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1、第十三章 能量法材料力学 田田 祖祖 安安重庆科技学院力学系重庆科技学院力学系 2011.03113-1 13-1 概述概述13-2 13-2 杆杆件应变能的计算件应变能的计算13-313-3 应变能的普遍表达式应变能的普遍表达式13-4 13-4 互等定理互等定理13-513-5 卡氏定理卡氏定理13-613-6 虚功原理虚功原理13-713-7 单位载荷法、莫尔积分单位载荷法、莫尔积分13-813-8 计算莫尔积分的图乘法计算莫尔积分的图乘法主要内容213-1 13-1 概述概述外力外力功与变形能功与变形能 弹性杆受拉力弹性杆受拉力P作用，作用，当当P从零开始到终值从零开始到终值 缓慢缓慢
2、加载时，力加载时，力P在其作用方向在其作用方向上的相应位移也由零增至上的相应位移也由零增至 而做的功，称为而做的功，称为外力功外力功。非线性材料拉杆的P-D曲线、s-t关系与应变能313-1 13-1 概述概述 与此同时弹性杆被拉长 D1 而具有做功的能力,表明杆件内储存了变形能变形能。单位体积储存的应变能称为应变比能应变比能非线性材料拉杆的P-D曲线、s-t关系与应变能整个杆件的变形能为4 如果略去拉伸过程中的动能及其它能量的变化与损失，由能量守恒原理，杆件的变形能U在数值上应等于外力做的功W，即有13-1 13-1 概述概述 这是一个对变形体都适用的普遍原理称为功功能原理能原理.是利用能量
3、原理（同时满足平衡、变形协调和物性关系)分析应力、变形和位移的方法。5 可以确定任意点沿任意方向的位移；可以确定任意点沿任意方向的位移；可以确定任意点沿任意方向的位移；可以确定任意点沿任意方向的位移；可以确定位移函数；可以确定位移函数；可以确定位移函数；可以确定位移函数；既可以确定位移，又可以确定内力和应既可以确定位移，又可以确定内力和应既可以确定位移，又可以确定内力和应既可以确定位移，又可以确定内力和应 力；力；力；力；既适用于线性问题，又适用于非线性问既适用于线性问题，又适用于非线性问既适用于线性问题，又适用于非线性问既适用于线性问题，又适用于非线性问 题；题；题；题；可以用于直接求解超静
4、定；可以用于直接求解超静定；可以用于直接求解超静定；可以用于直接求解超静定；容易扩展到二维和三维问题。容易扩展到二维和三维问题。容易扩展到二维和三维问题。容易扩展到二维和三维问题。能量原理分析应力、变形和位移的的优势能量原理分析应力、变形和位移的的优势能量原理分析应力、变形和位移的的优势能量原理分析应力、变形和位移的的优势13-1 13-1 概述概述613-2 13-2 应变能的计算应变能的计算Fl一、轴向拉伸或压缩一、轴向拉伸或压缩一、轴向拉伸或压缩一、轴向拉伸或压缩#轴力轴力 FN 是是 x 的函数时的函数时#应变能密度应变能密度 lF l lF713-2 13-2 应变能的计算应变能的计
5、算二、扭转二、扭转二、扭转二、扭转lMeMeMe#扭矩扭矩 T 是是 x 的函数时的函数时#纯剪切，应变能密度纯剪切，应变能密度813-2 13-2 应变能的计算应变能的计算三、弯曲三、弯曲三、弯曲三、弯曲#纯弯曲纯弯曲lq qMeMeq qq qMe913-2 13-2 应变能的计算应变能的计算#横力弯曲横力弯曲对于对于细长梁细长梁，剪力引起的，剪力引起的应变能应变能与弯矩引起的应与弯矩引起的应变能相比很小，通常可以变能相比很小，通常可以忽略不计忽略不计，省略省略d dM M(x x)纯弯曲纯弯曲ldxxF1F2FS(x)FS(x)M(x)M(x)+dM(x)dxdq q10讨论：讨论：应变
6、能统一写为应变能统一写为广义力广义力广义位移广义位移（可以代表一个力，一个力偶，一对（可以代表一个力，一个力偶，一对力或一对力偶）力或一对力偶）（可以代表一个线位移，一个角位移，（可以代表一个线位移，一个角位移，一对线位移或一对角位移）一对线位移或一对角位移）非线性弹性固体非线性弹性固体FF1F13-2 13-2 应变能的计算应变能的计算1113-2 13-2 应变能的计算应变能的计算例例1 1 简支梁，跨中受集中力简支梁，跨中受集中力F 作用，计算其应变能及最作用，计算其应变能及最大挠度。大挠度。Fl/2l/2Fl/4 max解解:弯矩方程弯矩方程（1 1）应变能）应变能（2 2）最大挠度）
7、最大挠度12例例2 2 由应变能密度公式，导出横力弯曲时的弯曲应变能和由应变能密度公式，导出横力弯曲时的弯曲应变能和剪切应变能。剪切应变能。mdxxn解解:mn截面，距中性轴为截面，距中性轴为y 处的应力处的应力y13-2 13-2 应变能的计算应变能的计算13mdxxnyzbhydAy单元体的体积：单元体的体积：弯曲应变能：弯曲应变能：剪切应变能：剪切应变能：整个梁的弯曲应变能：整个梁的弯曲应变能：13-2 13-2 应变能的计算应变能的计算1413-2 13-2 应变能的计算应变能的计算mdxxnyzbhydAy整个梁的弯曲应变能：整个梁的弯曲应变能：整个梁的剪切应变能：整个梁的剪切应变能
8、：1513-2 13-2 应变能的计算应变能的计算bhFl/2l/2x(i)(ii)l 所以，对细长梁，剪切应变能可所以，对细长梁，剪切应变能可忽略不计忽略不计1613-3 13-3 应变能的普遍表达式应变能的普遍表达式一、应变能的普遍表达式一、应变能的普遍表达式一、应变能的普遍表达式一、应变能的普遍表达式F3F1F2l 线弹性线弹性体体 l 无刚体位移无刚体位移l 广义力广义力 F1,F2,F3 l 力作用点沿力的方向的力作用点沿力的方向的广义位移广义位移 1 1,2,3 l 比例加载：比例加载：比例系数比例系数 时广义力的大小为时广义力的大小为:相应的广义位移为相应的广义位移为:1713-
9、3 13-3 应变能的普遍表达式应变能的普遍表达式当当 有有d d 增量时增量时,位移的增量为位移的增量为:则外力在位移增量上做的功为则外力在位移增量上做的功为:积分得到力的总功为积分得到力的总功为:F3F1F2 Fn1813-3 13-3 应变能的普遍表达式应变能的普遍表达式F3F1F2 Fn力的总功为力的总功为:由功能原理，应变能为由功能原理，应变能为:应变能的普遍表达式，又称为应变能的普遍表达式，又称为克拉贝依隆原理克拉贝依隆原理注意注意：i 是由是由F1,F2,F3 共同共同作用作用下产生下产生的位移的位移，可以证明该原理也适用于非比例加载情况可以证明该原理也适用于非比例加载情况191
10、3-3 13-3 应变能的普遍表达式应变能的普遍表达式二、组合变形时的应变能二、组合变形时的应变能二、组合变形时的应变能二、组合变形时的应变能小变形时，不计小变形时，不计FS产生的应变能产生的应变能dxFN(x)M(x)M(x)T(x)T(x)FN(x)2013.4 13.4 互等定理互等定理F11 11112 2121F2 2222 121212两种受力情况，两种受力情况，F11 1111 1212 2222F22 1111 2121 22222F21F1先加先加 F1 再加再加 F2，加载方式加载方式1 1：先加先加 F2 再加再加 F1，加载方式加载方式2 2：2113.4 13.4 互
11、等定理互等定理F11 1111 1212 2222F22 1111 2121 22222F21F1先加先加 F1 再加再加 F2，先加先加 F2 再加再加 F1，功的互等定理：功的互等定理：对于线弹性体，对于线弹性体，F1 在在 F2 引起的位移引起的位移 1212上所作的功，等于上所作的功，等于F2 在在F1引起的位移引起的位移 2121上所作的功上所作的功2213.4 13.4 互等定理互等定理讨论：讨论：位移互等定理：位移互等定理：lBAF112lBA12F2如果令如果令 F1=F2=F位移互等定理位移互等定理：F力作用在力作用在 1 点处引起点处引起 2 点处点处的位移等的位移等于其作
12、用在于其作用在 2 点处引起点处引起 1 点处的位移点处的位移23(13.4 (13.4 互等定理互等定理)例例3.3.用互等定理求解超静定梁。用互等定理求解超静定梁。解：解：力力 位移位移由功的互等定理由功的互等定理lPaCAB0 (at point B)PRBCABX=1CAB2413.5 13.5 卡氏定理卡氏定理以梁弯曲问题为例，推导卡氏定理以梁弯曲问题为例，推导卡氏定理令第令第i个载荷发生增量个载荷发生增量dFi，应变能应变能应变能增量应变能增量若先加若先加dFi，应变能应变能再加再加Fi，应变能增量应变能增量i2513.5 13.5 卡氏定理卡氏定理i注意到注意到应变能与加载次序无
13、关应变能与加载次序无关，消去同类项，略去高阶项，得到消去同类项，略去高阶项，得到 （13.16）卡氏第二定理：卡氏第二定理：线弹性体线弹性体的应变能的应变能 Ve e 对第对第 i 个载荷个载荷 Fi 的偏导数的偏导数 Ve e/Fi 等于等于Fi 作用点处沿作用点处沿Fi 作用方向的位移作用方向的位移d di2613.5 13.5 卡氏定理卡氏定理讨论：讨论：横力弯曲横力弯曲横力弯曲的应变能横力弯曲的应变能代入卡氏第二定理代入卡氏第二定理交换求导和积分的次序，有交换求导和积分的次序，有2713.5 13.5 卡氏定理卡氏定理 桁架、拉、压杆桁架、拉、压杆设有设有n 根杆，则应变能为根杆，则应
14、变能为:代入卡氏第二定理代入卡氏第二定理2813.5 13.5 卡氏定理卡氏定理例例4.4.外伸梁受力如图，已知外伸梁受力如图，已知 P,m,EI,l,a，确定确定wC,q qA A解：解：弯矩方程弯矩方程AB段段：BC段段：PBAClamRARBx2x129 确定确定C点的挠度点的挠度 PBAClamRARBx2x13013.5 13.5 卡氏定理卡氏定理 确定截面确定截面A的转角的转角 PBAClamRARBx2x13113.5 13.5 卡氏定理卡氏定理例例5.5.刚架受力如图所示，试确定刚架受力如图所示，试确定q qC、Dx，忽略轴力和剪忽略轴力和剪力对应变能的影响。力对应变能的影响。
15、解：解：为求为求q qC，在在C 处处施加一附加力偶矩施加一附加力偶矩ma(方向相反方向相反)BACDm2aaaACDBmx1x3x2maRDRA3213.5 13.5 卡氏定理卡氏定理CD段段：CB段段：AB段段：BACDm2aaaACDBmx1x3x2maRDRA3313.5 13.5 卡氏定理卡氏定理令令 BACDm2aaaACDBmx1x3x2maRDRA讨论：讨论：可在积分前令可在积分前令3413.5 13.5 卡氏定理卡氏定理ACDBmx1x3x2PaRDRAyRAxBACDm2aaaACDBmx1x3x2maRDRA 为求为求 Dx，在，在D 处施加一附加力处施加一附加力Pa35
16、13.5 13.5 卡氏定理卡氏定理(在在 mm截面截面)RPBAmmds例例6.6.轴线为轴线为四分之一圆周的平面曲杆如图示，四分之一圆周的平面曲杆如图示，EI为常量，求为常量，求B点的垂直和水平位移。点的垂直和水平位移。解：解：(1)计算计算B点的垂直位移点的垂直位移 B By3613.5 13.5 卡氏定理卡氏定理（2）计算）计算B点的水平位移点的水平位移RPBAmmdsRPBAmmdsPa3713.6 13.6 虚功原理虚功原理xu u*(x)虚位移虚位移u u*(x)：满足满足边界条件边界条件和和连续性条件连续性条件的微小位移的微小位移微小位移微小位移 符合符合小变形小变形要求要求虚
17、功：虚功：杆件上的力由于虚位移而完成的功杆件上的力由于虚位移而完成的功设想把杆件分成无穷多微段，任取一微段qFSFNM3813.6 13.6 虚功原理虚功原理u u*(x)FNqFSM总虚功总虚功 =所有微段的内、外力虚所有微段的内、外力虚功逐段相加（积分）功逐段相加（积分）因为虚位移是连续的，两个相邻微段的公共截面因为虚位移是连续的，两个相邻微段的公共截面的位移和转角是相同的，但相邻微段公共截面上的位移和转角是相同的，但相邻微段公共截面上的内力却是大小相等、方向相反的，故它们所作的内力却是大小相等、方向相反的，故它们所作的虚功相互抵消。的虚功相互抵消。总虚功总虚功 =外力在虚位移中所做的功外
18、力在虚位移中所做的功广义力：广义力：力作用点沿力方向的力作用点沿力方向的广义虚位移：广义虚位移：总虚功：总虚功：39(13.6 (13.6 虚功原理虚功原理)+=+d(l)*dq q *dl l*qFSMu u*(x)FN另一方法计算总虚功：另一方法计算总虚功：刚性虚位移刚性虚位移虚变形虚变形微段上的平衡力系（包括外力和内微段上的平衡力系（包括外力和内力）在刚体虚位移上作功总和为零力）在刚体虚位移上作功总和为零只有两端截面的内力在虚变形上作功只有两端截面的内力在虚变形上作功总虚功：总虚功：40(13.6 (13.6 虚功原理虚功原理)+=+d(l)*dq q *dl l*qFSMu u*(x)
19、FN虚功原理：虚功原理：在虚位移上，外力所作的虚功等于内力在相在虚位移上，外力所作的虚功等于内力在相应虚变形上所作的虚功应虚变形上所作的虚功虚功原理可用于虚功原理可用于线弹性线弹性材料，也可用于材料，也可用于非线性弹性非线性弹性材料材料4113.7 13.7 单位载荷法、莫尔积分单位载荷法、莫尔积分一、单位载荷法一、单位载荷法aaD DAA aaA1为计算刚架上某一点为计算刚架上某一点沿某方向的位移沿某方向的位移D D加加一一单位力单位力把刚架在原有外力作用下的位移作为虚位移由虚功原理由虚功原理其中其中，为单位力引起的内力为单位力引起的内力为原有外力引起的变形为原有外力引起的变形4213.7
20、13.7 单位载荷法、莫尔积分单位载荷法、莫尔积分由虚功原理由虚功原理其中其中，为单位力引起的内力为单位力引起的内力为原有外力引起的变形为原有外力引起的变形#几种简化的形式几种简化的形式 以弯曲变形为主的杆件以弯曲变形为主的杆件 拉压杆拉压杆轴力为常量轴力为常量n 根杆的杆系根杆的杆系 扭转扭转4313.7 13.7 单位载荷法、莫尔积分单位载荷法、莫尔积分二、莫尔积分二、莫尔积分二、莫尔积分二、莫尔积分对于对于线弹性线弹性材料，实际载荷引起的变形分别为材料，实际载荷引起的变形分别为则：则：这些公式统称为这些公式统称为莫尔定理莫尔定理，式中的积分称为，式中的积分称为莫尔积分莫尔积分4413.7
21、 13.7 单位载荷法、莫尔积分单位载荷法、莫尔积分式中：加一杠的内力是式中：加一杠的内力是单位力单位力引起的内力；引起的内力；未加杠的内力是未加杠的内力是原外力原外力引起的内力。引起的内力。显然，莫尔积分仅适用于显然，莫尔积分仅适用于线弹性线弹性结构。结构。lBAlBA11 求相对位移求相对位移4513.7 13.7 单位载荷法、莫尔积分单位载荷法、莫尔积分例例7.确定悬臂梁确定悬臂梁B点的挠度。点的挠度。由莫尔积分，由莫尔积分，解：解：xBAxFABlq4613.7 13.7 单位载荷法、莫尔积分单位载荷法、莫尔积分解解：(1)在在A点作用垂直向下的单位力点作用垂直向下的单位力AB段段:B
22、C段段:ACFBalEI1EI21ACBx1x2x2x1例例8.8.刚架受力刚架受力如图示，各段如图示，各段 EI 已于图中标出，若不计轴力和已于图中标出，若不计轴力和剪力对位移的影响，求剪力对位移的影响，求A点的垂直位移及截面点的垂直位移及截面B的转角。的转角。4713.7 13.7 单位载荷法、莫尔积分单位载荷法、莫尔积分由莫尔积分由莫尔积分ACFBalEI1EI21ACBx1x2x2x148(2)在在B截面上作用一单位力偶截面上作用一单位力偶:AB段段:BC段段:ACB由莫尔积分由莫尔积分 （顺时针）1x1x21ACBx1x2ACFBalEI1EI2x2x14913.7 13.7 单位载
23、荷法、莫尔积分单位载荷法、莫尔积分BAORFFds例例9.9.活塞环活塞环如图示，试计算在如图示，试计算在F力作用下切口的张开量。力作用下切口的张开量。解：解：对于曲杆可近似用直杆的公式；只考虑弯矩的影响对于曲杆可近似用直杆的公式；只考虑弯矩的影响实际载荷的弯矩：实际载荷的弯矩：由于对称性，计算时弯矩只列写环的一半，计算结果乘由于对称性，计算时弯矩只列写环的一半，计算结果乘2 处截面处截面:在在A、B两点沿两点沿AB方向加一对方向相反的单位力方向加一对方向相反的单位力加单位力加单位力 BAOR115013.7 13.7 单位载荷法、莫尔积分单位载荷法、莫尔积分BAORFFdsBAOR11ds单
24、位力的弯矩单位力的弯矩:处截面处截面:代入莫尔积分公式代入莫尔积分公式实际载荷的弯矩：实际载荷的弯矩：5113.7 13.7 单位载荷法、莫尔积分单位载荷法、莫尔积分lBACDl解：解：对杆件编号对杆件编号,如图示如图示BACD12345BACD12345111例例10.10.简单桁架简单桁架如图示，各杆如图示，各杆EA相同，试计算在图示载荷相同，试计算在图示载荷作用下节点作用下节点B的水平位移和的水平位移和A、D两节点间的相对位移两节点间的相对位移12345(1)计算各杆的轴力计算各杆的轴力2FFF(2)为计算节点为计算节点B的水平位移，在的水平位移，在B点加一水平单位力点加一水平单位力52
25、（13.7 13.7 单位载荷法、莫尔积分）单位载荷法、莫尔积分）lBACDl123452FFF杆件编号杆件编号12345BACD12345111153（13.7 13.7 单位载荷法、莫尔积分）单位载荷法、莫尔积分）lBACDl123452FFF(2)为计算节点为计算节点B的水平位移，在的水平位移，在B点加一水平单位力点加一水平单位力代入莫尔积分公式代入莫尔积分公式BACD123451111(向左向左)54lBACDl123452FFFBACD1234511(3)为计算为计算A、D间的相对位移，间的相对位移，在在A点和点和D点点沿沿AD联线联线作用一作用一对相反的单位对相反的单位力力杆件编号
26、杆件编号12345（13.7 13.7 单位载荷法、莫尔积分）单位载荷法、莫尔积分）55lBACDl123452FFFBACD1234511(3)为计算为计算A、D间的相对位移，在间的相对位移，在A点和点和D点点沿沿AD联线联线作作用一对相反的单位力用一对相反的单位力（A D两点距离伸长）两点距离伸长）（13.7 13.7 单位载荷法、莫尔积分）单位载荷法、莫尔积分）56例例11 11 拐杆如图拐杆如图，A A处为一轴承，允许杆在轴承内自由转动，但不能处为一轴承，允许杆在轴承内自由转动，但不能上下移动，已知：上下移动，已知：E=210GPa，G=0.4E，求求B点的垂直位移点的垂直位移。解：1
27、 1、单位载荷如图单位载荷如图2 2 2 2、求内力求内力573 3、求求求求变形变形13.7 13.7 单位载荷法、莫尔积分单位载荷法、莫尔积分5813.7 13.7 计算莫尔积分的图乘法计算莫尔积分的图乘法 在应用莫尔定理求位移时，需计算下列形在应用莫尔定理求位移时，需计算下列形式的积分：式的积分：对于等直杆，对于等直杆，EI=const，可以提到积分号外，可以提到积分号外，故只需计算积分故只需计算积分5913.7 13.7 计算莫尔积分的图乘法计算莫尔积分的图乘法直杆的直杆的M0(x)图必定是直线或折线。图必定是直线或折线。6013.7 13.7 计算莫尔积分的图乘法计算莫尔积分的图乘法
28、6113.7 13.7 计算莫尔积分的图乘法计算莫尔积分的图乘法顶点顶点顶点顶点n二次抛物线二次抛物线6213.7 13.7 计算莫尔积分的图乘法计算莫尔积分的图乘法 例：试用图乘法求例：试用图乘法求所所示悬臂梁自由端示悬臂梁自由端B的挠度和转角。的挠度和转角。LFF解解（1 1）求自由端的挠度）求自由端的挠度6313.7 13.7 计算莫尔积分的图乘法计算莫尔积分的图乘法Fm=1(2)求自由端的转角求自由端的转角6413.7 13.7 计算莫尔积分的图乘法计算莫尔积分的图乘法例：试用图乘法求例：试用图乘法求所所示简支梁的最大挠度和最大转角。示简支梁的最大挠度和最大转角。qM解解（1）简支梁的
29、最大挠度简支梁的最大挠度6513.7 13.7 计算莫尔积分的图乘法计算莫尔积分的图乘法（2）求最大转角）求最大转角最大转角发生在两个支座处最大转角发生在两个支座处6613.7 13.7 计算莫尔积分的图乘法计算莫尔积分的图乘法例：试用图乘法求例：试用图乘法求所所示简支梁示简支梁C截面的挠度和截面的挠度和A、B截面的转角。截面的转角。6713.7 13.7 计算莫尔积分的图乘法计算莫尔积分的图乘法解：解：6813.7 13.7 计算莫尔积分的图乘法计算莫尔积分的图乘法6913.7 13.7 计算莫尔积分的图乘法计算莫尔积分的图乘法70 例：图示梁，抗弯刚度为例：图示梁，抗弯刚度为EI，承受均布
30、载荷承受均布载荷q及集中力及集中力x作作用。用图乘法求：用。用图乘法求：(1)集中力作用端挠度为零时的集中力作用端挠度为零时的X值；值；(2)集中力作用端转角为零时的集中力作用端转角为零时的X值。值。F13.7 13.7 计算莫尔积分的图乘法计算莫尔积分的图乘法7113.7 13.7 计算莫尔积分的图乘法计算莫尔积分的图乘法解解：(1)F7213.7 13.7 计算莫尔积分的图乘法计算莫尔积分的图乘法(2)731、下图所示阶梯状变截面杆受轴向压力、下图所示阶梯状变截面杆受轴向压力P作用，其变形能作用，其变形能U应为应为 :（）（）（）（）（）（）（D）本章习题本章习题一、选择题一、选择题742
31、、下图所示同一杆梁的三种载荷情况，试指出下列关系式中哪下图所示同一杆梁的三种载荷情况，试指出下列关系式中哪个是正确的个是正确的 ：（）（）（）（）（）（）（D）本章习题本章习题753、下图所示梁的载荷图，下图所示梁的载荷图，M图，图，M0图，用图乘法求图，用图乘法求C点的点的挠度，正确的算式为挠度，正确的算式为 :、D、本章习题本章习题764 4、若材料服从虎克定律，且物体的变形满足小变形条件，、若材料服从虎克定律，且物体的变形满足小变形条件，则该物体的则该物体的 与载荷之间呈非线性关系。与载荷之间呈非线性关系。A、内力；、内力；B、应力、应力、C、位移、位移、D、变形能。、变形能。D本章习题本章习题5、物体内储藏的变形能与载荷的、物体内储藏的变形能与载荷的 。A、最终值和加载次序均无关、最终值和加载次序均无关；B、最终值无关，与加载次序有关、最终值无关，与加载次序有关；C、最终值和加载次序均有关、最终值和加载次序均有关；D、最终值有关，与加载次序无关、最终值有关，与加载次序无关。D77作作 业业n习习 题题 13.613.6、13.813.8、13.2613.26第第1010章章 完完78