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1、第一章第一章 矢量分析矢量分析返回1.1 矢量的基本运算矢量的基本运算1.1.1标量和矢量标量和矢量电磁场中遇到的绝大多数物理量，能够容易地区分为标量（Scalar）和矢量(Vector)。一个仅用大小就能够完整描述的物理量称为标量，例如，电压、温度、时间、质量、电荷等。实际上，所有实数都是标量。一个有大小和方向的物理量称为矢量，电场、磁场、力、速度、力矩等都是矢量。例如，矢量A可以表示成A=aA其中，A是矢量A的大小;a代表矢量A的方向，a=A/A其大小等于1。返回 一个大小为零的矢量称为空空矢矢（Null Vector）或零零矢矢（Zero Vector），一个大小为1的矢量称为单位矢量（
2、Unit Vector）。在直角坐标系中，用单位矢量ax、ay、az表征矢量分别沿x、y、z轴分量的方向。空间的一点P(X,Y,Z)能够由它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定，如图1-1所示。从原点指向点P的矢量r称为位置矢量(Position Vector)，它在直角坐标系中表示为r=axX+ayY+azZ图1-1直角坐标系中一点的投影X、Y、Z是位置矢量r在x、y、z轴上的投影。任一矢量A在三维正交坐标系中都可以给出其三个分量。例如，在直角坐标系中，矢量A的三个分量分别是Ax、Ay、Az，利用三个单位矢量ax、ay、az可以将矢量A表示成：A=axAx+ayAy+azAz 矢量A的大
3、小为A：A=(A2x+A2y+A2z)1/2 1.1.2矢量的加法和减法矢量的加法和减法矢量相加的平行四边形法则，矢量的加法的坐标分量是两矢量对应坐标分量之和，矢量加法的结果仍是矢量1.1.3矢量的乘积矢量的乘积矢量的乘积包括标量积和矢量积。1）标量积标量积任意两个矢量A与B的标量积(Scalar Product)是一个标量，它等于两个矢量的大小与它们夹角的余弦之乘积，如图1-2所示，记为AB=ABcos 图1-2标量积例如，直角坐标系中的单位矢量有下列关系式：axay=ayaz=axaz=0axax=ayay=azaz=1任意两矢量的标量积，用矢量的三个分量表示为AB=AxBx+AyBy+A
4、zBz 标量积服从交换律和分配律，即AB=BA A(B+C)=AB+AC 2）矢量积矢量积任意两个矢量A与B的矢量积（Vector Product）是一个矢量，矢量积的大小等于两个矢量的大小与它们夹角的正弦之乘积，其方向垂直于矢量A与B组成的平面，如图1-3所示，记为 C=AB=anABsin an=aAaB（右手螺旋）图1-3矢量积的图示及右手螺旋(a)矢量积(b)右手螺旋 矢量积又称为叉叉积积(Cross Product)，如果两个不为零的矢量的叉积等于零，则这两个矢量必然相互平行，或者说，两个相互平行矢量的叉积一定等于零。矢量的叉积不服从交换律，但服从分配律，即AB=-BA A(B+C)
5、=AB+AC 直角坐标系中的单位矢量有下列关系式：axay=az,ayaz=ax,azax=ay axax=ayay=azaz=0 在直角坐标系中，矢量的叉积叉积还可以表示为 =ax(AyBz-AzBy)+ay(AzBx-AxBz)+az(AxBy-AyBx)矢量函数的导数与积分矢量函数的导数与积分 矢量函数一般是空空间间坐坐标标的函数，有时它也是时时间间的函数。在我们以后研究的有关内容中必将涉及到矢量函数随空间坐标和时间的变化率问题，既对上述变量的导数问题 矢量函数的导数与积分矢量函数的导数与积分 矢量函数对空间的偏导数仍是一个矢矢量量，它的分量等于原矢量函数各分量对该坐标的偏偏导导数数。这
6、一结论同样矢用于矢量函数对时间求导数。矢量函数的积分包括不不定定积积分分和定定积积分分两种，它们和一般函数的积分在形式上类似，所以一般函数积分的基本法则对矢量函数积分也适用。矢矢 量量 场场 矢量场的矢量线矢量场的矢量线矢量场中任意一点P处的矢量可以用一个矢性函数A=A(P)来表示。当选定了直角坐标系后，它就可以写成如下形式：A=A(x,y,z)设Ax,Ay,Az为矢性函数A在直角坐标系中的三个坐标分量，且假定它们都具有一阶连续偏导数，则A又可以表示为A=axAx(x,y,z)+ayAy(x,y,z)+azAz(x,y,z)所谓矢矢量量线线是这样一些曲线：在曲线上的每一点处，场的矢量都位于该点
7、处的切线上（如图1-4所示），像静电场的电力线、磁场的磁力线、流速场中的流线等，都是矢量线的例子。图1-4矢量线图 设P为矢量线上任一点，其矢径为r，则根据矢量线的定义，必有Adr=0 在直角坐标系中，矢径r的表达式为 r=axx+ayy+azz矢量场的矢量线满足的微分方程为1.2 矢量的通量和散度矢量的通量和散度1.2.1矢量场的通量矢量场的通量在矢量场A中取一个面元dS及与该面元垂直的单位矢量n（外法向矢量，如图所示），则面元矢量表示为：dS=ndS返回矢量场的通量及散度 由于所取的面元dS很很小小，因此可认为在面元上各点矢量场A的值相相同同，A与面元dS的标量积称为矢量场A穿过dS的通量
8、通量记作 AdS=AcosdS因此矢量场A穿过整个曲面S的通量为 1.2.2.矢量场的散度矢量场的散度 1）散度的定义散度的定义设有矢量场A，在场中任一点P处作一个包含P点在内的任一闭合曲面S，设S所限定的体积为V，当体积V以任意方式缩向P点时，取下列极限:如果上式的极限存在，则称此极限为矢量场A在点P处的散度，记作 显然，其物理意义是从点P单位体积内散发的通量。在直角坐标系中，散度的表达式为 2）哈米尔顿（哈米尔顿（Hamilton）算子算子为了方便，引入一个矢性微分算子矢性微分算子：在直角坐标系中称之为哈哈米米尔尔顿顿算算子子，是一个微分符号，同时又要当作矢量看待。算子与矢性函数A的点积为
9、一标量函数。在直角坐标系中，散度的表达式可以写为 矢量函数A在圆柱坐标系圆柱坐标系和球坐标系球坐标系中的散度表达式分别为1.2.3 高斯散度定理（高斯散度定理（Divergence Theorem）在矢量分析中，一个重要的定理为散度定理散度定理1.3.1环量的定义环量的定义设有矢量场A，l为场中的一条封闭的有向曲线，定义矢量场A环绕闭合路径l的线积分为该矢量的环量环量，记作矢量的环量和矢量穿过闭合面的通量一样，都是描绘矢量场A性质的重要物理量，同样都是积分量。为了知道场中每个点上旋涡源的性质，引入矢量场旋度旋度的概念。1.3 矢量的环度和旋度矢量的环度和旋度返回矢量场的环量 闭合曲线方向与面元
10、的方向示意图 1.3.2.矢量场的旋度矢量场的旋度 1）旋度的定义旋度的定义 设P为矢量场中的任一点，作一个包含P点的微小面元S，其周界为l，它的正向与面元S的法向矢量n成右手螺旋关系(如下图所示)。当曲面S在P点处保持以n为法矢不变的条件下，以任意方式缩向P点，取极限 称固定矢量R为矢量A的旋度旋度，记作 rotA=R上式为旋度矢量在n方向的投影，如图所示，即旋度及其投影矢量场的旋度旋度仍为矢量矢量。在直角坐标系中，旋度的表达式为 为方便起见，也引入算子，则旋度在直角坐标系中为：矢量函数A在圆柱坐标系圆柱坐标系和球坐标系球坐标系中的旋度表达式分别为 旋度的一个重重要要性性质质就是任意矢量旋度
11、的散散度度恒恒等等于于零零，即(A)0即如果有一个矢量场B的散度等于零，则该矢量B就可以用另一个矢量A的旋度来表示，即当 B=0则有 B=A 矢量分析中另一个重要定理是称之为斯斯托托克克斯斯定定理理，其中S是闭合路径l所围成的面积，它的方向与l的方向成右手螺旋关系。该式表明：矢量场A的旋度沿曲面S法向分量的面积分等于该矢量沿围绕此面积曲线边界的线积分。1.3.3 斯托克斯定理（斯托克斯定理（Stokes Theorem）例：已知一矢量场F=axxy-ayzx,试求：（1）该矢量场的旋度;（2）该矢量沿半径为3的四分之一圆盘的线积分，如图所示，验证斯托克斯定理。四分之一圆盘 1.4.1标量的方向
12、导数和梯度标量的方向导数和梯度一个标量场u可以用一个标量函数来表示。在直角坐标系中，可将u表示为u=u(x,y,z)令u(x,y,z)=C,C为任意常数。该式在几何上一般表示一个曲面，在这个曲面上的各点，虽然坐标(x,y,z)不同，但函数值相等，称此曲面为标量场u的等等值值面面。随着C的取值不同，得到一系列不同的等值面，如下图所示。同理，对于由二维函数v=v(x,y)所给定的平面标量场，可按v(x,y)=C得到一系列不同值的等值线。1.4 标量的方向导数和梯度标量的方向导数和梯度返回标量场的等值面 1.方向导数的定义方向导数的定义设P0为标量场u=u(P)中的一点，从点P0出发引出一条射线l，
13、如下图所示。在l上P0点邻近取一点P，记线段 P0P=l，如果当PP0时极限存在，则称它为函数u(P)在点P0处沿l方向的方向导数(Directional Derivative)，记为：1.4.2.方向导数方向导数方向导数 在直角坐标系中，设函数u=u(x,y,z)在P0(x0,y0,z0)处可微，则有式中，当l0时0。将上式两边同除以l并取极限得到方向导数的计算公式：1.4.3.方向导数的计算公式方向导数的计算公式 其中，cos,cos,cos为l方向的方向余弦方向余弦。1.梯度的定义方向导数为我们解决了函数u(P)在给定点处沿某个方向的变化率问题。然而从场中的给定点P出发，标量场u在不同方
14、向上的变化率一般说来是不同的，那么，可以设想，必定在某个方向上变化率为最大。为此，定义一个矢量G，其方向为是函数u在点P处变化率为最大的方向，其大小就是这个最大变化率的值，这个矢量G称为函数u在点P处的梯度（Gradient），记为1.4.4 标量场的梯度标量场的梯度 算子与标量函数u相乘为一矢量函数。在直角坐标系中，梯度又可以表示为另外，还经常用到标量拉普拉斯算子(Laplace Operator)，即 2=在直角坐标系中标量函数的拉普拉斯拉普拉斯表达式为标量函数u在圆柱坐标系中的梯度梯度和拉普拉斯拉普拉斯表达式分别为标量函数u在球坐标系中的梯度和拉普拉斯表达式分别为梯度有以下重要重要性质：
15、（1）方向导数导数等于梯度在该方向上的投影投影，即（2）标量场u中每一点P处的梯梯度度，垂直于过该点的等值面，且指向函数u(P)增大的方向。即梯梯度度为该等值面的法向矢量法向矢量。（3）u 0，如果矢量场F满足F=0，即F是一个无旋场，则矢量场F可以用标量函数u的梯度来表示，即F=u，称标量函数为势函数(Potential Function)，对应的矢量场为有势场。如静电场中的电场强度就可以用一个标量函数的梯度来表示。2.梯度的性质梯度的性质 设标量场u，根据梯度的性质：标量场的梯度F是一个无旋场，则由斯斯托托克克斯斯定定理理知，无旋场沿闭合路径的积分必然为零，即而3.梯度的积分梯度的积分无旋场沿不同路径的积分如右图所示，说明积分与路径无关，仅与始点P1和终点P2的位置有关。又 假如选定始点P1为不动的固定点（参考点），P2点为任意动点，则P2点的函数值可表示为该式表明：如果已知一个无无旋旋场场，选定一个参考点，就可由上式求得其标量场u。如在静电场中，已知电场强度，就可求得电位函数电位函数。