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1、第第4 4章章 数字滤波器的结构数字滤波器的结构IIRIIR滤波器的结构滤波器的结构FIRFIR滤波器的结构滤波器的结构直接型直接型级联型级联型并联型并联型直接型直接型级联型级联型频率采样型频率采样型快速卷积型快速卷积型第第4 4章章 数字滤波器的结构数字滤波器的结构 对于同一个系统,对输入信号的处理可采用的对于同一个系统,对输入信号的处理可采用的算法有很多种,每一种算法对应一种不同的运算结算法有很多种,每一种算法对应一种不同的运算结构,对于每一种不同的运算结构,可以用三种基本构,对于每一种不同的运算结构,可以用三种基本的运算单元来实现。运算结构影响系统的精度、误的运算单元来实现。运算结构影响
2、系统的精度、误差、稳定性、经济性以及运算速度等许多重要性能。差、稳定性、经济性以及运算速度等许多重要性能。基本运算单元为:基本运算单元为:加法器、乘法器、单位延时加法器、乘法器、单位延时器器。加法器加法器乘法器乘法器y(n)x1(n)x2(n)y(n)x1(n)x2(n)x(n)ax1(n)ax(n)ax1(n)a延时器延时器x(n)x(n-1)z-1x(n)x(n-1)z-1H(z)=Y(z)X(z)k=0Mbkzk k=1Nakzk1+=最常用描述离散系统的数学形式是给定系统函数最常用描述离散系统的数学形式是给定系统函数 H(z)上面的上面的H1(z)、H2(z)、H3(z)是同一系统不同
3、的传输函数表是同一系统不同的传输函数表示,相应有不同的运算结构。示,相应有不同的运算结构。1H1(z)=1 0.8z 1+0.15z 2 1.5H2(z)=1 0.3z 12.51 0.5z 1+1H3(z)=1 0.3z 111 0.5z 1 系系 统统 分分 类类IIRIIRFIRFIRIIRIIR系统的单位脉冲响应系统的单位脉冲响应h h(n n)有无穷多项;有无穷多项;而而FIRFIR系统对应的单位脉冲响应系统对应的单位脉冲响应h h(n n)只有有限项。只有有限项。(1 1)根据)根据h(nh(n)判别判别IIRIIR系统函数系统函数为为,系统有极点;,系统有极点;H(z)=B(z)
4、A(z)k=0Mbkzk k=1Nakzk1+=只只有有零零点点。除除原原点点处处外外,系系统统 k=0Mbkzk而而F FI IR R系系统统函函数数为为 H H(z z)=(2 2)根据零极点判别)根据零极点判别IIR系统的差分方程为系统的差分方程为输出除了与当前及以往的激励有关,还与以前的输出有关;输出除了与当前及以往的激励有关,还与以前的输出有关;FIR系统差分方程为系统差分方程为输出只与当前及以往的激励有关,与过去的输出无关。输出只与当前及以往的激励有关,与过去的输出无关。y(n)=br x(n k)aky(n k)k=0Mk=1Ny(n)=br x(n k)k=0M(3)根据差分方
5、程的形式判定)根据差分方程的形式判定 IIRIIR系统因为与过去的输出有关,所以网络结构有反馈支路系统因为与过去的输出有关,所以网络结构有反馈支路也称为递归结构;也称为递归结构;而而FIRFIR系统只与激励有关,因此没有反馈支路,也称为非递系统只与激励有关,因此没有反馈支路,也称为非递归结构。归结构。(4)根据网络结构判定)根据网络结构判定例例 已知某离散系统的差分方程式已知某离散系统的差分方程式y y(n n)=)=ay ay(n n 1)1)+x+x(n n),判断是,判断是IIRIIR系统还是系统还是FIRFIR系统。系统。解:解:(2)系统函数为)系统函数为1H(z)=1 az 1有一
6、个有一个z z=a a 的极点的极点(1 1)系统响应)系统响应y y(n n)除了与当前激励除了与当前激励x x(n n)有关,还与以前的输出有关,还与以前的输出 y y(n n 1)1)有关。有关。(3 3)其单位脉冲响应)其单位脉冲响应h h(n n)=)=a an nu u(n n)有无穷多项。有无穷多项。该系统是该系统是IIRIIR系统。系统。4.2 IIR系统的基本结构系统的基本结构 IIR系统的基本结构系统的基本结构直接型直接型级联型级联型并联型并联型直接直接型型直接直接型型4.2.1 IIR4.2.1 IIR系统的直接系统的直接型型1 1、实现方法、实现方法一个一个N N阶的阶
7、的IIRIIR滤波器的输入输出差分方程为滤波器的输入输出差分方程为:式中式中(1)(1)根据时域方程根据时域方程y(n)x(n)z-1z-1z-1aN 1a1a2 aNb0b1b2bM 1bMz 1z 1z 1x(n)y(n)z 1z 1z 1z-1z-1z-1b0b1b2bM-1bM aN 1a1a2 aN系统传递函数系统传递函数 H(z)=k=0Mbkzk k=1Nakzk1+=H1(z)H2(z)=H2(z)H1(z)k=1Nakzk1-H2(z)=1式中式中 k=0MbkzkH1(z)=,(2)(2)根据系统传递函数根据系统传递函数H(z)=H1(z)H2(z)k=0Mbkzk k=1
8、Nakzk1-1=y(n)x(n)z-1z-1z-1aN 1a1a2 aNb0b1b2bM 1bMz 1z 1z 1H(z)=H2(z)H1(z)k=0Mbkzk k=1Nakzk1-1=x(n)y(n)z 1z 1z 1z-1z-1z-1b0b1b2bM-1bMaN 1a1a2 aN 根据系统函数绘制根据系统函数绘制IIRIIR滤波器网络结构时,一滤波器网络结构时,一定要注意系统函数的形式,即:定要注意系统函数的形式,即:H H(z z)的分母首系的分母首系数为数为1 1,分子和分母各项分别按,分子和分母各项分别按z z的降幂排列。的降幂排列。例例4-1:用直接:用直接型结构实现系统函数:型
9、结构实现系统函数:4.2.24.2.2、IIRIIR系统的直接系统的直接型型x(n)y(n)y2(n)z 1z 1z 1z-1z-1z-1b0b1b2bM-1bMaN 1a1a2 aNx(n)y(n)b0b1b2bM 1bM aN 1a1a2 a Nz 1z 1z 1直接直接型型最少延迟网络,也称典范形式,正准型。最少延迟网络,也称典范形式,正准型。例例4-24-2:已知数字滤波器的系统函数:已知数字滤波器的系统函数画出该滤波器的直接型结构。画出该滤波器的直接型结构。解:解:1/8-3/45/4-211-48z-1z-1z-1x(n)y(n)8 4z 1+11z 2 2z 3H(z)=1(5/
10、4)z 1+(3/4)z 2 (1/8)z 31 1、实实 现现 方方 法法 将将H H(z z)的分子和分母分别进行因式分解,得到多个的分子和分母分别进行因式分解,得到多个因式连乘积的形式,即因式连乘积的形式,即 4.2.34.2.3、IIRIIR系统的级联系统的级联型型式中:式中:y(n)11 21 1k 2k 11 21 1k 2kx(n)z-1z-1z-1z-1 0kA A例例4-34-3:已知系统传递函数:已知系统传递函数 画出系统的级联结构。画出系统的级联结构。解解3(1 0.8z 1)(1 1.4z 1+z 2)H(z)=(1 0.5z 1+0.9z 2)(1 1.2z 1+0.
11、8z 2)3(1 0.8z 1)H(z)=(1 0.5z 1+0.9z 2)(1 1.4z 1+z 2)(1 1.2z 1+0.8z 2)-0.90.5-0.81.2-0.8-1.4z1z13x(n)y(n)z1z1-0.90.5-0.81.2-0.8-1.43x(n)y(n)z-1z-1z-1z-1H(z)=(1 1.4z 1+z 2)(1 1.2z 1+0.8z 2)3(1 0.8z 1)(1 0.5z 1+0.9z 2)例例4-4 4-4 已知系统传递函数已知系统传递函数解:解:画出系统的级联结构。画出系统的级联结构。8 4z 1+11z 2 2z 3H(z)=1 1.25z 1+0.7
12、5z 2 0.125)z 38(1 0.19z 1)H(z)=1 0.25z 1(1 0.31z 1+1.3161z 2)1 z 1+0.z 2 0.25-0.191.136-0.31-0.5z-1z-1z-18x(n)y(n)8(1 0.19z 1)H(z)=1 0.25z 1(1 0.31z 1+1.3161z 2)1 z 1+0.5z 2 4.2.44.2.4、IIRIIR系统的并联系统的并联型型1 1、实现方法、实现方法 把传递函数展开成部分分式之和的形式,就可以得到滤波把传递函数展开成部分分式之和的形式,就可以得到滤波器的并联型结构,即器的并联型结构,即例例4-5 4-5 已知系统传
13、递函数已知系统传递函数画出系统的并联结构。画出系统的并联结构。8 4z 1+11z 2 2z 3H(z)=1 1.25z 1+0.75z 2 0.125z 3解:解:81 0.25z 1 16+20z 11 z 1+0.z 2+H(z)=16+-0.5160.25820-16x(n)y(n)z-1z-1z-1 (3)系统函数无极点系统函数无极点 (4)网络结构一般没有反馈支路。网络结构一般没有反馈支路。4.3 FIR系统的基本结构系统的基本结构 (1)FIR(1)FIR系统的单位脉冲响应系统的单位脉冲响应h h(n n)是时宽为是时宽为N N的有限长序列的有限长序列FIRFIR系统的特点:系统
14、的特点:(2)FIR系统差分方程为系统差分方程为输出只与当前及以往的激励有关,与过去的输出无关。输出只与当前及以往的激励有关,与过去的输出无关。y(n)=br x(n k)k=0MFIRFIR滤波器的结构滤波器的结构直接型直接型级联型级联型频率采样型频率采样型快速卷积型快速卷积型4.3 FIR滤波器的结构滤波器的结构4.3.1 4.3.1 直接型直接型FIRFIR系统的差分方程或卷积形式为系统的差分方程或卷积形式为=h(0)x(n)+h(1)x(n 1)+h(N 1)x(n N+1)m=y(n)=x(m)h(n m)m=x(n m)h(m)(1)(1)根据根据FIRFIR系统的时域差分方程系统
15、的时域差分方程1 1、实现方法、实现方法直接型结构直接型结构 y(n)h(0)h(1)h(2)h(N-1)h(N-3)h(N-2)z-1x(n)z-1z-1z-1y(n)x(n)z-1z-1z-1aN 1a1a2 aNb0b1b2bM 1bMz 1z 1z 1(2)(2)根据根据FIRFIR系统的系统函数系统的系统函数y(n)b1b2b3bKz-1x(n)z-1z-1z-1bK-1bK-2实现方法实现方法4 4.3 3.2 2 级级 联联 型型将将传传递递函函数数H(z)分分解解成成二二阶阶实实系系数数因因子子相相乘乘的的形形式式,即即z-1z-1x(n)y(n)a01a21a11a02a22
16、a12a0Ma1Ma2Mz-1z-1z-1z-1例例4 4-6 6:已已知知某某F FI IR R网网络络系系统统函函数数画画出出其其直直接接型型与与级级联联型型结结构构。解解H(z)=0.96+2z 1+2.8z 2+1.5z 3 直接型结构如图所示直接型结构如图所示:1.52.820.96z-1z-1z-1x(n)y(n)级联型结构如图所示级联型结构如图所示:H(z)=0.96+2z 1+2.8z 2+1.5z 30.8331.8751.250.96x(n)y(n)z-1z-1z-1=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2)或或H(z)=0.96(1+0.833z 1)(1+
17、1.25z 1+1.875z 2)4.3.3 频率采样型频率采样型频域采样定理:频域采样点数应大于等于时域采样点数。频域采样定理:频域采样点数应大于等于时域采样点数。Nk=0 N 1H(k)1 z N k1 WN z 1H(z)=满足采样定理时,系统函数可以写成如下形式:满足采样定理时,系统函数可以写成如下形式:其中其中 H(k)=H(z)z=WN k=|H(k)|ej(k)K=0,1,2,N-1K=0,1,2,N-1频率取样结构包括两部分频率取样结构包括两部分FIRFIR系统系统 i=0,1,2,N 1频响是梳状的频响是梳状的 H1(z)=1 z N 频响函数为频响函数为|H1(ej)|=|
18、1 e jN|=2|sin(N/2)|H1(ej)=1 e-jN 由由1 z N=0,解得,解得N个零点为个零点为2 Nji zi=e|H1(ej)|=|1 e jN|=2|sin(N/2)|02 2 2/3/35/34/3例例 N=6|H1(ej)|=|1 e j6|=2|sin(3)|IIRIIR系统系统k=0,1,2,N 1 极点极点:zk=ej2 k/N,k=0 N 1H(k)k1 WN z 1是是 N 个个IIR系统的并联系统的并联 H H2 2(z)=(z)=z-1z-1z-1H(0)H(1)H(N 1)y(n)1/N z Nx(n)WN0WN 1WN(N 1)频率取样结构的优点频
19、率取样结构的优点:(1)(1)调整很方便。调整很方便。(2)(2)便于标准化、模块化。便于标准化、模块化。存在的问题及解决办法存在的问题及解决办法(1)(1)稳定性差稳定性差 解决办法采用修正采样即在略小于解决办法采用修正采样即在略小于1 1的圆上对的圆上对H(zH(z)采样。采样。一般取一般取 r=0.99r=0.991Rez0jImzr(2)(2)相乘系数相乘系数 、H H(k k)均为复数。均为复数。解决方法是利用解决方法是利用H H(k k)的对称性。因为当的对称性。因为当h(nh(n)是实序列时,是实序列时,它的它的H(kH(k)=)=DFTh(nDFTh(n)满足圆周共轭对称性,有满足圆周共轭对称性,有H(k)=H*(N k),k=0,1,2,N 1 或或 H(N k)=H*(k),H(N 2)=H*(2),H(N 1)=H*(1),将第将第 k k项与第项与第 N N k k 项两两合并为一个基本二节阶网络项两两合并为一个基本二节阶网络 H Hk k(z)(z)k1 rWN z 1H(k)1 rWN z 1H(N k)Hk(z)=+(N k)k1 rWN z 1H(k)1 rWN z 1H(k)+k=