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1、复变函数总复习复变函数复数的运算3计算幅角要注意z在复平面所在的象限xyO4例56复变函数的一个重要方面,就是说明实变函数的微积分的许多结论,复变函数也照样用.例如,在实变函数中函数的导数有则上面的变元x统统改成复数z也成立7在实变函数中,一些函数可以按泰勒级数展开,例如8在复变函数中结果也一样:9复变函数还可以展开为洛朗级数,如10实变函数中的定积分经常用牛-莱公式计算的,例如在复变函数中同样也有但积分的含义不同,上式代表从复平面的0点以任意路径积分到点i.11对实变函数的定积分,如果上限和下限相等,则积分值为零,例如对复变函数也同样12但是在复变函数中,通常写成C为通过点2+i的任意一条闭
2、合曲线13因此,我们就有14一般地,只要n-1,则函数zn的原函数就是它是单值函数,因此就有,只要n-1,函数zn沿任何闭合曲线的积分为0.15而当对于函数z-1,麻烦在于,它的原函数是Ln z,它是一个多值函数,假设z=reiq,则Ln z=Ln reiq=ln r+iq,幅角是不唯一的.这个时候这要看积分路线有没有绕过原点,是正绕还是反绕,绕了几圈,一般而言是2p i的整数倍.16因此就有,假设C为正向绕原点的一条闭合曲线,则或更一般,假设C为正向绕z0点的一条闭合正向曲线,则17函数不解析的点为奇点,如果函数f(z)在z0点不解析,但是在z0的某个去心领域处处解析,z0就是f(z)的孤立
3、奇点,例如z=1是它的一个三级极点,z=i都是它的一级极点.18如z0是f(z)的孤立奇点,则f(z)在z0的去去心邻域心邻域处可展开成洛朗级数设C为此领域包含z0的正向简单闭曲线,对f(z)沿C积分,得称c-1为f(z)在z0处的留数留数,Resf(z),z0=c-119因此,根据复合闭路定理,设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点z1,z2,.,zn外处处解析.C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,则20如果z0是f(z)的m级极点,则如果z0是f(z)的一级极点,则21设P(z)和Q(z)都在z0解析,如P(z0)0,Q(z0)=0,Q(z0)0,则z0为f(z)的一级极点,而22积
4、分变换傅氏变换24单位脉冲函数及性质:对任意连续函数f(t)有25性质:若F f(t)=F(w),F g(t)=G(w)26实际上,只要记住下面四个傅里叶变换,则所有的傅里叶变换都无须从公式直接推导而从傅里叶变换的性质就可导出.27拉氏变换和拉氏逆变换28常用拉氏变换对29拉氏变换的性质,若L f(t)=F(s)30拉氏逆变换的计算,若s1,s2,.,sn是函数F(s)的所有奇点,且当s时,F(s)0,则31微分方程的拉氏变换解法首先取拉氏变换将微分方程化为象函数的代数方程,解代数方程求出象函数,再取逆变换得最后的解.如下图所示.象原函数(微分方程的解)象函数微分方程象函数的代数方程取拉氏逆变换取拉氏变换解代数方程32