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1、常微分方程初值问题的数值解法 第一页，讲稿共六十二页哦 实实际际问问题题中中遇遇到到的的微微分分方方程程通通常常很很复复杂杂，多多数数情情况况下下无无法法求求出出解解的的解解析析表表达达式式，即即使使求求出出解解，也也常常常常由由于于计计算算量量太太大大而而不不实实用用。然然而而实实际际问问题题本本身身又又往往往往只只要要求求给给出出其其解解在在一一系系列列点点上上的的近近似似值值，这这就就要要依依靠靠数值解法。数值解法。其中其中 称为李氏常数。从而保证上面的初值称为李氏常数。从而保证上面的初值问题的解问题的解 存在并且唯一。存在并且唯一。所谓数值解法，就是对于解所谓数值解法，就是对于解 存在
2、的区存在的区间上一系列的点间上一系列的点 ，不妨假定，不妨假定 第二页，讲稿共六十二页哦 上上面面给给定定的的初初值值问问题题的的数数值值解解法法有有个个基基本本特特点点，称称作作“步步进进式式”，即即求求解解的的过过程程是是按按照照节节点点的的排排列列次次序序 一一 步步 步步 地地 向向 前前 推推 进。描述这类算法进。描述这类算法，只须在，只须在 已知的前提下已知的前提下 给出计算给出计算 的递推公式的递推公式。逐逐个个求求出出 的的近近似似值值 。称称 为为给给定定的的微微分分方方程程初初值值问问题题的的数数值值解解。相相邻邻两两个个节节点点的的间间距距 称称为步长。一般我们总假定为步
3、长。一般我们总假定 ，即节点间是等距的。，即节点间是等距的。第三页，讲稿共六十二页哦其中其中 为为 的已知函数，的已知函数，是给定的常数，是给定的常数，求求(1.1)、(1.2)的数值解。的数值解。一、一、方法方法（一）、（一）、方法方法 给定初值问题给定初值问题(1.1)(1.2)方法是解初值问题（方法是解初值问题（1.1）、）、(1.2)最简单最简单的数值解法。由于它的精确度不高，的数值解法。由于它的精确度不高，实际计算中实际计算中已不被采用，然而它在某种程度上却反映了数值解已不被采用，然而它在某种程度上却反映了数值解法的基本思想。法的基本思想。第四页，讲稿共六十二页哦 这这种种方方法法是
4、是借借助助于于几几何何直直观观得得到到的的。由由于于表表示解的曲线示解的曲线 通过点通过点 ，并且在该点处以，并且在该点处以 为为切切线线斜斜率率，于于是是设设想想在在 附附近近，曲曲线线可以用该点处的切线近似代替，切线方程为可以用该点处的切线近似代替，切线方程为第五页，讲稿共六十二页哦图6.1第六页，讲稿共六十二页哦也也就就是是说说，时时，可可用用 近近似代替，记这个值为似代替，记这个值为 ，即，即于于是是给给出出了了一一种种当当 时时，获获得得函函数数值值 的的近近似似值值 的的方方法法。重重复复上上面面的的作作法法，在在 处处，就就可以得到可以得到 的近似值的近似值第七页，讲稿共六十二页
5、哦依此下去，当依此下去，当 已经得到，则已经得到，则 这就是著名的这就是著名的 方法的计算格式。方法的计算格式。由由于于 方方法法是是用用一一条条折折线线近近似似地地代代替替曲曲线线 ，所以，所以 方法也叫方法也叫 折线法。折线法。一一种种计计算算格格式式，当当在在计计算算 时时，仅仅仅仅用用到到它前一步的信息它前一步的信息 ，称它为单步法。可见，称它为单步法。可见 方法就是单步法。方法就是单步法。第八页，讲稿共六十二页哦将方程将方程(1.1)在区间在区间 上求积分，便得到上求积分，便得到 (1.4)式中右端的积分，可以用数值积分法计算它的近似式中右端的积分，可以用数值积分法计算它的近似值。例
6、如，使用左矩形公式则有值。例如，使用左矩形公式则有（二）改进的（二）改进的 方法方法(1.4)上式右端就是用上式右端就是用 方法得到的方法得到的 ，即，即 第九页，讲稿共六十二页哦一般地有一般地有这就是这就是 公式公式(1.3)。由由此此可可见见，方方法法也也可可以以看看成成用用矩矩形形公公式式近近似似计算某个相应的定积分而得到的。因此可以说，计算某个相应的定积分而得到的。因此可以说，方方法法之之所所以以精精确确度度不不高高，正正是是由由于于它它在在计计算算定定积积分分时时，采用矩形公式的缘故。采用矩形公式的缘故。倘倘若若使使用用较较为为精精确确的的梯梯形形公公式式来来计计算算(1.4)式式中
7、中右右端端的积分，即的积分，即第十页，讲稿共六十二页哦将它代入将它代入(1.4)式的右端，便得到式的右端，便得到 的近似值的近似值 ，用同样的方法可以得到用同样的方法可以得到 。一般地有，。一般地有，(1.5)第十一页，讲稿共六十二页哦 这就是改进的这就是改进的 Euler 方法的计算格式。值得注意的是，方法的计算格式。值得注意的是，Euler 方法与改进的方法与改进的 Euler方法在计算上有一个明显的区别，方法在计算上有一个明显的区别，Euler方法中方法中 是由已知的或已经算出的量来表达的，是由已知的或已经算出的量来表达的，得到它不需要解方程，这类方法通常称为显示方法；而在得到它不需要解
8、方程，这类方法通常称为显示方法；而在改进的改进的 Euler方法中，未知数方法中，未知数 也隐含在方程右端也隐含在方程右端之中，对于每一个之中，对于每一个 的值都需要通过解方程才能得到，的值都需要通过解方程才能得到，这类方法通常称为隐式格式。在多数情况下，要从隐式格这类方法通常称为隐式格式。在多数情况下，要从隐式格式式(1.5)中解出中解出 是很困难的。因此，通常采用如下的是很困难的。因此，通常采用如下的迭代方法来求解。即先用迭代方法来求解。即先用 Euler 方法算出一个结果，作为方法算出一个结果，作为(1.5)式的初值，进行迭代，其计算格式为式的初值，进行迭代，其计算格式为 第十二页，讲稿
9、共六十二页哦(1.6)由由 可知，当可知，当 时，迭代格式收敛。也就是说，时，迭代格式收敛。也就是说，只要只要 取得充分小，就可能保证迭代序列取得充分小，就可能保证迭代序列 第十三页，讲稿共六十二页哦收敛，而且收敛，而且 越小，收敛得越快。越小，收敛得越快。容容易易看看出出，改改进进的的 方方法法虽虽然然提提高高了了精精度度，然然而而每每一一步步的的计计算算量量却却增增加加很很大大，每每迭迭代代一一次次，都都要要重重新新计计算算函函数数值值，而而且且迭迭代代需需要要反反复复进进行行若若干干次次。为为了了简简化化算算法法，通通常常只只迭迭代代一一次次。具具体体地地讲讲，先先用用 方方法法求求得得
10、一一个个初初步步的的近近似似值值 ，称称为为预预估估值值，再再将将它它代代入入(1.5)式式中中作作一一次次校校正正，这样处理后，计算格式为这样处理后，计算格式为(1.7)第十四页，讲稿共六十二页哦 称它为预估校正格式。可用其中的第一式算出称它为预估校正格式。可用其中的第一式算出一个预估值，再代入第二式做校正。一个预估值，再代入第二式做校正。例例1 用用 方法和预估校正法求解初值问题方法和预估校正法求解初值问题 取步长取步长 。解解 分别使用分别使用 格式与预估校正格式计算，格式与预估校正格式计算，格式的具体形式为格式的具体形式为第十五页，讲稿共六十二页哦计算结果见下表。计算结果见下表。预估校
11、正格式预估校正格式 格式第十六页，讲稿共六十二页哦1.73211.73791.78481.01.41421.41641.43510.51.67331.67821.71780.91.34161.34341.35820.41.61251.61531.64980.81.26491.26621.27740.31.54921.55251.58030.71.18321.18411.19180.21.48321.48601.50900.61.09541.09591.10000.1准确解准确解预校方法预校方法 方方法法准确解准确解预校方法预校方法 方方法法 上上面面给给出出的的初初值值问问题题有有解解析析解解
12、 ，按按该该式式算算出出的的准准确确值值 与与近近似似值值一一起起列列在在上上表表中中，通过比较可以看出通过比较可以看出 方法的精度是较低的。方法的精度是较低的。第十七页，讲稿共六十二页哦二、二、展开法与截断误差展开法与截断误差 利用利用 展开法可以得到初值问题展开法可以得到初值问题 的任意高精度的计算格式。的任意高精度的计算格式。设初值问题设初值问题 有解有解 ，且，且 ，足够光滑，则足够光滑，则 在点在点 处的处的展开式为展开式为 展开法展开法（一）第十八页，讲稿共六十二页哦其中其中 值问题值问题 中的函中的函由于由于 足够光滑，则当足够光滑，则当 时，时，式中式中 的各阶导数可由初的各阶
13、导数可由初 数数 来表达，即来表达，即 第十九页，讲稿共六十二页哦 我我们们在在 式式右右端端截截取取 项项，即即舍舍去去余余项项 ，则算得，则算得 的近似值的近似值 ，即，即此式称为此式称为 阶的阶的 公式。公式。第二十页，讲稿共六十二页哦（二）局部截断误差及其（二）局部截断误差及其“阶阶”这个截断误差被称为是这个截断误差被称为是 阶的，即当阶的，即当 时，时，是关于是关于 的的 阶无穷小量。阶无穷小量。在在考考察察计计算算公公式式的的精精度度时时，我我们们常常常常假假定定第第 步步的的结结果果是是精精确确的的，即即 ，在在这这一一前前提提下下，来来估估计计第第 步步计计算算结结果果的的误误
14、差差，即即 ，这这一一误误差差称称为为局局部部截截断断误误差差。例例如如，阶阶的的 公公式式 的的第第 步的局部截断误差为步的局部截断误差为第二十一页，讲稿共六十二页哦定义定义1 如果一种方法的局部截断误差是如果一种方法的局部截断误差是 阶的，则称该方法是阶的，则称该方法是 阶的。阶的。由定义由定义1，阶阶 公式公式 是是 阶方法，阶方法，当当 时，时，式变为式变为 这正是这正是 格式，故知格式，故知 格式是一阶方格式是一阶方法，其局部截断误差为法，其局部截断误差为 ，即为二阶的。，即为二阶的。第二十二页，讲稿共六十二页哦例例2 证明改进的证明改进的 格式格式 是是2阶方法。阶方法。对于方法的
15、对于方法的“阶阶”和局部截断误差的和局部截断误差的“阶阶”,我们可以这样来理解：如果我们可以这样来理解：如果 式的局部截式的局部截断误差是断误差是 阶的，这说明公式的前阶的，这说明公式的前 步的计算步的计算结果都是精结果都是精 确的，即确的，即 式右端关于式右端关于 次的次的 多项式与左端的多项式与左端的 在在 处的处的 级数的次级数的次数不超过数不超过 的项，完全重合，而两端超过的项，完全重合，而两端超过 次的次的项不重合。因此，我们称此方法为项不重合。因此，我们称此方法为 阶的。阶的。第二十三页，讲稿共六十二页哦 将将左左端端的的 与与右右端端的的 在在 处处作作 展开，有展开，有 证证明
16、明 设设 是是初初值值问问题题 、的的精确解，即有精确解，即有 ，由改进，由改进 的的 格式有格式有第二十四页，讲稿共六十二页哦 将它们代入将它们代入 式，并将右端稍加整理，有式，并将右端稍加整理，有 可见，该式两端的前三项，即可见，该式两端的前三项，即 的次数不超的次数不超过过 的项完全重合，而从的项完全重合，而从 的的 次方的项开始就不次方的项开始就不重合了。于是，由定义重合了。于是，由定义 可知，改进的可知，改进的 格式格式是是 阶方法，而其局部截断误差阶方法，而其局部截断误差 是是阶的。阶的。第二十五页，讲稿共六十二页哦解解 直接求导数，有直接求导数，有 例例 用用 展开法求解例展开法
17、求解例 中的初值问中的初值问题。题。第二十六页，讲稿共六十二页哦1.26941.26490.31.18321.18320.21.09541.09540.1 用用 阶阶 公式，取步长公式，取步长 ，部分计算，部分计算结果列于表结果列于表 中。中。表表中中 表表示示准准确确值值，与与 比比较较，可可见见用用 阶阶 公公式式得得到到的的数数值值解解是是令令人人非非常常满满意的。意的。第二十七页，讲稿共六十二页哦 三、三、方法方法 方方法法（简简称称 方方法法）是是一一种种构构造造高高精精度度计计算算公公式式的的方方法法。前前面面我我们们看看到到，用用 展展开开法法确确实实可可以以得得到到高高精精度度
18、的的计计算算公公式式。然然而而，方方法法每每提提高高一一阶阶，都都要要增增加加很很大大的的计计算算导导数数的的工工作作量量，而而 方方法法，避避开开了了导导数数的的计计算算，采采用用了了另另外外一一种种构构造造格格式式的途径。的途径。第二十八页，讲稿共六十二页哦首先，从微分中值定理及方程首先，从微分中值定理及方程 得得 。这这里里 称称为为方方程程 的的积积分分曲曲线线 在在区区间间 上上的的平平均均斜斜率率。由由此此可可见见，只只要要对对此此平平均均斜斜率率提提供供一一种种算算法法，就就可可以以得得到到一一个个相相应应的的计计算算公公式式。下下面面，我我们们来来观观察察 格格式和改进式和改进
19、 的格式，将它们分别写成的格式，将它们分别写成 方法的基本思想方法的基本思想(一)第二十九页，讲稿共六十二页哦 前前一一式式是是用用 点点处处的的斜斜率率 的的平平均均值值来来代代替替平平均均斜斜率率的的，后后一一式式是是用用 两两点点上上的的斜斜率率的的平平均均值值来来代代替替平平均均斜率的。我们已经知道斜率的。我们已经知道 格格式式是是 1 阶阶方方法法，而而改改进进的的 格格式式是是2 阶阶方方法法。由由此此看看来来，如如果果在在区区间间 内内多多预预报报几几个个点点的的斜斜率率值值，然然后后将将它它们们加加权权平平均均，以以代代替替上上述述的的平平均均斜斜率率，就可以构造出更高阶的计算
20、公式来。因此，就可以构造出更高阶的计算公式来。因此，方方法法的的关关键键就就在在于于选选择择哪哪些些点点上上的的斜斜率率值值，以以及及如何构造它们的线性组合。如何构造它们的线性组合。第三十页，讲稿共六十二页哦与与 格式与改进的格式与改进的 格式可以改写成下格式可以改写成下面的形式面的形式 级级 公式公式（二）第三十一页，讲稿共六十二页哦舍去误差项，便得到舍去误差项，便得到 显显然然，若若在在区区间间 内内取取 个个不不同同的的点点，记记积积分分曲曲线线 在在这这 个个点点上上的的斜斜率率分分别别为为 ，于是我们可以设，于是我们可以设第三十二页，讲稿共六十二页哦 这就是所谓的这就是所谓的 级级
21、阶的阶的 公式。其公式。其中中 都是待定系数，并且有都是待定系数，并且有 待待定定系系数数 可可用用比比较较系系数数的的方方法法求求得得。即将即将 中的中的 和各和各 都在都在 处展成处展成 级级数数，然然后后令令两两端端关关于于别别 的的不不超超过过 次次的的同同次项的系数相等，便可求得这些待定系数。次项的系数相等，便可求得这些待定系数。下面以下面以 为例，说明待定系数的求法。当为例，说明待定系数的求法。当 时，由时，由 式有式有 第三十三页，讲稿共六十二页哦 将将 式中的式中的 与与 、分别在分别在 处作处作 展开，有展开，有 第三十四页，讲稿共六十二页哦称为修正的梯形公式。称为修正的梯形
22、公式。注注意意，这这里里用用到到了了二二元元 展展开开式式。将将上上面面的的三三个个展展开开式式代代入入 中中，并并令令两两端端 的的次次数数不不超超过过 的项的系数相等，于是得到的项的系数相等，于是得到若取若取 ，则可算得，则可算得 ，这时，这时，由由 式得式得 第三十五页，讲稿共六十二页哦称为修正的矩形公式。称为修正的矩形公式。以以上上两两个个公公式式，都都是是在在 及及 的的前前提提之下构造出来的。因此，它们都是之下构造出来的。因此，它们都是 级级 阶的阶的 公式。公式。若取若取 ，则可算得，则可算得 ，由，由 式得式得 第三十六页，讲稿共六十二页哦 注注意意，在在上上面面求求待待定定系
23、系数数的的方方程程组组中中，有有一一个个自自由由参参数数，故故 级级 阶阶的的公公式式有有无无穷穷多多个个。但但是是，在在这这些些 级级 公公式式中中，不不可可能能存存在在高高于于 阶阶的的方方法法。下下面面，我我们们给给出出 级级 公公式式可以达到的最高阶数：可以达到的最高阶数：第三十七页，讲稿共六十二页哦标准标准 级级 阶阶 公式公式 依依照照 级级 阶阶 公公式式的的构构造造过过程程，我我们们可可以以得得到到更更高高级级高高阶阶的的 公公式式，其其中中最最常常用用的的就就是是标准的标准的 级级 阶阶 公式，其形式为：公式，其形式为：例例 用标准用标准 级级 阶阶 公式求解例公式求解例 中
24、给中给出的初值问题，取出的初值问题，取 。（三）第三十八页，讲稿共六十二页哦解解 计算公式如下：计算公式如下：第三十九页，讲稿共六十二页哦1.7320511.7321401.7378691.051.6124521.6125131.6164740.841.4832401.4832811.4859650.631.341641.3416671.3433600.421.1832161.1832921.1840960.2111100(精确值精确值)(4阶阶R-K方法方法)(2阶阶R-K方法方法)将计算结果列于表将计算结果列于表 。第四十页，讲稿共六十二页哦 将将表表 与与表表 的的结结果果相相比比较较，
25、尽尽管管这这里里步步长长放放大大了了，但但计计算算的的精精度度却却很很高高，从从而而出可以看出选择方法的重要意义。出可以看出选择方法的重要意义。第四十一页，讲稿共六十二页哦四、四、线性多步法线性多步法 前面介绍的几种方法都是单步法，即在计算时，前面介绍的几种方法都是单步法，即在计算时，仅用到它前面一步得到信息仅用到它前面一步得到信息 。设想，当通过单步。设想，当通过单步法已经算出法已经算出 ，如何充分地利用这些信息，如何充分地利用这些信息，在计算在计算 时获得较高精度，这就是多步法的基本时获得较高精度，这就是多步法的基本思想。思想。假定仍讨论本章开始给出的一阶微分方程的初假定仍讨论本章开始给出
26、的一阶微分方程的初值问题值问题 第四十二页，讲稿共六十二页哦与其等价的积分方程是与其等价的积分方程是 前面我们曾使用梯公式，计算前面我们曾使用梯公式，计算 式右端的积式右端的积分，而得到了改进的分，而得到了改进的 方法。其实，这也可以方法。其实，这也可以理解为是用插值点理解为是用插值点 和和 的线性插值函数代替函的线性插值函数代替函数数 而得到的。由于通常插多项式的次数越高越精而得到的。由于通常插多项式的次数越高越精确，所以使我们试图用高次插值多项式代替确，所以使我们试图用高次插值多项式代替 ，来，来得到高精度的计算方法。得到高精度的计算方法。第四十三页，讲稿共六十二页哦 今取今取 和和 为插
27、值节点，这时的插为插值节点，这时的插值多项式为值多项式为 第四十四页，讲稿共六十二页哦 用用 代替代替 ，便得到，便得到 的近的近似值似值 ，即，即 令令 ，并注意到，并注意到则得则得 第四十五页，讲稿共六十二页哦第四十六页，讲稿共六十二页哦上式中右端的上式中右端的 用用 代替，就有代替，就有 显然，这是一个隐式方法，称显然，这是一个隐式方法，称 式为式为 内插公式。内插公式。第四十七页，讲稿共六十二页哦 上面之所以得到的是隐式方法上面之所以得到的是隐式方法，其原因在于选其原因在于选用了用了 作为插值节点。例如我们取作为插值节点。例如我们取 和和 作为插值节点。这时的插值多项式成为作为插值节点
28、。这时的插值多项式成为 第四十八页，讲稿共六十二页哦 用上式代替用上式代替 式右端积分中的式右端积分中的 ，也将得到，也将得到 的近似值的近似值 ，与推导隐式，与推导隐式方法方法 的过程类似，可得到如下的显式公式：的过程类似，可得到如下的显式公式：我们称我们称 式为式为 外插公式。在讨论它们外插公式。在讨论它们的截断误差的截断误差 时，不仅要假定时，不仅要假定 ，还，还要假定要假定 和和 ，容，容易证明它们的截断误差均为易证明它们的截断误差均为 。第四十九页，讲稿共六十二页哦 可以单独使用外插公式，用它每计可以单独使用外插公式，用它每计 算算 一一 个个 的值，只需要计算一次的值，只需要计算一
29、次 的值，计算量小于的值，计算量小于 方法，而它们的截断误差为同阶。但该方法的明显不方法，而它们的截断误差为同阶。但该方法的明显不足是开始的几个值足是开始的几个值 和和 不能用它算，必须采用不能用它算，必须采用其它方法。其它方法。通常把上面给出的两个公式联合使用，即用外插通常把上面给出的两个公式联合使用，即用外插公式提供内插公式的迭代初值，用内插公式作迭代。公式提供内插公式的迭代初值，用内插公式作迭代。如果也像改进的如果也像改进的 方法那样规定只迭代一次或两方法那样规定只迭代一次或两次，也就形成了一个预估校正系统。次，也就形成了一个预估校正系统。第五十页，讲稿共六十二页哦解解 为了使用线性多步
30、法求解，今先使用为了使用线性多步法求解，今先使用 方方法算出法算出 和和 然后分别使用外插公式以用外然后分别使用外插公式以用外插插、内插联合使用的预估校正法计算后面的数值、内插联合使用的预估校正法计算后面的数值解。解。例例5 取步长取步长 ，使用线性多步法求解例，使用线性多步法求解例1给给出的初值问题。出的初值问题。第五十一页，讲稿共六十二页哦计算公式计算公式(1)预估公式（外插公式）预估公式（外插公式）第五十二页，讲稿共六十二页哦 表表6.4 第五十三页，讲稿共六十二页哦计算结果见表计算结果见表 。校正公式（内插公式）校正公式（内插公式）第五十四页，讲稿共六十二页哦五、五、一阶微分方程组和解
31、法一阶微分方程组和解法 前面介绍了一阶常微分方程初值问题的各种数前面介绍了一阶常微分方程初值问题的各种数值解法，这些解法对微分分方程组的初问题同样适值解法，这些解法对微分分方程组的初问题同样适用。用。考察一阶方程组考察一阶方程组其初始条件为其初始条件为 第五十五页，讲稿共六十二页哦其中其中 求解求解 ,的四阶的四阶 格式为格式为 第五十六页，讲稿共六十二页哦此处此处 是是 在点在点 处的近似值。处的近似值。今以二个未知函数方程组为例来说明上面公式今以二个未知函数方程组为例来说明上面公式 的计的计算过程。算过程。第五十七页，讲稿共六十二页哦考察方程组考察方程组 此时此时 的格式的具体形式为的格式的具体形式为 第五十八页，讲稿共六十二页哦其中其中 第五十九页，讲稿共六十二页哦第六十页，讲稿共六十二页哦 对于高微分方程的初值问题，原则上可以将它化对于高微分方程的初值问题，原则上可以将它化为一阶方程组的初值问题来求解。例如考察下述二阶为一阶方程组的初值问题来求解。例如考察下述二阶方程的初值问题方程的初值问题 只要引入新的变量只要引入新的变量 第六十一页，讲稿共六十二页哦容易建立求解它的容易建立求解它的 格式。格式。初始条件初始条件 相应地可化为相应地可化为 则则 式可化为如下的一阶方程组式可化为如下的一阶方程组 第六十二页，讲稿共六十二页哦