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1、 设设A是是n阶方阵，可相似对角化。则存在阶方阵，可相似对角化。则存在 n阶可逆阶可逆矩阵矩阵 P，使，使 令令 ，则，则 。由由 P可逆可逆 线性无关线性无关 是是 A的特征值的特征值 于是于是 是是 n阶阶方阵方阵 A的的 n个个线性无关的特线性无关的特征向量。征向量。反之，设反之，设n阶阶方阵方阵 A有有n个个线性无关的特征向量线性无关的特征向量 ，它们对应的特征值为，它们对应的特征值为 则则（）令令 ，因，因 为为 n个线性无关的个线性无关的 n元列向量，故元列向量，故 P是是 n阶方阵且逆。阶方阵且逆。又又故故 即即 A可对角化。可对角化。定理定理 n阶方阵阶方阵 A可相似对角化的充
2、分必要条件可相似对角化的充分必要条件是是A有有 n个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。例例 下列矩阵是否可对角化下列矩阵是否可对角化 解解 已知矩阵已知矩阵 有特征值有特征值 0（二重）和（二重）和-2，对应的特征向量分别为，对应的特征向量分别为 因因 故这三个特征向量线性无关。于是故这三个特征向量线性无关。于是A可相似对角化。可相似对角化。以三个特征向量为列构造矩阵以三个特征向量为列构造矩阵 则则 例例 已知已知 问问 A可否相似对角化？可否相似对角化？解解 A有特征值有特征值 ，它们对应的特征向，它们对应的特征向量分别为量分别为 因这三个向量线性无关，故因这三个向量线性无关，故 A
3、可相似对角化。以可相似对角化。以三个特征向量为列构造矩阵三个特征向量为列构造矩阵 则则 定理定理 设设 是是 A的互不相同的特征的互不相同的特征值，它们对应的特征向量分别为值，它们对应的特征向量分别为 ，则，则 线性无关。线性无关。证明证明 对对 m作归纳法：作归纳法：m=1：线性无关；线性无关；m-1：设：设 线性无关；线性无关；m：证证 线性无关。线性无关。令令 则则 由由又得又得 -得得 根据归纳假设根据归纳假设 线性无关，故线性无关，故 已知已知 互不相同，故互不相同，故 由此得由此得 代入代入得得 又又 ，故，故 。于是，。于是，线性无关。线性无关。推论推论 若若 n阶方阵有阶方阵有
4、 n个不同的特征值，则该矩阵个不同的特征值，则该矩阵可相似对角化。可相似对角化。当方阵有重特征值时，线性无关特征向量的个数当方阵有重特征值时，线性无关特征向量的个数 又如何呢？又如何呢？在前面的例中，对矩阵在前面的例中，对矩阵 其两个特征值其两个特征值-2与与0（二重）对应的特征向量分别（二重）对应的特征向量分别 不难发现，不难发现，线性无关线性无关 线性无关线性无关 线性无关线性无关 定理定理 设设 是矩阵是矩阵A的互不相同特征的互不相同特征值，值，是是A属于属于 的线性无关的线性无的线性无关的线性无关的特征向量，则关的特征向量，则 线性无关。线性无关。设设 是方阵是方阵A的特征值的特征值
5、设设 ，且，且 则称则称 是特征值是特征值 的的代数重数代数重数，简称为，简称为重数重数；设设 的维数为的维数为 ，则称，则称 是特征值是特征值 的的几几何重数何重数。称之为称之为 A 的属于特征值的属于特征值 的的特征子空间特征子空间。其中，其中，定理定理 设设 是方阵是方阵A的特征值，则的特征值，则 的几何重数的几何重数 不大于其代数重数不大于其代数重数 。的阶数的阶数 线性无关特征向量最大个数线性无关特征向量最大个数 定理定理 设设 是是n阶方阵阶方阵A的全部互异的的全部互异的特征值，特征值，和和 分别是特征值分别是特征值 的代数重数和几何的代数重数和几何重数重数(i=1,2,m)，则，
6、则 A可相似对角化的充分必要条可相似对角化的充分必要条件是件是例例 判断矩阵判断矩阵 可否对角化。可否对角化。解解 A的特征值为的特征值为2（代数重数为（代数重数为1）和）和1（代数重（代数重数为数为2）。）。对对 ，考虑齐次方程组，考虑齐次方程组 ：因矩阵因矩阵I-A的秩为的秩为2，故方程组，故方程组(I-A)X=0的基础解系只的基础解系只含一个解，由此得特征值含一个解，由此得特征值1的几何重数为的几何重数为1，小于其代，小于其代数重数数重数2，故，故A不可对角化。不可对角化。例例 已知已知 问问 满足什么条件时，满足什么条件时，A可对角化？可对角化？解解 首先首先 所以，所以，A的特征值为
7、的特征值为2（代数重数为（代数重数为1）和）和1（代数重（代数重数为数为2）。）。考虑考虑 A的的特征值特征值 1。对方程组。对方程组 ，仅当仅当 秩秩 时，才能使基础解系含时，才能使基础解系含 2个解。个解。即此时特征值即此时特征值1的几何重数等于的几何重数等于2。又又 故故 。所以，当所以，当 时，时，A可对角化。可对角化。例例 设设 求求 。解解 A有特征值有特征值-2（代数重数为（代数重数为1）和）和 2（代数重数为（代数重数为3）对对 ，解，解 得基础解系得基础解系 故特征值故特征值2的几何重数也为的几何重数也为3，由此得由此得A可对角化。可对角化。对对 ，解，解 得基础解系得基础解系 令令 则则 由此得由此得 。于是，于是，