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1、数学建模讲义数学建模讲义主讲人主讲人:穆学文穆学文西安电子科技大学数学系西安电子科技大学数学系Email:例例1 椅子能在不平的地面上放稳吗椅子能在不平的地面上放稳吗?问题分析问题分析模模型型假假设设通常通常:三只脚着地三只脚着地 放稳放稳:四只脚着地四只脚着地 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚 连线呈正方形连线呈正方形;地面高度连续变化，可视为数学上的连续地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面曲面;地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。只脚同时着地。第二章第二章 初等数学模型初等数学模型模型构成模型构成
2、用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅脚连线椅脚连线)的对称的对称性性xBADCODC B A 用用(对角线与对角线与x轴的夹角轴的夹角)表示椅子位表示椅子位置置 四只脚着地四只脚着地距离是距离是 的函数的函数四个距离四个距离(四只脚四只脚)A,C 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和:f()B,D 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和:g()两个距离两个距离 椅脚与地面距离为零椅脚与地面距离为零正方形正方形ABCD绕绕O点旋转点旋转正方形正方形对称性对称性用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示
3、出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f(),g()是是连续函连续函数数.对任意对任意,f(),g()至至少一个为少一个为0.数学数学问题问题已知：已知：f(),g()是是连续函数连续函数;对任意对任意，f()g()=0;且且 g(0)=0，f(0)0.证明：存在证明：存在 0，使，使f(0)=g(0)=0.模型构成模型构成地面为连续曲面地面为连续曲面椅子在任意位置椅子在任意位置 至少三只脚着地至少三只脚着地模型求解模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子将椅子旋转旋转900，对角线，对角线AC和和BD互换。互换。由由g(0)=0，f(0)0，知知f(
4、/2)=0,g(/2)0.令令h()=f()g(),则则h(0)0和和h(/2)408640（英尺（英尺/秒）秒）实际极限速度实际极限速度与圆桶的与圆桶的承受速度承受速度相差巨大！相差巨大！结论结论1 1：解决问题的方向是正确的：解决问题的方向是正确的.分析分析2 2：解决思路：解决思路：避开求避开求t t0 0的难点的难点 令令v(t)=v(y(t),其中其中y=y(t)是圆桶下沉深度是圆桶下沉深度 代入代入(1)(1)得得将将两边积分得函数方程两边积分得函数方程：若能求出函数若能求出函数v=v(y),就可求出碰撞速度就可求出碰撞速度v(300).用用数值方法数值方法求出求出v(300)的近
5、似值为的近似值为 v(300)45.4140（英尺（英尺/秒）秒）分析：分析：v=v(y)是一个单调上升函数，而是一个单调上升函数，而v 增大增大,y 也增大也增大,可求出函数可求出函数y=y(v)令令v=40(v=40(英尺英尺/秒秒),),g=32.2g=32.2（英尺英尺/秒秒),),算出算出y=y=238.4(英尺英尺)300(英尺）英尺）问题的实际解答：问题的实际解答：美国原子能委员会处理放射美国原子能委员会处理放射性废物的做法是极其危险的性废物的做法是极其危险的,必须改变必须改变。例例3 商人们怎样安全过河商人们怎样安全过河 3名商人名商人 3名随从名随从随从们密约随从们密约,在河
6、的任一在河的任一岸岸,一旦随从的人数比商一旦随从的人数比商人多人多,就杀人越货就杀人越货.但是乘船渡河的方案由商人决定但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河商人们怎样才能安全过河?河河小船小船(至多至多2人人)问题分析问题分析:多步决策过程多步决策过程决策决策:每一步每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上船上的人员的人员要求要求:在安全的前提下在安全的前提下(两岸的随从数不比商两岸的随从数不比商人多人多),),经有限步使全体人员过河经有限步使全体人员过河.模型构成模型构成Xk:第第k次渡河前此岸的商人数次渡河前此岸的商人数Yk:第第k次渡河前此岸的随从数次渡河
7、前此岸的随从数xk,yk=0,1,2,3;k=1,2,sk=(xk,yk):过程的状态过程的状态S=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2S:允许状态集合允许状态集合Uk:第第k次渡船上的商人数次渡船上的商人数Vk:第第k次渡船上的随从数次渡船上的随从数dk=(uk,vk):决策决策D=(u,v)u+v=1,2:允许允许决策决策集合集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=sk dk+(-1)k:状态转移律状态转移律求求dk D(k=1,2,n),使使sk S,并并按按转移律转移律由由 s1=(3,3)到达到达 sn+1=(0,0).多步决策多
8、步决策问题问题模型求解模型求解xy3322110 穷举法穷举法:编程上机编程上机 图解法图解法:状态状态s=(x,y):16个格点个格点:10个个 点点允许决策允许决策:移动移动1或或2格格;k奇奇,左下移左下移;k偶偶,右上移右上移.s1sn+1d1,d11给出安全渡河方给出安全渡河方案案评注和思考评注和思考规格化方法规格化方法,易于推广易于推广 考虑考虑4名商人各带一随从的情况名商人各带一随从的情况d1d11允许状态允许状态S=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,22d墙墙室室内内 T1室室外外 T2dd墙墙l室室内内 T1室室外外 T2问问题题双
9、层玻璃窗与同样多材料的单层双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失玻璃窗相比，减少多少热量损失假假设设建建模模热传导定律热传导定律Q1Q2Q 单位时间单位面积传导的热量单位时间单位面积传导的热量 T:温差温差,d:材料厚度材料厚度,k:热传导系热传导系数数例例4 4：双层玻璃窗的功效：双层玻璃窗的功效热量传播只有传导，没有对流热量传播只有传导，没有对流T1,T2不变，热传导过程处于稳态不变，热传导过程处于稳态材料均匀，热传导系数为常数材料均匀，热传导系数为常数dd墙墙l室室内内 T1室室外外 T2Q1TaTb记双层玻璃窗传导的热量记双层玻璃窗传导的热量Q1Ta:内层玻璃的外侧温
10、度内层玻璃的外侧温度Tb:外层玻璃的内侧温度外层玻璃的内侧温度K1:玻璃的热传导系数玻璃的热传导系数K2:空气空气的热传导系数的热传导系数建模建模记单层玻璃窗传导的热量记单层玻璃窗传导的热量Q22d墙墙室室内内 T1室室外外 T2Q2双层与单层窗传导的热量之比双层与单层窗传导的热量之比k1=4 10-3 8 10-3,k2=2.5 10-4,k1/k2=16 32对对Q1比比Q2的的减少量减少量作最保守的估计，作最保守的估计，取取k1/k2=16建模建模hQ1/Q24200.060.030.026模型应用模型应用取取 h=l/d=4,则则 Q1/Q2=0.03即双层玻璃窗与同样多材即双层玻璃窗
11、与同样多材料的单层玻璃窗相比，可料的单层玻璃窗相比，可减少减少97%的热量损失。的热量损失。结果分析结果分析Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气极低的热传所以如此小，是由于层间空气极低的热传导系数导系数 k2 2,而这要求空气非常干燥、不流通。而这要求空气非常干燥、不流通。房间通过天花板、墙壁房间通过天花板、墙壁 损失的热量更多。损失的热量更多。双层窗的功效不会如此之大双层窗的功效不会如此之大例例5 崖高的估算崖高的估算假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功 能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下 一块石头听回声的方法
12、来估计山崖的高度，一块石头听回声的方法来估计山崖的高度，假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算 山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。我有一只具有跑我有一只具有跑 表功能的计算器。表功能的计算器。方法一方法一假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式来计算。例如，来计算。例如，设设t=4秒，秒，g=9.81米米/秒秒2，则可求得，则可求得h78.5米。米。我学过微积分，我可以做我学过微积分，我可以做 得更好，呵呵。得更好，呵呵。除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当除
13、去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当 属属空气阻力空气阻力。根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下落的根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下落的速度，阻力系速度，阻力系 数数K为常数，因而，由牛顿第二定律可得：为常数，因而，由牛顿第二定律可得：令令k=K/m，解得解得 代入初始条件代入初始条件 v(0)=0，得得c=g/k，故有故有 再积分一次，得：再积分一次，得：若设若设k=0.05并仍设并仍设 t=4秒，则可求秒，则可求 得得h73.6米。米。听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了 反应时间反应时间 进一步深入考虑进一步深入考虑进
14、一步深入考虑进一步深入考虑不妨设不妨设平均反应时间平均反应时间 为为0.1秒秒，假如仍，假如仍 设设t=4秒，扣除反秒，扣除反应时间后应应时间后应 为为3.9秒，代入秒，代入 式式，求得，求得h69.9米。米。多测几次，取平均值多测几次，取平均值再一步深入考虑再一步深入考虑再一步深入考虑再一步深入考虑代入初始条代入初始条 件件h(0)=0，得到计算山崖高度的公式：得到计算山崖高度的公式：将将e-kt用泰勒公式展开并用泰勒公式展开并 令令k 0+，即可即可得出前面不考虑空气阻力时的结果。得出前面不考虑空气阻力时的结果。还应考虑还应考虑回声回声传回来所需要的时间。为此，令石块下落传回来所需要的时间
15、。为此，令石块下落 的真正时间的真正时间 为为t1，声音传回来的时间记声音传回来的时间记 为为t2，还得解一个还得解一个方程组：方程组：这一方程组是这一方程组是非线性非线性的，求的，求解不太容易，解不太容易，为了估算崖高为了估算崖高竟要去解一个竟要去解一个非线性主程组非线性主程组似乎不合情理似乎不合情理 相对于石块速度，声音速度要快得多，我们可相对于石块速度，声音速度要快得多，我们可 用方法二先求一次用方法二先求一次 h，令令t2=h/340，校正校正t，求石求石块下落时间块下落时间 t1t-t2将将t1代入式代入式再算一次，得出再算一次，得出崖高的近似值。例如，崖高的近似值。例如，若若h=6
16、9.9米，则米，则 t20.21秒，故秒，故 t13.69秒，求得秒，求得 h62.3米。米。某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞 行行员，护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快员，护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快 返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方 向，问护卫舰应怎样航行，才能与航母汇合。向，问护卫舰应怎样航行，才能与航母汇合。例例6：舰艇舰艇的会合的会合令：令：则上式可简记成则上式可简记成：A(0,b)XYB(0,-b)P(x,y)O航母航母 护卫舰护卫舰 1 2 即：即：可化为：可化为：记记v2/v1=a通常通常
17、a1 则则汇合点汇合点 p必位于此圆上。必位于此圆上。（护卫舰的路线方程）（护卫舰的路线方程）（航母的路线方程（航母的路线方程）即可求出即可求出P点的坐标和点的坐标和2 的值。的值。本模型虽简单，但分析本模型虽简单，但分析极极清晰清晰且且易于实际应用易于实际应用 例例7 某人平时下班总是按预定时间到达某处，然某人平时下班总是按预定时间到达某处，然然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他的方向步行回去并在途中遇到了妻子
18、，这一天，他比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时间？间？似乎条件不够哦似乎条件不够哦。换一种想法，问题就迎刃而换一种想法，问题就迎刃而解了。假如他的妻子遇到他后仍解了。假如他的妻子遇到他后仍载着他开往会合地点，那么这一载着他开往会合地点，那么这一天他就不会提前回家了。提前的天他就不会提前回家了。提前的十分钟时间从何而来？十分钟时间从何而来？显然是由于节省了从相遇点到显然是由于节省了从相遇点到会合点，又从会合点返回相遇点这一会合点，又从会合点返回相遇点这一段路的缘故，故由相遇点到会合点需段路的缘故，故由相遇点到会合点需开开5分钟。而此人提前了三十分钟到分钟。而此人提前了三十分钟到达会合点，故相遇时他已步行了二十达会合点，故相遇时他已步行了二十五分钟。五分钟。请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设？