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1、概率与正态分布现在学习的是第1页，共48页概率基本知识概率基本知识随机现象与确定性现象随机现象与确定性现象抛硬币，落地时，正面向上。抛硬币，落地时，正面向上。掷一粒骰子，掷出点（不可能事件）。掷一粒骰子，掷出点（不可能事件）。向空中抛一块石头，落到地上（必然事件）。向空中抛一块石头，落到地上（必然事件）。随机事件：随机现象的各种可能结果（也称随机事件：随机现象的各种可能结果（也称为为“事件事件”，用大写字母，用大写字母A，B，C等表示）等表示）基本事件：不能分解的基本事件：不能分解的复合事件：可分解的复合事件：可分解的现在学习的是第2页，共48页事件的概率事件的概率1.频率频率 事件发生的概率
2、与频率有关。对于随机事件事件发生的概率与频率有关。对于随机事件A，如果在，如果在N次试验中出现次试验中出现a次，则次，则A发生的频率记作发生的频率记作 F（A）=a/N频率满足不等式频率满足不等式0F（A）1现在学习的是第3页，共48页事件的概率事件的概率经验概率经验概率对多次重复相同或相似试验所得到的数据进行分析，获得对多次重复相同或相似试验所得到的数据进行分析，获得事件发生的相对频率，作为对此事件发生概率的一个估事件发生的相对频率，作为对此事件发生概率的一个估计。计。现在学习的是第4页，共48页事件的概率事件的概率先验概率先验概率当试验满足当试验满足:试验中各种可能结果（基本事件）是试验中
3、各种可能结果（基本事件）是有限的，并且每种结果发生的可能性是不变时，则有限的，并且每种结果发生的可能性是不变时，则某事件发生的概率等于该事件包含的基本事件数除某事件发生的概率等于该事件包含的基本事件数除以试验中可能发生的基本事件总件数之商。以试验中可能发生的基本事件总件数之商。设设N代表可能发生的基本事件总数，代表可能发生的基本事件总数，K代表事件代表事件A包含的基本事件数，则包含的基本事件数，则A事件发生的概率为：事件发生的概率为：现在学习的是第5页，共48页关于两种概率的理解关于两种概率的理解抛一枚硬币，落地时正面朝上的概率是多少？抛一枚硬币，落地时正面朝上的概率是多少？先验概率：先验概率
4、：经验概率经验概率：大数定律：试验次数越大，大数定律：试验次数越大，P(A)的相对频率估计越好。的相对频率估计越好。现在学习的是第6页，共48页现在学习的是第7页，共48页现在学习的是第8页，共48页50粒不同颜色的石子放入一只瓶子并且完全粒不同颜色的石子放入一只瓶子并且完全混合在一起，石子中有混合在一起，石子中有25粒蓝色，粒蓝色，20粒绿粒绿色和色和5粒红色。如果闭上眼睛从瓶子中取出粒红色。如果闭上眼睛从瓶子中取出一粒石子，计算以下概率：一粒石子，计算以下概率：（1）P(红色石子红色石子)（2）P(蓝色或红色石子蓝色或红色石子)现在学习的是第9页，共48页在某大城市一家医院的产房，去年出生
5、在某大城市一家医院的产房，去年出生1060个男婴个男婴和和1000个女婴，假设这些数据表示了全部出生情个女婴，假设这些数据表示了全部出生情况，在该医院下一个出生的婴儿是男婴的概率是况，在该医院下一个出生的婴儿是男婴的概率是多少？是女婴的概率是多少？多少？是女婴的概率是多少？现在学习的是第10页，共48页概率的性质概率的性质(1)任何随机事件的概率都是不小于零且不大于的数。任何随机事件的概率都是不小于零且不大于的数。(2)不可能事件的概率等于零。不可能事件的概率等于零。(3)必然事件的概率等于。必然事件的概率等于。(4)两个互逆事件（对立事件）的概率之和等于，逆两个互逆事件（对立事件）的概率之和
6、等于，逆事件的概率事件的概率(5)小概率事件，小概率事件，P(A)0.05现在学习的是第11页，共48页概率的两个基本法则概率的两个基本法则概率的加法法则：两个互不相容事件概率的加法法则：两个互不相容事件A、B之和的概率之和的概率等于两个事件分别发生的概率之和。等于两个事件分别发生的概率之和。互不相容事件：一次试验中不可能同时出现的事件称互不相容事件：一次试验中不可能同时出现的事件称为互不相容事件。为互不相容事件。现在学习的是第12页，共48页在在9道试题中，有道试题中，有6道选择题，道选择题，2道是非题，道是非题，1道填空道填空题，随机抽出一道题为是非题或选择题的概率是题，随机抽出一道题为是
7、非题或选择题的概率是多少？多少？解：解：现在学习的是第13页，共48页概率的两个基本法则概率的两个基本法则乘法法则：两个相互独立事件乘法法则：两个相互独立事件A、B同时发生的概率等同时发生的概率等于两个事件分别发生的概率的积。于两个事件分别发生的概率的积。相互独立事件：一个事件的发生概率与另一个事相互独立事件：一个事件的发生概率与另一个事件的发生与否无关。件的发生与否无关。现在学习的是第14页，共48页两道四选一题，凭猜测做对一题的概率是多两道四选一题，凭猜测做对一题的概率是多少？少？3/8设第一题做对为事件设第一题做对为事件A，做错为事件，做错为事件 ，第，第二题做对为事件二题做对为事件B，
8、做错为事件，做错为事件 ，做对第，做对第一题的概率为一题的概率为 ,做对第二题的概率为做对第二题的概率为现在学习的是第15页，共48页正态分布正态分布随机变量随机变量正态分布特点正态分布特点(标准正态分布标准正态分布)正态分布表正态分布表正态分布曲线下面积的应用正态分布曲线下面积的应用现在学习的是第16页，共48页随机变量：随机现象的函数化随机变量：随机现象的函数化随机变量：表示随机现象结果的变量随机变量：表示随机现象结果的变量在随机现象中有很多样本点本身就是用数量表示的，由于样本点出现的随在随机现象中有很多样本点本身就是用数量表示的，由于样本点出现的随机性，其数量呈现为随机变量。机性，其数量
9、呈现为随机变量。掷一颗骰子，出现的点数掷一颗骰子，出现的点数X是一个随机变量是一个随机变量每天进入某超市的顾客数每天进入某超市的顾客数Y；顾客购买商品的件数；顾客购买商品的件数U；顾客排队等候付款的时间；顾客排队等候付款的时间V。Y,U,V是三个不同的随机变量。是三个不同的随机变量。在随机现象中还有不少样本点本身不是数，这时可根据研究需要设计在随机现象中还有不少样本点本身不是数，这时可根据研究需要设计随机变量。随机变量。检查一个产品，只考察合格与否，则其样本空间为检查一个产品，只考察合格与否，则其样本空间为合格品，不合格品合格品，不合格品，这时可，这时可设计一个随机变量设计一个随机变量X如下：
10、如下：样本点样本点X的取值的取值合格品0不合格品1现在学习的是第17页，共48页定义在样本空间定义在样本空间 上的实值函数上的实值函数X=X（w）称为随机变量。称为随机变量。将事件映射为数字将事件映射为数字可以将概率研究定量化，引入分布函数可以将概率研究定量化，引入分布函数设设X是一个随机变量，对任意实数是一个随机变量，对任意实数x，称，称 F（x）=P（X=x）为随机变量为随机变量X的分布函数。的分布函数。现在学习的是第18页，共48页离散型随机变量离散型随机变量随机变量随机变量X只取有限或可列无穷多个值。只取有限或可列无穷多个值。例：某学生做一道正误判断题，做对记分，例：某学生做一道正误判
11、断题，做对记分，做错记分。他在这道题的得分为随机变量做错记分。他在这道题的得分为随机变量X 连续型随机变量连续型随机变量随机变量随机变量X可以取无限的且是不可列的值。可以取无限的且是不可列的值。例：某公共汽车停车点上乘客候车的时间记为例：某公共汽车停车点上乘客候车的时间记为随机变量随机变量Y现在学习的是第19页，共48页概率分布概率分布随机变量各取值的概率构成的分布随机变量各取值的概率构成的分布某学生参加一次数学竞赛，共回答三个问题，求该生答某学生参加一次数学竞赛，共回答三个问题，求该生答对题数的概率分布。对题数的概率分布。现在学习的是第20页，共48页考虑全班考虑全班153位同学体重的概率分
12、布，若体重位同学体重的概率分布，若体重以千克为单位，可以精确到无限小数位，你以千克为单位，可以精确到无限小数位，你能否列表显示各种取值的概率？能否列表显示各种取值的概率？现在学习的是第21页，共48页连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布连续型随机变量连续型随机变量X有无限多个可能的取值，那么有无限多个可能的取值，那么任何一个特殊值的概率都是任何一个特殊值的概率都是0。由于由于X的取值是不可数的，则对应的概率密度也的取值是不可数的，则对应的概率密度也是不可数的。是不可数的。连续型概率分布不能表示为列表的形式，只能表连续型概率分布不能表示为列表的形式，只能表示为连续型的曲线或者该曲线的
13、函数表达式示为连续型的曲线或者该曲线的函数表达式连续型分布不能计算某一点的概率，只能计算两连续型分布不能计算某一点的概率，只能计算两点间的概率，以曲线下的面积表示。点间的概率，以曲线下的面积表示。现在学习的是第22页，共48页图图5.1连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布现在学习的是第23页，共48页现在学习的是第24页，共48页68.395.499.7密密度度连续随机变量（连续随机变量（X）图图5.2 正态分布曲线正态分布曲线正态概率分布（正态分布）正态概率分布（正态分布）现在学习的是第25页，共48页正态分布曲线的特点正态分布曲线的特点钟形轴对称曲线，对称轴是随机变量的平均数。
14、钟形轴对称曲线，对称轴是随机变量的平均数。正态分布曲线的位置和形状分别由平均数正态分布曲线的位置和形状分别由平均数和标准差决定。和标准差决定。平均数大小决定图形向左移或右移。平均数大小决定图形向左移或右移。标准差大小决定图形的陡峭程度，即纵线的最大标准差大小决定图形的陡峭程度，即纵线的最大值。值。现在学习的是第26页，共48页012 3 4 56 781234图图5.3平均数不等，标准差相等的正态分布示意图平均数不等，标准差相等的正态分布示意图现在学习的是第27页，共48页10123453245图图5.4平均数相等，标准差不等的正态分布示意图平均数相等，标准差不等的正态分布示意图现在学习的是第
15、28页，共48页标准正态分布标准正态分布标准正态分布：平均数为，标准差为标准正态分布：平均数为，标准差为1的正态分布。标准分数即服从标准正的正态分布。标准分数即服从标准正态分布态分布标准正态分布曲线的特点：标准正态分布曲线的特点：曲线最高点为（曲线最高点为（Z0，Y=0.3989）。曲线下的总面积即概率总和为，对称轴两）。曲线下的总面积即概率总和为，对称轴两边各为边各为0.5。曲线是以过曲线是以过Z=0的纵线为对称轴，两侧横坐标绝对值相等的对应点高度相等，对应的纵线为对称轴，两侧横坐标绝对值相等的对应点高度相等，对应的曲线下面积相等。的曲线下面积相等。标准正态分布的平均数、中数、众数三点重合在
16、标准正态分布的平均数、中数、众数三点重合在Z=0这一点上。这一点上。曲线与对称轴交点处曲线与对称轴交点处Y值最大，即此处观测值的相对次数最大，概率最大；值最大，即此处观测值的相对次数最大，概率最大；现在学习的是第29页，共48页正态分布表正态分布表根据标准正态分布曲线的函数公式进行计算根据标准正态分布曲线的函数公式进行计算编制而成的。通过编制而成的。通过Z值可查值可查Y值或值或P值，也可值，也可通过通过P值查值查Z值。值。现在学习的是第30页，共48页标准正态分布表中各变量的含义标准正态分布表中各变量的含义现在学习的是第31页，共48页已知下列已知下列Z值，查表求值，查表求P值。值。（1）Z-
17、1与与Z1之间的概率之间的概率（2）Z-2与与Z2之间的概率之间的概率（3）Z-3与与Z3之间的概率之间的概率（4）Z-1.96与与Z1.96之间的概率之间的概率（5）Z-2.58与与Z2.58之间的概率之间的概率现在学习的是第32页，共48页利用正态分布表求：利用正态分布表求：（1）正态曲线下）正态曲线下Z1.34处左侧的面积处左侧的面积（2）正态曲线下）正态曲线下Z2.16处右侧的面积处右侧的面积（3）正态曲线下）正态曲线下Z-1.64处左侧的面积处左侧的面积（4）正态曲线下）正态曲线下Z-1.5处右侧的面积处右侧的面积现在学习的是第33页，共48页利用正态分布表求：利用正态分布表求：（1
18、）中央）中央50的面积的下限的面积的下限Z值和上限值和上限Z值值（2）正态曲线下右尾）正态曲线下右尾20的面积的下限的面积的下限Z值值（3）正态曲线下左侧）正态曲线下左侧30的面积的上限的面积的上限Z值值现在学习的是第34页，共48页标准正态曲线下面积的应用标准正态曲线下面积的应用使用前提：使用前提：随机变量（随机变量（X）服从或近似正态分布，其标准化）服从或近似正态分布，其标准化后的变量（后的变量（Z）才能服从标准正态分布，才能应）才能服从标准正态分布，才能应用正态分布表（标准正态分布曲线）的规律进用正态分布表（标准正态分布曲线）的规律进行概率的计算。行概率的计算。现在学习的是第35页，共4
19、8页解题关键解题关键画出正态分布曲线示意图画出正态分布曲线示意图注意题意转换成注意题意转换成Z、P现在学习的是第36页，共48页推求考试成绩特定区间内的人数推求考试成绩特定区间内的人数已知某年级已知某年级200名学生考试成绩呈正态分布，名学生考试成绩呈正态分布，平均分为平均分为85分，标准差为分，标准差为10分，学生甲的分，学生甲的成绩为成绩为70分，问全年级成绩比学生甲低的分，问全年级成绩比学生甲低的学生人数是多少？学生人数是多少？现在学习的是第37页，共48页图图5.6运用标准正态分布曲线解题（一）运用标准正态分布曲线解题（一）现在学习的是第38页，共48页现在学习的是第39页，共48页已
20、知某省有已知某省有86582名考生参加名考生参加1998年全国普年全国普通高校招生入学数学考试，总体成绩服从通高校招生入学数学考试，总体成绩服从均值为均值为66分、标准差为分、标准差为19.79分的正态分布，分的正态分布，试问下列范围内的人数有多少？试问下列范围内的人数有多少？（1）6072分；分；（2）72分以上。分以上。现在学习的是第40页，共48页推求考试成绩中某一特定人数比率的分数界限推求考试成绩中某一特定人数比率的分数界限某次招生考试，学生成绩符合正态分布，某次招生考试，学生成绩符合正态分布，学生成绩的平均分为学生成绩的平均分为80分，标准差为分，标准差为10分，分，要择优录取要择优
21、录取25的学生进入高一级学校学的学生进入高一级学校学习，问最低分数线应是多少分？习，问最低分数线应是多少分？现在学习的是第41页，共48页25图图5.7运用标准正态分布曲线解题（二）运用标准正态分布曲线解题（二）a现在学习的是第42页，共48页解：已知解：已知1.择优择优25录取，设分数线在录取，设分数线在a点，则点，则a点右侧的点右侧的的概率为的概率为0.252.那么那么a 点的点的P为为0.5-0.250.253.查正态分布表查正态分布表P=0.25时，时，Z=0.674.将将Z0.67通过公式通过公式转换成原始分数即可，得到转换成原始分数即可，得到a点的分数为点的分数为86.7分分答：择
22、优录取答：择优录取25的人的话，最低分数线应为的人的话，最低分数线应为86.7分。分。现在学习的是第43页，共48页某次数学竞赛，学生成绩呈正态分布，参赛某次数学竞赛，学生成绩呈正态分布，参赛学生学生200人，平均分人，平均分66.78分，标准差为分，标准差为9.19分，（分，（1）若表彰前）若表彰前20名竞赛优胜者，其最名竞赛优胜者，其最低分应是多少？（低分应是多少？（2）某生若得）某生若得80分，他在分，他在参赛者中排列第几名？参赛者中排列第几名？现在学习的是第44页，共48页分析：已知分析：已知N=200,（1）前）前20名，在所有参赛者中的位置是前名，在所有参赛者中的位置是前10设最低
23、分数点为设最低分数点为b，则，则b点右侧的概率是点右侧的概率是0.1b点标准分数对应的点标准分数对应的P 值是值是0.5-0.10.4查正态分布表得查正态分布表得b点的点的Z分数为分数为1.28，根据，根据Z分数分数的公式转换求得的公式转换求得b点分数为点分数为78.54分。分。（2）某生得）某生得80分，则其分，则其Z 分数为分数为1.44查表查表Z1.44时，时，P=0.42507那么等于和高于该生的人数比率为那么等于和高于该生的人数比率为0.5-0.425070.07493具体人数具体人数2000.0749315（人）（人）现在学习的是第45页，共48页10图图5.7运用标准正态分布曲线解题（二）运用标准正态分布曲线解题（二）b现在学习的是第46页，共48页确定按能力或成绩等级分组的各组人数确定按能力或成绩等级分组的各组人数某年级进行数学能力测验后，拟按数学能力某年级进行数学能力测验后，拟按数学能力将学生分成五个组。该次测验参加人数为将学生分成五个组。该次测验参加人数为300人，平均分为人，平均分为60分，标准差为分，标准差为13.2分，分，问各组人数及原始分数区间都是怎样的？问各组人数及原始分数区间都是怎样的？现在学习的是第47页，共48页关于作业关于作业小数位的保留与取整小数位的保留与取整解题格式解题格式计算过程计算过程字迹与卷面字迹与卷面现在学习的是第48页，共48页