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1、第11章 能量法第11章 能量法基本概念11.1杆件应变能的计算11.2应变能的普遍表达式11.3卡式定理11.411.1 基本概念11.1.1 弹性应变能与功能原理 弹性体在荷载作用下将发生变形，当作用在弹性体上的荷载，由零缓慢地增加至最终值时,弹性体的变形也由零增至其最终值，荷载的作用点随之发生位移，荷载在其相应位移上做功，称为外力功。若不计其它能量损耗，外力功将全部以能量形式储存于弹性体中,这种因弹性体的变形而储存在其内部的能量，称为弹性应变能(简称应变能)。 弹性体的应变能是可逆的，当逐渐解除外荷载时,它又在恢复变形中释放出全部应变能而做功。应变能通常用V表示，数值上等于外力功W，即V
2、 = W上式称为弹性体的功能原理。应变能V的单位为J，1J=1Nm。11.1 基本概念11.1.1 弹性应变能与功能原理 利用功和能的概念求解变形固体力学问题的方法，统称为能量法。能量法在刚架、曲杆等复杂结构的变形计算和超静定结构的求解等复杂的材料力学问题中得到广泛的应用。 本章主要分析线弹性问题，即材料符合胡克定律，位移与荷载成线性关系。符合线弹性的构件或结构称为线性弹性体。11.1 基本概念11.1.2 外力功与余功 如图所示轴向拉伸杆件，设杆件的材料为几何非线性弹性材料，杆端位移与杆端外力F之间的关系如图所示，当荷载缓慢地由零增加到最终值F1时，杆件的拉伸变形也缓慢地由零增长到1，设F是
3、加载过程中的某一拉力值，相应的位移为，若荷载再增加dF，杆件的位移相应增长d，则荷载F因产生位移d所做的功为图中曲线下阴影线的微面积dW，即ddWF 11.1 基本概念11.1.2 外力功与余功拉力F从零增加到F1的整个加载过程中，所做的总功W为图中阴影线的微面积dW的总和，即图中曲线下的面积，外力功W应为10dWFF-曲线与纵坐标轴(F轴)之间的面积定义为余功Wc，即10dFcWF当杆件在线弹性范围内工作时，F-曲线为直线，如图所示，外力功与余功相等，即12cWWF11.2 杆件应变能的计算11.2.1 轴向拉伸和压缩时杆件的应变能如图所示等截面受拉直杆，轴向拉力由零缓慢增至F，杆件最终伸长
4、量为l。当杆件在线弹性范围内工作时，杆件所受拉力与杆的变形之间呈线性关系，由功能原理可知，应变能与外力功相等，即12VWF l杆内任一横截面上的轴力FN=F，将杆件伸长量 代入得：NF llEA 22NF lVWEA11.2 杆件应变能的计算11.2.1 轴向拉伸和压缩时杆件的应变能上式适用于等截面直杆在两端受静力荷载F作用的情况。对于图(c)所示轴力沿杆长变化的杆件，可取dx段按上式计算应变能，再沿杆长积分得整个杆件的应变能为 22NlFxVdxEA11.2 杆件应变能的计算11.2.2 圆轴扭转时的应变能如图所示等截面扭转轴，扭转轴的两端截面上作用有等值反向的外力偶矩Me，扭转轴任一横截面
5、上的扭矩Mt=Me。在线弹性范围内，扭矩Me与两端相对扭转角呈线性关系。扭转轴两端截面相对扭转角 ，根据功能原理有：t=PM lGI21=22tePM lVWMGI11.2 杆件应变能的计算11.2.2 圆轴扭转时的应变能21=22tePM lVWMGI上式适用等截面直杆在两端受外力偶矩作用的情况，当扭矩Mt沿轴线为变量时，杆件的应变能按下列积分计算 22tlPMxVdxGI11.2 杆件应变能的计算11.2.3 弯曲梁的应变能如图所示，等截面直梁发生纯弯曲时，梁各横截面上的弯矩M=Me，当梁处于线弹性范围内时，梁的曲率 ，圆心角 ，故有1=MEI=l=MlEIMe与间呈线性关系，由功能原理，
6、梁在纯弯曲时的应变能为：2122eM lVWMEI11.2 杆件应变能的计算11.2.3 弯曲梁的应变能在横力弯曲时横截面上的弯矩和剪力沿杆长变化，并且应变能包含弯曲应变能和剪切应变能两部分。对工程中常见的细长梁，剪切应变能比弯曲应变能小很多，可以只考虑弯曲应变能，所以梁的应变能为2( )2lMxVdxEI11.2 杆件应变能的计算表11.1 基本变形情况下杆件的应变能杆件基本变形时的外力功与应变能列于表11.1中，综上所述，应变能可统一表示为12VWFWV12WFlNFFNF llEA 22NF lVEA12eWMteMMtpM lGI22tpM lVGI12eWMeMMzMlEI22zM
7、lVEIWV12WFlNFFNF llEA 22NF lVEA12eWMteMMtpM lGI22tpM lVGI12eWMeMMzMlEI22zM lVEI11.2 杆件应变能的计算式中的F可以理解为广义力，是与广义力相应的广义位移。 一是方向的相应，即线位移是指力作用点处沿着力作用线方向的位移，角位移是与力偶旋转方向一致的角位移； 二是性质相应，即集中力只能在线位移上做功，集中力偶只能在角位移上做功。例如，在扭转时，“F”是扭转力偶，而与扭转力偶相应的位移“”是截面的相对扭转角。杆件组合变形时，在线弹性、小变形条件下，轴力、弯矩和扭矩做的功是相互独立的，即任一内力在其他内力作用引起的位移上
8、不做功，因此组合变形的应变能等于各内力单独作用产生的应变能之和，即 222( )+222NtlllPFxMxMxVdxdxdxEAGIEI非圆截面杆，上式中的IP改为It 11.2 杆件应变能的计算【例11.1】悬臂梁自由端受集中力F的作用，如图所示，试利用功能原理求B点的挠度。设抗弯刚度EI为常数。【解】：悬臂梁的弯矩方程为悬臂梁的应变能为当梁在线弹性范围内变形时，力F在B点的挠度B上所作的功为( )M xFx 22320( )12223llMxFlVdxFx dxEIEIEI12BWF v根据功能原理，W=V，由上面两式得到 33BFlvEI2.4 轴向拉（压）杆的变形 胡克定律【例2.5
9、】图示杆系结构由钢杆AC和BC在点C铰接而成。已知两杆与铅垂线均夹角=30，长度均为l=1m，直径均为d=25mm，钢的弹性模量E=210GPa。在节点C处悬挂一重为F=200kN的重物，试求节点C的位移C。【解】：求各杆轴力 取节点C为研究对象， 受力分析列方程。0 xFN2N1sinsin0FF0yFN1N2coscos0FFF 得N1N22cosFFF求各杆变形 由胡克定律得N1122cosF lFlllEAEA 返回【例11.2】返回【例11.7】2.4 轴向拉（压）杆的变形 胡克定律【例2.5】图示杆系结构由钢杆AC和BC在点C铰接而成。已知两杆与铅垂线均夹角=30，长度均为l=1m
10、，直径均为d=25mm，钢的弹性模量E=210GPa。在节点C处悬挂一重为F=200kN的重物，试求节点C的位移C。【解】：求节点C的位移以C为圆心，以两杆伸长量l1、 l2为半径作圆弧，交点C即为C点变形后的位置，CC即为节点C的位移。根据小变形假定，近似用垂线代替圆弧，分别过C1、C2作两杆的垂线交于C，CCCC。由对称性知C必与C在同一铅垂线上，由图(c)所示几何关系可得1cosClCC 代入得3329262200 101 41.293 10 m1.293mm2cos2 210 102510cos 30CFlEA 返回【例11.2】返回【例11.7】11.2 杆件应变能的计算【例11.2
11、】试计算【例2.5】杆系结构的应变能，并求节点C的位移C。【解】：计算杆系结构的应变能求节点C的位移根据功能原理，W=V，可得在例2.5中已经计算出钢杆AC和BC的轴力为N1N22cosFFF由对称性可知，两杆的应变能相等，求得结构的应变能为3222N1932200 10 N()() (1m)2cos2cos3022(210 10 Pa)(25 10m) 4129.34N m129.34 JFlF lVEAEA12CWF3322 129.34 N m1.293 10m1.293mm ( )200 10 NCVF11.3 应变能的普遍表达式图示弹性体上作用n个广义力F1、F2、Fn，对应产生相应
12、的广义位移1、2、n。由于应变能的数值与加载的次序无关，只与外力与位移的最终值有关，得线弹性体应变能的一般表达式为112niiiVWF上式表示，线弹性体的应变能等于各广义力与其相应广义位移乘积一半的总和，这一结论称为克拉贝隆原理。由于线弹性体上的外力F1、F2、Fn与位移1、2、n之间存在线性关系，所以当把上式中的外力用位移表示，应变能就成为位移的二次齐次函数，若把位移用外力来表示，则应变能就成为外力的二次齐次函数。故多荷载共同作用时的应变能不能按各荷载单独作用所产生的应变能叠加。11.3 应变能的普遍表达式【例11.3】如图所示悬臂梁承受集中力F与集中力偶Me的作用。试计算梁的应变能。设抗弯
13、刚度EI为常数。【解】：查表7.1并由叠加原理可知，横截面A的铅垂位移与转角的值分别为梁的应变能即应变能是不能利用叠加原理进行计算的。 2332eeAAFAMM lFlvvvEIEI22eeAAFAMM lFlEIEI222 31122622eeAeAFM lM lF lVWFvMEIEIEI22 3112262eeAFeAMM lF lVFvMEIEI11.3 应变能的普遍表达式【例11.4】试求图示简支梁的应变能，并求集中力F作用点C处的挠度C。设抗弯刚度EI为常数。【解】：由于AC、BC两段对称，所以全梁的应变能等于AC段的两倍。AC段内的弯矩方程为梁的应变能 12M xFx02lx 2
14、22 322001dd2222296llFxxM xxF lVEIEIEI2 31296CF lWFvVEI 348CFlvEI11.4 卡式定理11.4.1 卡式第一定理图示弹性体上作用n个广义力F1、F2、Fn，对应产生相应的广义位移1、2、n，弹性体的应变能可表示为位移的函数V=V(1, 2, , n)。假设沿力Fi方向的位移有一微小增量di，则弹性体应变能相应的增量为：iiVdVd因只有沿力Fi方向的位移有一微小增量，沿其余各作用力方向的位移保持不变，故外力功的增量为：iidWFd根据功能原理有dVdWiiVF上式称为卡式第一定理，该定理表明，弹性体的应变能对某一广义位移的偏导数，等于
15、与该位移相应的广义力。卡式第一定理适用于线性和非线性弹性体。11.4 卡式定理11.4.2 卡式第二定理图示弹性体上作用n个广义力F1、F2、Fn，对应产生相应的广义位移1、2、n，弹性体的应变能可表示为位移的函数V=V(F1, F2, , Fn)。若某一广义力Fi有一微小增量dFi，则余能Vc相应的增量为：仿照功能原理，将与外力余功Wc相应的能称为余能，用Vc表示。余功Wc与余能Vc在数值上相等，即10FccVWdFdcciiVdVFF由于只有力Fi有一个微小增量dFi，其余各作用力保持不变，故外力余功的增量为：ciidW dFccdVdW10FccVWdF由于所以ciiVF代入得11.4
16、卡式定理对于线弹性体，应变能V在数值上等于余能Vc，所以ciiVFiiVF上式称为卡氏第二定理。该式表明，线弹性体的应变能对某一广义力Fi的偏导数，等于Fi作用点沿Fi方向的广义位移。从推导的过程可以看出，卡氏第二定理只适用于线弹性体。下面把卡氏第二定理应用于几种常见的情况：对于横力弯曲梁，由应变能公式和卡氏第二定理，得位移计算公式为 2d2iliiMxVxFFEI上式中，积分是对x的，而微分是对 的，所以可将积分符号里面的函数先微分，然后再积分，故有 diliiM xM xVxFEIF其它以受弯为主的构件，如刚架，也可按该式计算变形。iF11.4 卡式定理对横截面高度远小于轴线曲率半径的平面
17、曲杆，弯曲应变能可仿照直梁写成应用卡氏第二定理得 2d2sMsVsEI disiiM sM sVsFEIF对于具有n根杆件的桁架，应变能212nNiiiiFlVEA应用卡氏第二定理得1=nNi iNiiiiiiVF lFFEAF显然，在利用卡氏第二定理求位移时，需首先将应变能表达成荷载的函数。卡氏第二定理求得的是广义力作用处的位移；当需要求位移的点处没有与位移相应的力作用时，采用附加荷载法，即在需要求位移的点处沿着位移的方向假设作用一零值广义力F0(F0=0)，然后进行计算，在求出应变能V对F0的偏导数以后，用F0=0代入。即有000=0FVF11.4 卡式定理【例11.5】如图所示l/4圆周
18、平面曲杆，曲杆自由端B点作用集中力F，抗弯刚度EI为常量。试用卡氏第二定理求B点铅垂方向的位移By。【解】：曲杆的弯矩方程以及对F的偏导数分别为由卡氏定理，并注意ds=Rd，得B点铅垂方向的位移为 cosM sFR cosM sRF 3201coscosd4BysiM sM sVFRdsFRRRFEIFEIEI11.4 卡式定理【例11.6】如图所示悬臂梁，自由端A处作用集中力偶Me，抗弯刚度EI为常量。试用卡氏第二定理求A截面的转角A和挠度A。【解】：求A截面的转角A梁的弯矩方程以及对Me的偏导数分别为由卡氏第二定理得A截面的转角为e)M xM （ 1eM xM 0dleeAleeM xM
19、xVMM lxdxMEIMEIEI11.4 卡式定理【例11.6】如图所示悬臂梁，自由端A处作用集中力偶Me，抗弯刚度EI为常量。试用卡氏第二定理求A截面的转角A和挠度A。【解】：求A截面的挠度A由于A截面处没有与挠度A相应的集中力作用，可以在截面A处沿挠度A的方向假设作用一零值集中力F(F=0)，如图(b)所示。此时梁的弯矩方程以及对F的偏导数分别为由卡氏第二定理得A截面的挠度为e( )M xFxM ( )M xxF 0001( )( )dlAFFVM xvM xxFEIF 20exd2leMxM lEIEI在需要虚设力计算位移时，只需要在计算弯矩的偏导数时考虑虚设力F，在积分之前可以令弯矩
20、方程中的F=0，这样可以简化计算。11.4 卡式定理【例11.7】试用卡氏第二定理计算【例2.5】杆系结构中，节点C的位移C。【解】：在例2.5中已经计算出钢杆AC和BC的轴力为N1N22cosFFF两杆轴力对F的偏导数为12cosNiFF由对称性，节点C的位移沿铅垂方向，与力F方向一致，由卡氏第二定理得节点C的位移为 13392621=22cos2cos200 1011.293 101.2932 210 102510cos 304nNi iNiCiiVF lFFlFEAFEAmmmp 本章小结能量法是分析杆件变形的实用方法之一。本章主要介绍了两方面内容;：一是应变能的计算；二是利用能量方法计
21、算结构的位移。 应变能的计算： 弾性体在外力作用下发生変形时,储存于体内的应变能，在数值上等于 外力所作的功。根据功能原理，导出杆件在轴向拉压、扭转和弯曲变 形以及组合变形时的应变能计算公式。 应变能是外力的二次函数，一般情况下，当弹性体承受多个荷载时， 不能采用叠加法计算应变能。只有在各外力作功相互独立而不影响时， 应变能才能叠加。应变能只决定于外力或变形的最终值,而与加载的先 后次序无关。线弹性体应变能的一般表达式为112niiiVWFp 本章小结 结构的位移计算： 用卡氏第二定理求结构某处的位移时，在结构需求位移的点处,沿位移 方向要有一个与所求位移相应的荷载作用，列出结构在荷载作用下的 内力方程，然后按卡氏第二定理计算与荷载相应的位移。卡氏第二定 理仅适用于线弹性体，其表达式为 若在所求位移处，没有与欲求位移相应的荷载作用，则应采用附加荷 载法，即在所求位移处加一个与位移相对应的附加荷载。若求线位移 时，需加集中力；若求角位移时，需加集中力偶，然后列出结构在荷 载作用下的内力方程，再按卡氏第二定理计算，并令附加荷载等于零。 所得位移为正，表示位移与所求偏导的荷载（或附加荷载）方向一致。 否则，方向相反。iiVF