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1、模糊集的理论及应用模糊集的理论及应用现在学习的是第1页，共56页第第 1 1章章 模糊集的基本概念模糊集的基本概念1.1 经典集合的基本概念1.2 格与代数系统1.3 模糊集合的定义及运算1.4 模糊集的分解定理1.5 模糊集的表现定理1.6 模糊集的其它运算1.7 模糊算子的性质1.8 模糊集的模运算1.9 隶属函数的确定方法现在学习的是第2页，共56页4/4/20231.11.1 经典集合的基本概念经典集合的基本概念v定义v集合是确定的、具有一定性质的事物的全体v集合常用大写字母表示v集合中的事物称为集合的元素，常用小写字母表示v集合的元素与集合的关系是：属于，或者，不属于v对于给定的问题
2、，所关心的事物的全体组成论域论域集合v集合的表示方法：v列举法：将集合的元素列举出来A=1,2,3,n,v描述法：给出集合元素满足的性质A=x|x是x2+2x-3=0的根v特征函数：v文氏图法：v特殊集合：全集合、空集合现在学习的是第3页，共56页4/4/20231.11.1 经典集合的基本概念经典集合的基本概念v运算及表示运算及表示v 子集（）v 相等（=）v 并（）v 交（）v 余（-,c,）v 差（-）v对称差（）v注意特征函数表示方法注意特征函数表示方法：v上述公式可以推广到任意多个集合的情况现在学习的是第4页，共56页4/4/20231.11.1 经典集合的基本概念经典集合的基本概念
3、v运算律运算律v幂等律 v交换律v结合律 v吸收律v分配律v复原律 v补余律v对偶律 算律可以推广到任意多个集合的情况（排中律，矛盾律）现在学习的是第5页，共56页4/4/20231.2 1.2 格与代数系统格与代数系统v偏序集v定义：一个集合L连同定义其上满足下面3个条件的偏序关系，构成一个偏序集（L，）：（，L）1、反身性：2、反对称性：，=3、传递性：，v全序集全序集：，L，成立 或者 现在学习的是第6页，共56页4/4/20231.2 1.2 格与代数系统格与代数系统v偏序集偏序集v特殊元素特殊元素v集合A（L）最大元：A，且 A，v集合A（L）极大元：A，且 A，=或者 A，且 A，
4、最小元、极小元的定义可以仿照给出现在学习的是第7页，共56页4/4/20231.2 1.2 格与代数系统格与代数系统v偏序集偏序集v特殊元素特殊元素v集合A（L）上界：L，且 A，v集合A（L）上确界：最小上界 L，记为=sup|A对于下界、下确界的定义，可仿照上述定义给出现在学习的是第8页，共56页4/4/20231.2 1.2 格与代数系统格与代数系统v偏序集的例子偏序集的例子v整数集合Z关于“”做成的集合（Z,）；v集合A的幂集合关于“”做成的集合（P(A),）；v正整数集合Z+关于“|”（整除）做成的集合（Z+,|）；v整数集合Z关于“mod(k)”做成的集合（Z,mod(k)”）偏序
5、集合可以做出相应的哈斯（hassen）图，其中要用到覆盖覆盖的概念：，L，说覆盖，如果（且 ）且不存在使得 。若覆盖，则在，间画连线，且保证在上，在下。将所有的覆盖连线做出形成的图称为哈斯（hassen）图。现在学习的是第9页，共56页4/4/20231.2 1.2 格与代数系统格与代数系统v格的定义格的定义定义定义：偏序集(L,)称为格，如果 ，L，集合，的上、下确界均存在。定义定义：（L,）称为格，如果L上的运算,满足幂等律、交换律、结合律、吸收律。定理定理：定义和定义是等价的：v (L,)为格，定义,为：=inf,，=sup,v（L,）为格，在L上定义：=现在学习的是第10页，共56页4
6、/4/20231.2 1.2 格与代数系统格与代数系统v特殊格特殊格：v分配格(格+分配律)v有界格(格有最大、小元1，0)v对偶格(格+余运算+对偶律、复原律)v完全格：(格+|A L，|A L存在)v稠密格：(格+，L，L，使得 ，0，1A1称为核，记为KerA，称为支集，记为SuppA,-A1称为模糊集合的边界模糊集合的高度:Hgt(A)=模糊集合的深度:Dpt(A)=v数乘模糊集合现在学习的是第20页，共56页4/4/20231.4 1.4 模糊集的分解定理模糊集的分解定理v截集的性质v截集合关于截水平单调减小v同水平的截集比强截集大，低水平的强截集比高水平的截集大v 特别，当指标集合
7、为有限集合时，4个式子都成为等式v v v数乘模糊集性质：现在学习的是第21页，共56页4/4/2023v分解定理v分解定理1：模糊集可以用其截集合表示 v分解定理2：模糊集可以用其强截集合表示v分解定理3：其中1.4 1.4 模糊集的分解定理模糊集的分解定理现在学习的是第22页，共56页4/4/20231.5 1.5 模糊集的表现定理模糊集的表现定理v集合套v称满足以下条件的映射是X上的一个集合套v全体集合套的集合记为U(X),在其中定义如下运算：则 作成软代数 现在学习的是第23页，共56页4/4/20231.5 1.5 模糊集的表现定理模糊集的表现定理v晕集（集轮）若则称F是X上的一个晕
8、集.全体晕集的集合记为(X).若让F()等于一个模糊集合的截集，则F()是一个晕集。v强晕集（强集轮）若则称F是X上的一个强晕集.全体强晕集的集合记为(X).让若F()等于一个模糊集合的强截集，则F()是一个强晕集。现在学习的是第24页，共56页4/4/20231.5 1.5 模糊集的表现定理模糊集的表现定理v表现定理v表现定理31：映射是(U(X),c)到(F(X),c)的同态满射，且满足:现在学习的是第25页，共56页4/4/20231.5 1.5 模糊集的表现定理模糊集的表现定理v表现定理表现定理32：(F(X),c)同构于(F(X),c)即每个模糊集A和一个集合套类H一一对应；同构映射
9、为：其中，(F(X),c)是集合套类的集合现在学习的是第26页，共56页4/4/20231.5 1.5 模糊集的表现定理模糊集的表现定理容易验证：（1）任给一个模糊集合A，与其对应的所有截集合的集合是一个集合套，令 ，则F是晕集；（2）任给一个模糊集合A，与其对应的所有强截集合的集合是一个集合套，令 ，则G是强晕集；还可以证明下面的事实：（1）在每个集合套等价类H中，存在唯一的晕集F：（2）在每个集合套等价类H中，存在唯一的强晕集G：现在学习的是第27页，共56页4/4/20231.5 1.5 模糊集的表现定理模糊集的表现定理v 在 中定义并、交、余运算如下：v 的同构性质 (F(X),c)同
10、构于(f)（，,c)现在学习的是第28页，共56页4/4/20231.5 1.5 模糊集的表现定理模糊集的表现定理v 在 中定义并、交、余运算如下：v 的同构性质 (F(X),c)同构于(g)（，,c）现在学习的是第29页，共56页4/4/20231.5 1.5 模糊集的表现定理模糊集的表现定理v表现定理1和表现定理2 表现定理1：（，,c）同构于(F(X),c)表现定理2：（，,c）同构于(F(X),c)（这只需将同构映射f f ，g g 分别与同构映射T合成即可）现在学习的是第30页，共56页4/4/20231.5 1.5 模糊集的表现定理模糊集的表现定理v构建（F(X),c）的另一种途径
11、在（U(X),c）中定义关系“”：则容易证明它是等价关系，从而可以对U(X)的元素分类，记所得等价类的集合为F(X)，并在其中定义,c运算如下：则（F(X),c）作成软代数，并有以下结论：v由此可以证明以下映射是同构映射：现在学习的是第31页，共56页4/4/20231.5 1.5 模糊集的表现定理模糊集的表现定理v集合套类与集轮的关系设H是一个集合套类，定义如下两个映射：则有：（1）（2）（3）（4）现在学习的是第32页，共56页4/4/20231.5 1.5 模糊集的表现定理模糊集的表现定理v模糊集的隶属函数在0，1X中定义如下运算、c：定义映射 f 是(F(X),c)到0，1X,，c)的
12、同构映射；现在学习的是第33页，共56页4/4/20231.5 1.5 模糊集的表现定理模糊集的表现定理(F(X),c)同构于0，1X,，c)说明：一个模糊集合和一个函数1-1对应，称该函数为模糊集的隶属函数.现在学习的是第34页，共56页4/4/20231.5 1.5 模糊集的表现定理模糊集的表现定理v表现定理总结v每个集合套唯一确定一个模糊集，但不同的集合套可对应同一个模糊集合；v将集合套进行分类（注意有两种分类的方法：与同态映射有关的和无关的），使得每个类和一个模糊集合1-1对应；v在每个集合套等价类中，存在唯一一个集轮和强集轮，它们分别是所在类的最大、最小元，是等价类的两个特殊代表元素
13、；v每个模糊集合和一个集轮1-1对应；v每个模糊集合和一个强集轮1-1对应；v分解定理和表现定理从两个不同的方面揭示了模糊集合和经典集合的相互关系：前者说明模糊集合可以由经典集合来表示；后者说明每个集合套和对应的等价类以及其中的集轮、强集轮可以确定一个模糊集合；v表现定理为我们提供了研究模糊集合的另外手段用对应的集合套或等价类（许多证明题可利用表现定理证明）现在学习的是第35页，共56页4/4/20231.6 1.6 模糊集的其它运算模糊集的其它运算v模糊集的其它运算v除了L.A.Zadeh算子，还有别的算子，以弥补其不足，常见的有：（1）概率和与积：（2）有界和与积：（Lukasiewicz
14、 算子）（3）Einstain：（4）Hamacher：（5）Yager：现在学习的是第36页，共56页4/4/20231.6 1.6 模糊集的其它运算模糊集的其它运算这些模糊算子有以下特点：（1）当a、b取0或1时，它们都蜕变为布尔算子；（2）每对算子均符合对偶律；（3）每一组算子连同余运算都不构成软代数（幂等律不成立）（4）这些算子具有一定的相互关系（一般和特殊）现在学习的是第37页，共56页4/4/20231.7 1.7 模糊算子的性质模糊算子的性质1.模糊算子的强弱模糊算子的强弱 设 是两个模糊算子，称 比 弱，如果 据此可以对模糊算子进行比较。比如Zadeh交算子比 Zadeh并算子
15、弱。现在学习的是第38页，共56页4/4/20231.7 1.7 模糊算子的性质模糊算子的性质2.模糊算子的清晰度模糊算子的清晰度 设 是模糊算子，称下面定义的集合是该模糊算子的清晰域：现在学习的是第39页，共56页4/4/20231.7 1.7 模糊算子的性质模糊算子的性质Zadeh与算子的清晰域为单位正方形的左边和底边；Zadeh或算子的清晰域为单位正方形的右边和上边。如果计算面积，都是0。有界和与积算子的清晰域如图，面积都是0.5有界和清晰域有界和清晰域有界积清晰域有界积清晰域Zadeh或清晰域Zadeh与清晰域现在学习的是第40页，共56页4/4/20231.7 1.7 模糊算子的性质
16、模糊算子的性质3 模糊算子的模糊度模糊算子的模糊度 设W是算子的集合，定义 称为算子的模糊度。设&，#是两个模糊算子，现在学习的是第41页，共56页4/4/20231.8 1.8 模糊集的模运算模糊集的模运算v三角范式（T-模）(Triangular Norms)0，1的三角范式是满足以下4条的映射：1）交换律：T(a，b)=T(b，a)2）结合律：T(T(a，b)，c)=T(a，T(b，c)3）单调性：若a b,c d，则T(a,c)T(b,d)4）边界条件：T(0,a)=0,T(1,a)=a现在学习的是第42页，共56页4/4/20231.8 1.8 模糊集的模运算模糊集的模运算v余三角范
17、式(S-模)(Triangular Connorms)0，1的余三角范式是满足以下4条的映射：1）交换律：S(a，b)=S(b，a)2）结合律：S(S(a，b)，c)=S(a，S(b，c)3）单调性：若a b,c d，则S(a,c)S(b,d)4）边界条件：S(0,a)=a,S(1,a)=1现在学习的是第43页，共56页4/4/20231.8 1.8 模糊集的模运算模糊集的模运算三角模的性质三角模的性质S与T是模糊集合算子的一般情形，且关于余运算对偶:v三角模满足：T(ac,bc)=(S(a,b)c,S(ac,bc)=(T(a,b)c现在学习的是第44页，共56页4/4/20231.8 1.8
18、 模糊集的模运算模糊集的模运算v余三角模满足：现在学习的是第45页，共56页4/4/20231.9 1.9 隶属函数的确定方法隶属函数的确定方法1、模糊统计法(1)步骤：在论域中取一点xX，A 是要建立的模糊集，确定x 对A的隶属度采用统计的方法：设Ai是一次试验的结果，它是A的显影，即是一个精确集合，这样元素x是否属于一次显影结果是可以确定的，统计出n次随机试验中试验结果包 含x的试验次数m,将m/n作 为x 对模糊集合的隶属。(2)结论：随着试验次数的增大，m/n具有稳定性。(3)特点：这种统计试验要求模糊集合的每次显影是给定论域的一个经典子集，因此这种试验称为简单模糊统计法简单模糊统计法
19、。现在学习的是第46页，共56页4/4/20231.9 1.9 隶属函数的确定方法隶属函数的确定方法(4)模糊统计试验的4个要素：a)论域X;b)X中的一个元素x；c)X 中的一个随机移动集合Ai；d)X上的一个模糊子集A；特点：特点：点子固定，圈圈移动。点子固定，圈圈移动。(5)随机试验的个要素：a)样本空间;b)事件A中的一个确定集合；c)中的变元；d)条件S对变元 活动的限制范围；特点：特点：点子移动，圈圈固定点子移动，圈圈固定。(6)一般一般模糊统计法模糊统计法：模糊集的每次显影是给定论域的一个模糊子集。现在学习的是第47页，共56页4/4/20231.9 1.9 隶属函数的确定方法隶
20、属函数的确定方法2、三分法是一种用随机区间处理模糊性的方法，将隶属函数的确定问题转换为随机变量分布的确定问题。该方法主要用于个模糊集的建立问题。(1)步骤：设论域为X，A,B,C 是要建立的模糊集。每次实验给出一对数（，），用于给出个待建模糊集合的显影。由于，是随机给出的，所以可看作是两个随机变量。如果它们的概率分布密度 能够求得，那么三个模糊集合的隶属函数可由这两个密度函数确定。(2)结论：三个模糊集合的隶属函数为：(3)特点：这种统计试验要求每次给出论域的一个划分，简便易行。现在学习的是第48页，共56页4/4/20231.9 1.9 隶属函数的确定方法隶属函数的确定方法、模糊分布法这种方
21、法先假设隶属函数是某个带参数的函数，然后通过确定参数来确定隶属函数。常见的模糊分布主要有以下种，每种又分为偏小型、偏大型和中间型。(1)矩形分布 (2)梯形分布 (3)抛物分布(4)分布 (5)正态分布 (6)Cauchy分布abbcadbcadaaab现在学习的是第49页，共56页4/4/20231.9 1.9 隶属函数的确定方法隶属函数的确定方法现在学习的是第50页，共56页4/4/20231.9 1.9 隶属函数的确定方法隶属函数的确定方法现在学习的是第51页，共56页4/4/20231.9 1.9 隶属函数的确定方法隶属函数的确定方法v岭型分布：分布函数：abcd现在学习的是第52页，
22、共56页4/4/20231.9 1.9 隶属函数的确定方法隶属函数的确定方法4.经验法5.推理法6.其他方法：后面会介绍现在学习的是第53页，共56页4/4/20231.10 L1.10 L模糊集合模糊集合v 设X是非空集合，L是格，映射 称为L模糊集合 所有X上L模糊集的集合记为v当L=0，1时，L模糊集合就是普通模糊集合。v设X、Y是经典模糊集合，是格 是L模糊集合，实际上是一个集值映射v(F（0,1）,c)是格，是L模糊集合，又称为2型模糊集合 v 现在学习的是第54页，共56页4/4/20231.10 1.10 L L模糊集合模糊集合 可以探讨：vL模糊集合的截集合vL模糊集合的分解定理vL模糊集合的表现定理现在学习的是第55页，共56页4/4/2023习题习题习题一：习题7，习题8，习题10，习题11，习题14，习题16，习题17，习题18，习题19，习题26，习题27，习题31现在学习的是第56页，共56页4/4/2023