电路的时间常数，反映电感放电快慢。电路的时间常数，反映电感放电快慢。iL (0+)=iL(0 )=35/0.2=175 A= I0uV (0+)= 87
18、5 kV !例例1.现象：电压表烧坏现象：电压表烧坏 !61080 0e175ettLIis8010850004 . 05sV RRL L=0.4HVRV5k 35VS(t=0)iLuV+R=0.2 0)( kV e875e61080 0VVtIRRiuttLRLuV (0+)=?小结：小结：1. 一阶电路的零输入响应是由储能元件的初始值引起的响一阶电路的零输入响应是由储能元件的初始值引起的响 应，都是一个指数衰减函数。应，都是一个指数衰减函数。2. 衰减快慢取决于时间常数衰减快慢取决于时间常数 . RC电路电路 ： = RC, RL电路：电路： = L/R3. 同一电路中所有响应具有相同的时
19、间常数。同一电路中所有响应具有相同的时间常数。预防措施：预防措施：L=0.4H35VS(t=0)iLR=0.2 D续流二极管续流二极管+9Vi2i0.25F6 2 + 6 3 S12例例2.0( )?ti t+ui2i6 2 + i1i29(0 )(0 )6636ccuuV换路后，用外施加激励电源求等效电阻换路后，用外施加激励电源求等效电阻2626()22uuiiii 1equRi 1 0.250.25eqR CS 4( )(0 )6ttccu tueeV44( )0.25(6)6ttcdudi tCeeAdtdt 零状态响应零状态响应：电路在零初始状态下（动态元件初始储能为零：电路在零初始状
20、态下（动态元件初始储能为零：uC(0+)=0、 iL (0+)=0），由外施激励引起的响应。），由外施激励引起的响应。(2) 求非齐次方程特解求非齐次方程特解 uC= US1. RC电路的零状态响应电路的零状态响应uC (0 )=07 7 3 3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应一阶线性非齐次常微分方程一阶线性非齐次常微分方程CCCuuu 稳态分量稳态分量 (强制分量强制分量 )S(t=0)+uCUSRCi+uR(1) 列方程：列方程：SddUutuRCCC :Cu非齐次微分方程的特解:Cu对应齐次方程的通解uC (0+)=A+US= 0 A= US(3) 求齐次方程通解求齐次方程通解
21、 uC “暂态分量暂态分量” (自由分量自由分量)(4) 求全解求全解(5) 求常数求常数A SSe(1 e) (0)ttRCRCCSuUUUtUS USuCuC0dd CCutuRCRCtAuC e S(0 )(0 )0e0tRCCCuuUAtuctORCtCCCAUuuu eS 电容电压电容电压 响应曲线为响应曲线为稳态分量和瞬态分量稳态分量和瞬态分量的叠加。的叠加。uC：稳态分量：稳态分量(强制分量强制分量),其变化规律与激励其变化规律与激励有关。有关。uC ：瞬态分量：瞬态分量(自由分量自由分量),其变化规律与激其变化规律与激励无关。励无关。tiRUSO能量关系能量关系： RC电路的零
22、状态响应相当直流电电路的零状态响应相当直流电源通过电阻向电容充电。电源提供的能源通过电阻向电容充电。电源提供的能量一部分被电阻消耗掉，一部分储存在量一部分被电阻消耗掉，一部分储存在电容中，电容中，充电效率为充电效率为50%。S00022dd()deRRtUWp tR tR tRiCWCUCURUtt 2S2S2S210210)(|22ee RCtCRUtuCi eddSUSRC回路电流：回路电流：t= 0时闭合开关时闭合开关S.求求uc、i1的零状态响应。的零状态响应。uiCuiutuCuCC211dd1Ciiuu12121d1.5dCCuut0)(V e5 . 15 . 1 tutCi12i
23、1+2V+1 1 1 0.8FuC S例例.解法解法1:列电路方程列电路方程 1d2()d0.50.3e A (0)1CCtuCutit解法解法2: 利用戴维宁等效利用戴维宁等效.0)(V e5 . 15 . 1 tutCi12i1+2V+1 1 1 0.8FuC S+1.5V+0.25 1 0.8FuC SuC (V)t1.5Oi12i1+2V+1 1 iu1.50.25ui (1e) (0)tCSuUt = RC=1s1112112iuiiiu2. RL电路的零状态响应电路的零状态响应iL(0 )=0SddURitiLLL USLS (t=0)+uLR+uRiLS(1 e)RtLLUiR
24、(0)t RtLLSuU e (0)t 小结：小结：1. 一阶电路的零状态响应是储能元件无初始储能时，一阶电路的零状态响应是储能元件无初始储能时，由输入激励引起的响应。响应有二个分量由输入激励引起的响应。响应有二个分量:uC =uC+uC2. 时间常数时间常数 与激励源无关。与激励源无关。S(t=0)+uCUSRCi+uRUSLS (t=0)+uLR+uRiLS(t=0)ISRiL+uLS(t=0)ISRi+uCC一阶电路的零状态响应：一阶电路的零状态响应：US RC串联串联US RL串联串联IS RL并联并联IS RC并联并联 (1e)tCSuU (1e)tLSiI (1e)tCSuI R
25、(1e)tsLuiR对偶对偶对偶对偶7 7 4 4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应全响应全响应：非零初始状态的电路受到激励时电路中产生的响应。：非零初始状态的电路受到激励时电路中产生的响应。一、一阶电路的全响应及其两种分解方式一、一阶电路的全响应及其两种分解方式RC电路电路:1. 全解全解 =稳态解稳态解 (强制分量强制分量)+暂态解暂态解 (自由分量自由分量)S(t=0)+uCUSRCi+uRuC (0 )=U0(1) SddUutuRCCC 非齐次方程非齐次方程解答为解答为 uC(t)=uC + uC(2) 非齐次方程特解非齐次方程特解uC= US 稳态解稳态解 (3) 对应齐次方程通解
26、对应齐次方程通解 uC“=Aept 暂态解暂态解 (4) 全解全解RCtCCCAUuuu eS =RC强制分量强制分量(稳态解稳态解)自由分量自由分量(暂态解暂态解)0()(0 teUUUutSSC uCU0 USuCUSU0uCtuCo0S(0 )(0 )e0tRCCCuuUUAt A=U0 US2. 全响应全响应= 零状态响应零状态响应 + 零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应)0()1(0 teUeUuttSC tuc0US零状态响应零状态响应全响应全响应零输入响应零输入响应U0=+uC 1(0-)=0uC2 (0-)=U0uC (0 )=U0S(t=0)+uCU
27、SRCi+uRS(t=0)+uC1USRCi1+uR1S(t=0)+uC2RCi2+uR2二、用三要素法分析一阶电路二、用三要素法分析一阶电路全响应由初始值、特解和时间常数三个要素决定的。在全响应由初始值、特解和时间常数三个要素决定的。在直流直流电源的激励电源的激励下，若初始值为下，若初始值为f(0+)，特解为稳态解，特解为稳态解f()，时间，时间常数为常数为，则则全响应全响应为：为：)( )()0()()(直直流流激激励励 teffftf 根据根据f(0+)、 f()和和这三个要素，求解这三个要素，求解直流电源激励直流电源激励下下一阶电路全响应的方法，称为一阶电路全响应的方法，称为三要素法三
28、要素法。 如果电路中仅含一个储能元件，电路的其它部分由电如果电路中仅含一个储能元件，电路的其它部分由电阻、独立源或授控源组成。在求解这类电路时，可以把储能阻、独立源或授控源组成。在求解这类电路时，可以把储能元件以外的部分，应用戴维宁或诺顿定理进行等效变换，然元件以外的部分，应用戴维宁或诺顿定理进行等效变换，然后应用三要素法求得后应用三要素法求得储能元件储能元件上的电压上的电压uC (t)和电流和电流iL(t) 。例例1.(0 )(0 )(0 )2VCCfuu2( )( )10.667V3Cfu 232s3R Ceq0.5( )(0 )( )0.667 1.33V(0)ttCufffeet 已知
29、：已知： t=0时合开关时合开关S。 求求 换路后的换路后的uC(t) 。解：解：tuC (V)20.66701A2 1 3F+uC S1A2/3 3F+uC 例例2.已知：电感无初始储能已知：电感无初始储能 t = 0 时时合合 S1 , t =0.2s时合时合S2。0 t 0.2sA2)(s2 . 00)0(1iRLi A5)(s 5 . 0 A26. 1)2 . 0(2 ii A26. 122)2 . 0(2 . 05 eiA74. 35)()2 . 0(2 teti解解i10V1HS1(t=0) S2(t=0.2s)3 2 求换路后的电感电流求换路后的电感电流i(t)。it (s)0.
30、25(A)1.2620 7.5 7.5 二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应0dddd22 CCCutuRCtuLCptcAeu 设设012 RCPLCP特征方程为特征方程为LCLRRP2/422, 1 LCLRLR1)2(22 uC(0)=U0 i(0)=0已知已知求求 uC(t) , i(t) , uL(t) RLC+ +- -iucuL+ +- -(t=0)1、电路分析列写二阶齐次微分方程、电路分析列写二阶齐次微分方程2、列特征方程，求特征根、列特征方程，求特征根根的性质不同，响应的变化规律也不同根的性质不同，响应的变化规律也不同二二个个不不等等负负实实根根 2CLR 二个相等负实根
31、二个相等负实根 2CLR 二二个个共共轭轭复复根根 2CLR LCLRLRp1)2(222, 1tptpCeeu2121AA tpCetu)AA(21 )sin( tKeutCtptpCeeu2121AA 0210AA)0(UUuC0AA0)0()0(dd2211 PPCituC0121201221AAUPPPUPPP )(2112120tptpCePePPPUu RLC+ +- -iucuL+ +- -(t=0)不等的负实根不等的负实根一一 , 2 . 21ppCLR )(2112120tptpCePePPPUu U0tuc设设 |P2| |P1|1202PPUP |P1|小小1201PPU
32、P |P2|大大非振荡放电非振荡放电)()( )()(21211202121120tptptptpCeePPLUeppeppPPCUdtduCi )()(2121120tptpLePePPPUdtdiLu 2tmuLtmitU0uc)(2112120tptpCePePPPUu 放电放电先充电后放电先充电后放电先增加后减小先增加后减小, ,CLui u由由 uL= 0 可计算可计算 tm02121 tptpepeptpptptpeeepp)(2211212)( 1221lnpppptm 由由 duL / dt 可确定可确定uL为极小值的时间为极小值的时间 t0212221 tptpepeptpp
33、tptpeeepp)(211212 mtppppt2)ln(12221 )()(2121120tptpLePePPPUu 能量转换关系能量转换关系2tmuLtmitU0uc当当0ttm时时0iuPCC0iuPLLC放出能量放出能量L放出能量放出能量 CLR 2RL jP 222201 () 2R LCL则 衰减因子衰减因子 固有振荡角频率固有振荡角频率（阻尼振荡角频率）（阻尼振荡角频率） 0 无阻尼振荡角频率无阻尼振荡角频率0201 LC2令=arctg 0 cos则0sin cossincossinjtjtetjtetjt 2 .CLR 二二特征根为一对共轭复根特征根为一对共轭复根10002
34、000cossincossincossincossinjjPjePje 00jj22, 1)2(12LRLCjLRp1212AAp tp tCuee1202121()p tp tUPePePP0002jtjtjjUe eeej 00cossincossin2ttjttjtUej00sintUetcossincossinjtjtetjtetjtddCuiCt 00sintd etUCdt 00sincosttUCette 200cossinsincostUCett 01sintULCCet 0sintUetL 0 00 00 00d1(sincos)dcossinsincossin()sin()
35、ttLtttiuLUetettU ettU etU et 0电感电压电感电压uL：分别在：分别在t=K+时过零，此时时过零，此时di/dt=0,即即i的极值点。的极值点。i ：分别在：分别在t=K时过零，此时时过零，此时 duc/dt=0,即即uc的极值点。的极值点。teLUtuCitC sindd 0 )sin(dd 00 teUtiLutL)sin( 00 teUutCuC：分别在：分别在t=K时过零。时过零。 衰减振荡的快慢由衰减振荡的快慢由(衰减因子衰减因子) )决定，决定，衰减振荡角频率由衰减振荡角频率由(固有振荡角频率固有振荡角频率) )决定。决定。23t, ,cLui uCuiL
36、u能量转换图能量转换图1.当当0t2.当当t0iuPCC0iuPLLC放出能量放出能量L放出能量放出能量0iuPCC0iuPLLC放出能量放出能量L获得能量获得能量R CLLR23t, ,cLu i uCuiLu3.当t0iuPCC0iuPLLC获得能量获得能量L放出能量放出能量LR00sin()2CLuUtuLC+ +- -02, 1 jp 2 10 ，LC特例特例 R = 0 0tLUi000sin teLUtuCitC sindd 0 )sin(dd 00 teUtiLutL)sin( 00 teUutC等幅振荡等幅振荡无阻尼无阻尼 LRPPP221 12()tCuAAt e解出解出 0
37、201UAUA) 1(dddd) 1( 0 0 0teUtiLuetLUtuCietUutLtCtC 010)0(UAUuC 0)(0)0(dd21 AAtuC 由初始条件由初始条件非振荡放电非振荡放电临界阻尼临界阻尼2/uL1/itU0uc曲线是振荡与非振荡的分界线。曲线是振荡与非振荡的分界线。相等的实根相等的实根三三 , 2 . 21ppCLR 7.2 7.2 二阶电路的零状态响应和全响应二阶电路的零状态响应和全响应+ +iG- - uCLSGiS iL iC+ +- -(0 )0(0 )0CLui0,LCLCtiuui0CGLStiiii22LLLSd idiLCGLiidtdt响应响应
38、()LLLiii特解（通解）+ +iG- - 1uF1HS 10-31A iL iC+ +- -(0 )0(0 )0CLui0,LCLCtiuui求：22LLLSd idiLCGLiidtdt1、分析电路，列写二阶线性非齐次方程、分析电路，列写二阶线性非齐次方程2、求齐次方程的特征根、求齐次方程的特征根210GppCLC特征方程特征方程特解特解1LiA零状态响应通解零状态响应通解310121 ()tLiAA t e 特征根特征根31210pp 齐次方程解齐次方程解12()ptLiAA t e3、列写非齐次方程通解、列写非齐次方程通解4、由初始条件求待定系数、由初始条件求待定系数0(0 )0()
39、0LLididt132110AA 33101 (1 10 )tLit eA零状态响应零状态响应361010tLCLdiuuLteVdt3310(1 10 )tCCduiCt eAdt零状态响应曲线零状态响应曲线 P166(a)、(b)、(c)电感电流逐渐上升，最后达到稳态值电感电流逐渐上升，最后达到稳态值1A；电容与电感电压先升后降为电容与电感电压先升后降为0。电容电流先降（充电）后变向放电最后为电容电流先降（充电）后变向放电最后为0。7-7 7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应一阶电路和二阶电路的阶跃响应一、单位阶跃函数一、单位阶跃函数1. 定义定义0 (0)( )1( )1 (0)tttt
40、SS0 (0) ( ) (0)tUtUt2. 延迟单位阶跃函数延迟单位阶跃函数0000 ()()1 ()ttttttS+uCUSRCit (t)Ot (t)Ot0电路对于电路对于单位阶跃函数单位阶跃函数输入的输入的零状态响应零状态响应称为称为单位阶跃响应单位阶跃响应。0000 ()( ) ()( ) ()ttf tttf tttt0f(t)tO二、阶跃函数性质二、阶跃函数性质 1.起始性：延迟单位阶跃函数可以起始任意函数起始性：延迟单位阶跃函数可以起始任意函数t0f(t) (t t0)tO2.合成矩形脉冲合成矩形脉冲1t0tf(t)O1t0tf(t)Ot11t0tf1(t)O1tf1(t)O1
41、tf2(t)Ot01tf2(t)Ot1120( )( )( )( )()f tf tf ttt t1201( )( )( )()()f tf tf tt tt t三三. 单位阶跃响应单位阶跃响应s(t)()e1(StUuRCtC )(eStRUiRCt +uCUS (t)RCi+S(t=0)+uCUSRCi+tiRUSOUSuCtO 电路的激励为单位阶跃电路的激励为单位阶跃(t)，相当于，相当于t=0时将电路接入时将电路接入1V(或或1A)的直流电压的直流电压(流流)源。因此单位阶跃响应源。因此单位阶跃响应s(t)就是就是直直流源作用下的零状态响应。流源作用下的零状态响应。延时阶跃响应延时阶跃
42、响应:激励在激励在t=t0时加入，时加入，则响应从则响应从t=t0开始。开始。uC (t0 )=0+uCUS (t t0)RCi+)()e1(StUuRCtC )(eStRUiRCt USuCtOt0tiRUSOt0)()e1(0S0ttUuRCttC )(e0S0ttRUiRCtt 零状态网络的阶跃响应为零状态网络的阶跃响应为 y(t) (t) 时，时，则延时则延时t0的阶跃响应为的阶跃响应为 y(tt0) (tt0).结论结论：例例1. )5 . 0(10)(10S ttu 求阶跃响应求阶跃响应iC . 10k 10k uS+iC100 F 0.510t (s)uS (V)0解解: 10k
43、 10k 10 (t)+100 F Ci10k 10k 10 (t t0)+100 F Ci等效等效s 5 . 01051010036RCmA )5 . 0()5 . 0(2 teitCmA )(2teitC A)5 . 0()()5 . 0(22 teteiiittCCC 10k 10k 10 (t)V+100 F Ci5k 5 (t) V+100 F Ci10k 10k 10 (t-t0)V+100 F Ci分段表示为：分段表示为：2-2(t-0.5)e mA (00.5)-0.632e mA (0.5)tCtit 例例2. 已知已知: u(t)如图示如图示 , iL(0)= 0 。求。求
44、: iL(t) , 并画波形并画波形 .解解0 t 1 iL(0+)=0 t 0 iL(t)=0 iL( )=1AiL(t) = 1 e t / 6 A =5/ (1/5)=6 su(t)12120t (s)(V)+u(t)1 5 5HiL方法一：用分段函数表示方法一：用分段函数表示+1V1 5 5HiL1 2 iL(2+)= iL(2-)= 2 - 1.846 e - ( 2 - 1 )/ 6 =0.437 A iL( )=2A iL(t) = 0.437 e ( t 2 )/ 6 A =6 s =6 s+2V1 5 5HiL1 5 5HiL tttttitttL2 Ae437. 021 A
45、e846. 1210 Ae10 0)(6/ )2(6/ )1(6/ u(t)= (t)+ (t 1) 2 (t 2) (t)(1 e t / 6) (t) (t 1)(1 e ( t 1) / 6 ) (t 1) 2 (t 2) 2(1 e ( t 2) / 6 ) (t 2)iL(t) = (1 e t / 6) (t)+ (1 e ( t 1) / 6 ) (t 1) 2(1 e ( t 2) / 6 ) (t 2) A00.1540.43712t (s)iL(t)(A)解法二：用全时间域函数表示解法二：用全时间域函数表示(叠加叠加)u(t)12120t (s)(V)例例3.(0 )0(0
46、 )0CLui( )( )Si tt A求求( )?Li t + +iR- - 2F0.25H0.21A iL iC+ +- -0.5iC解：解：0.5( )CRLCSiiiiit根据元件的根据元件的VCR220.251.25( )LLLd idiitdtdt特解特解1Li 齐次方程的通解齐次方程的通解121212(14)p tp tLiAeA epp 非齐次方程的通解非齐次方程的通解4121ttLiAeA e 由初始条件确定待定系数由初始条件确定待定系数(0 )0(0 )0CLui124133AA 阶跃响应阶跃响应441(1) ( )33ttLieet A一、单位冲激函数一、单位冲激函数1.
47、 单位脉冲函数单位脉冲函数P(t)2. 单位冲激函数单位冲激函数 (t)电路对于电路对于单位冲激函数单位冲激函数输入的输入的零状态响应零状态响应称为称为单位冲激响应单位冲激响应。7-8 7-8 一阶电路和二阶电路的冲激响应一阶电路和二阶电路的冲激响应1 (0)( )0 (0,)tP ttt 0lim( )( )P tt 1 0 1/ tP(t)01( ) ( )()P ttt 001d)(tt ( )0t（t0） 1d)(tt t (t)Ok (t) kttkd)( K:冲激强度冲激强度3.延迟单位冲激函数延迟单位冲激函数 (tt0): 1d)( )( 0)( 000ttttttttO (t-
48、t0)t0二二.冲激函数性质冲激函数性质1. (t)与与 (t)关系关系 ( )d( )ttttd (t)( )dtt2. 单位冲激函数的筛分性质单位冲激函数的筛分性质 （取样性质）（取样性质）00( ) ()d( )f ttttf t或( ) ( )df ttt)0(d)()0(fttf 对任意在t=0时连续的函数有：f(t) (t)=f(0) (t)冲激函数有把一个函数在某一时刻的值冲激函数有把一个函数在某一时刻的值“筛筛”出来的本领。出来的本领。tO (t-t0)t0零状态零状态h(t)(t 单位冲激响应单位冲激响应h(t)求解求解 三三.冲激响应冲激响应结论结论:单位阶跃响应单位阶跃响
49、应s(t)对时间的导数就是单位冲激响应对时间的导数就是单位冲激响应h(t)。单位阶跃响应单位阶跃响应s(t)单位冲激响应单位冲激响应h(t)单位冲激函数单位冲激函数 (t)单位阶跃函数单位阶跃函数 (t)dttdt)()( )()(tsdtdth 法一：间接求单位冲激响应法一：间接求单位冲激响应h(t)(1) 先求先求单位阶跃响应单位阶跃响应：)()e1()(tRtuRCtC 例例1.RC并联电路的冲激响应并联电路的冲激响应uC(0+)=0 uC( )=R = RC 求：求： is(t)为单位冲激时电路响应为单位冲激时电路响应 uC(t)和和 iC (t)(2) 再求再求单位冲激响应单位冲激响
50、应： d1 (1e) ( )e( )(1e) ( )dtttRCRCRCCuRttRttC)(e1tCRCt 已知：已知：uC(0-)=0。iCRiSC+uC令令 iS (t)= (t)A解解 d1e( )dtRCCiCtt C)(e1)(e tRCtRCtRCt 1e( )tRCtRC iC(0+)=1 iC( )=0 )(etiRCtC 冲激响应冲激响应阶跃响应阶跃响应uCRtoiC1touCtoC1iCt(1)RC1 1e( )tRCcitRC 1e( )tRCcutCRC并联电路的冲激响应并联电路的冲激响应: 从从RC并联电路的冲激响应曲线可得：并联电路的冲激响应曲线可得： uC(0-