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1、2.有势场的判定有势场的判定充要条件是充要条件是 为无旋场为无旋场.定理定理1.在线单连域内在线单连域内,矢量场矢量场 为有势场的为有势场的证证设设必要性必要性如果如果 为有势场，为有势场，则存在函数则存在函数满足满足即即 即即 为无旋场为无旋场.函数函数P,Q,R具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数,函数函数u具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数.1.；读作；读作“grad”，此时此时必须是个标势函数或标量，必须是个标势函数或标量，表示表示的梯度。的梯度。2.A；读作；读作“divA”,此时此时A必须是矢势函数或矢量，必须是矢势函数或矢量，A标势标势A的散度。的散度。3.A，读作，读作“ro
2、tA”,此时此时A必须是矢势函数，或矢量，必须是矢势函数，或矢量，A标势标势A的旋度的旋度。充分性充分性 设设 为无旋场为无旋场，即在场中处处有即在场中处处有对于场中的任何封闭曲线对于场中的任何封闭曲线l,则则因此曲线积分因此曲线积分 与路径无关与路径无关.其积分值只其积分值只与起点与起点和终点和终点 有关有关.记记下面证明这个下面证明这个u(x,y,z)满足满足只要证明只要证明 同理可证同理可证 充要条件是充要条件是 为无旋场为无旋场.在线单连域内在线单连域内,矢量场矢量场 为有势场的为有势场的定理定理1.此性质表明：此性质表明：即表达式即表达式是函数是函数u的全微的全微分分,也称函数也称函
3、数u为表达式为表达式原函数原函数.一般地一般地,称具有曲线积分称具有曲线积分 与路径与路径无关性质的矢量场为无关性质的矢量场为保守场保守场.在线单连域内在线单连域内,以下四个命题彼此等价：以下四个命题彼此等价：1)场有势场有势(梯度场梯度场);2)场无旋；场无旋；3)场保守；场保守；4)表达式表达式 是某个函数的是某个函数的全微分全微分.3.势函数的求法势函数的求法以任一路径从点以任一路径从点到点到点积分积分,求出函数求出函数u后，后，再令再令v=-u就会得到势函数就会得到势函数.一般为了简便一般为了简便,常选取平行于坐标轴的折线来常选取平行于坐标轴的折线来作为积分路径作为积分路径.在场中选定
4、一点在场中选定一点 用公式用公式选取积分路径：选取积分路径：则则例例1.证明矢量场证明矢量场为有势场，并求其势函数为有势场，并求其势函数.解：由解：由例例1.证明矢量场证明矢量场为有势场，并求其势函数为有势场，并求其势函数.解：解：为简便计算，取为简便计算，取 为坐标原点为坐标原点O（0,0,0）于是得势函数于是得势函数 而全体势函数为而全体势函数为 否则，求出的势函数与此只相差一个常数否则，求出的势函数与此只相差一个常数 例例2.用不定积分法求例用不定积分法求例1中矢量场的势函数中矢量场的势函数.解：在例解：在例1中已经证得中已经证得A为有势场，故存在函数为有势场，故存在函数u满足满足即有即有由第一个方程对由第一个方程对x积分，得积分，得与与比较，得比较，得代入代入得得从而，势函数从而，势函数例例3.证明证明为保守场，并计算曲线积分为保守场，并计算曲线积分 解：显然解：显然 所以所以 代入公式代入公式例例4.若若为保守场，为保守场，则存在函数则存在函数 得得