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1、模糊集理论及其应用第二章1现在学习的是第1页，共55页第二章 模糊映射与模糊数2.1 一元模糊映射及其性质(P311)2.2 多元模糊映射及其性质(P1217)2.3 模糊数及其运算(P1829)312182现在学习的是第2页，共55页2.1 一元模糊映射及其性质一元模糊映射及其性质2.1.1 一元经典扩展原理一元经典扩展原理 定义定义2.1.1 设U,V 为两个论域,则由映射 f:UV 可诱导出如下两个集值映射 (i)f:P(U)P(V)A f(A)=f(u)u A.用特征值表示,有 f(A)(v)=f(u)=v A(u),v V .(2-1-1)(ii)f-1:P(V)P(U)B f-1(
2、B)=uUf(u)B.用特征函数表示,有 f-1(B)(u)=B(f(u),u U .(2-1-2)我们称由(2-1-1)确定的集值映射 f 和由(2-1-2)确定的集值映射 f-1 为普通映射 f:UV 的经典诱导映射经典诱导映射;而称式(2-1-1)和式(2-1-2)为一元经典扩展原理一元经典扩展原理;称 f(A)为A在 f 下的像像,而 f-1(B)称为 B 在 f 下的原像原像,如下图所示 目 录3现在学习的是第3页，共55页4现在学习的是第4页，共55页 例例2.1.1 设U=V=(,),映射 f :UV u f(u)=sin u .A=-1,1 P(U),B=0,1 P(V),则由
3、式(2-1-1)得 f(A)=f(-1,1)=-sin 1,sin 1 而由式(2-1-2)f-1(B)=f-1(0,1)=2n,(2n+1/2),(n=0,1,2,)目 录5现在学习的是第5页，共55页2.1.2 一元模糊扩展原理一元模糊扩展原理 定义定义2.1.22.1.2 设U,V 为两个论域,f:UV 为普通映射，则由 f 可诱导出如下两个模糊映射：(i)f:F(U)F(V)A f(A)其中 v V ，有 目 录6现在学习的是第6页，共55页 通常称由式(2-1-3)和式(2-1-4)所确定的模糊映射为Zadeh型函数.f(A)称为U 上的模糊集A 在 f 下的像像,而称f-1(B)为
4、V上的模糊集B在f 下的原像原像.如下图所示 7现在学习的是第7页，共55页 例例2.1.2 设U=u1,u2,u3,u4,u5,V=a,b,c,d,映射 f :UV 定义为 (1)当 u u1,u3时,f(u)=a;(2)当 u u2,u4,u5时,f(u)=c;又设 A=(0.9,0.3,0.8,0.6,0.7)F(U),试求B=f(A),f-1(B).目 录8现在学习的是第8页，共55页 解解:因为f-1(a)=u1,u3,f-1(c)=u2,u4,u5,f-1(b)=f-1(d)=,所以由式(2-1-3)得 f(A)(a)=u f-1(a)A(u)=A(u1)A(u3)=0.90.8=
5、0.9.f(A)(b)=0,f(A)(d)=0,f(A)(c)=u f-1(c)A(u)=A(u2)A(u4)A(u5)=0.30.6 0.7=0.7.从而得 B=f(A)=(0.9,0,0.7,0).而由式(2-1-4)得 f-1(B)(u1)=B(f(u1)=B(a)=0.9 f-1(B)(u2)=B(f(u2)=B(c)=0.7 f-1(B)(u3)=B(f(u3)=B(a)=0.9 f-1(B)(u4)=B(f(u4)=B(c)=0.7 f-1(B)(u5)=B(f(u5)=B(c)=0.79现在学习的是第9页，共55页所以 f-1(B)=(0.9,0.7,0.9,0.7,0.7).由
6、此可见,A f-1(f(A).此结论对于任一模糊映射都成立,即 定理定理2.1.1 设f:F(U)F(V)为模糊映射,则 (1)A f-1(f(A),且 f 为单射时,等号成立;(2)f(f-1(B)B ,且 f 为满射时,等号成立.目 录10现在学习的是第10页，共55页 下面我们利用分解定理给出模糊扩展原理的几种其它形式.定理定理2.1.2(扩展原理)设U,V 为两个论域,f 和 f-1 为由f:UV诱导的模糊映射,AF(U),BF(V),则 (1)f(A)=0,1 f(A);(2)f-1(B)=0,1 f-1(B);11现在学习的是第11页，共55页 定理定理2.1.3(扩展原理)设U,
7、V为两个论域,f 和 f-1 为由f:UV诱导的模糊映射,AF(U),BF(V),则 (1)f(A)=0,1 f(As);(2)f-1(B)=0,1 f-1(Bs).目 录12现在学习的是第12页，共55页 定理定理2.1.4 (扩展原理)设U,V为两个论域,f 和 f-1 为由f:UV诱导的模糊映射,AF(U),BF(V),则 (1)f(A)=0,1 f(HA(),其中 HA()满足 As HA()A,0,1 ;(2)f-1(B)=0,1 f-1(HB(),其中 HB()满足 Bs HB()B,0,1 .13现在学习的是第13页，共55页2.1.3 模糊映射的基本性质模糊映射的基本性质 定理
8、定理2.1.5 设f:F(U)F(V)为模糊映射,At|tT F(U),则 (1)f(tT At)=tT f(At);(2)若A,B F(U)且A B,则 f(A)f(B);(3)f()=;(4)f(tT At)tT f(At).目 录14现在学习的是第14页，共55页 证明证明:(1)vV,若f-1(v)=,由定义2.1.2知 f(tT At)(v)=0,且 tT,f(At)(v)=0,从而(tT f(At)(v)=tT f(At)(v)=0.于是等式成立.若f-1(v),则由式(2-1-3)知 f(tT At)(v)=f(u)=v(tT At)(u)=f(u)=v tT At(u)=tT
9、f(u)=v At(u)=tT f(At)(v)=(tT f(At)(v)从而有f(tT At)=tT f(At).15现在学习的是第15页，共55页 定理定理2.1.6 设f:F(U)F(V)为模糊映射,AF(U),0,1,则 (1)f(As)=f(A)s;(2)f(A)=f(A)当且仅当vV,u0U,s.t.f(A)(v)=A(u0).证明证明:(1)vV,有 v f(A)s iff f(A)(v)iff uf-1(v)A(u)iff u0U,s.t.f(u0)=v 且 A(u0)iff u0U,s.t.f(u0)=v 且 u0 As iff vf(As).f(As)=f(A)s 目 录1
10、6现在学习的是第16页，共55页 注2.1.1:一般说来,f(A)=f(A)不成立.例例2.1.3 设U=V=0,1,f:UV定义为取AF(U),使A(u)=1u(uU),则vV,由定义2.1.2知取=1,则f(A)=0,1,但f(A1)=f(0)=0,故 f(A)1 f(A1).17现在学习的是第17页，共55页 定理定理2.1.7 设f-1:F(V)F(U)为由f:UV诱导的模糊映射,Bt|tT F(V),则 (1)保空性:f-1()=;(2)保序性:若B,G F(V)且B G,则 f-1(B)f-1(G);(3)保并性:f-1(tT Bt)=tT f-1(Bt);(4)保交性:f-1(t
11、T Bt)=tT f-1(Bt);(5)保逆合性:若BF(V),(f-1(B)=f-1(B).目 录18现在学习的是第18页，共55页 定理定理2.1.8 设f-1:F(V)F(U)为由f:UV诱导的模糊映射,BF(V),则 (1)f-1(B)=f-1(B);(2)f-1(B)s =f-1(Bs);证明证明:uU,有 u f-1(B)f-1(B)(u)B(f(u)f(u)B u f-1(B)f-1(B)=f-1(B)即(1)成立.同理可证(2)也成立.19现在学习的是第19页，共55页2.2 多元模糊映射及其性质多元模糊映射及其性质2.2.1 二元扩展原理二元扩展原理 定义定义2.2.1 设A
12、iF(Ui)(i=1,2,n),则A1,A2,An的Descartes乘积,记作目 录20现在学习的是第20页，共55页定义定义2.2.2 设U1,U2,V为三个论域,f:U1U V为二元普通映射,则由 f 诱导的二元模糊映射f:F(U1)F(U2)F(V)(A1,A2)f(A1,A2)的隶属函数为 v V21现在学习的是第21页，共55页定理定理2.2.1(二元扩展原理)设 f:F(U1)F(U2)F(V)为二元模糊映射,则(A,B)F(U1)F(U2),有f(A,B)=0,1 f(A,B);22现在学习的是第22页，共55页定理定理2.2.2(二元扩展原理)设 f:F(U1)F(U2)F(
13、V)为二元模糊映射,则(A,B)F(U1)F(U2),有f(A,B)=0,1 f(AS,BS);目 录23现在学习的是第23页，共55页定理定理2.2.3(二元扩展原理)设 f:F(U1)F(U2)F(V)为二元模糊映射,则(A,B)F(U1)F(U2),有f(A,B)=0,1 f(H1(),H2()其中Hi()(i=1,2)满足条件AS H1()A,BS H2()B24现在学习的是第24页，共55页定理定理2.2.4 设f:F(U1)F(U2)F(V)为由f:U1U2V诱导的模糊映射,0,1 则 (1)f(A,B)S=f(AS,BS);(2)f(A,B)=f(A,B),当且仅当vV,(u1,
14、u2)f-1(v),s.t.f(A,B)(v)=A(u1)B(u2).25现在学习的是第25页，共55页2.2.2 实数论域上模糊集的二元运算实数论域上模糊集的二元运算 下面我们利用二元扩展原理构成实数论域上模糊集合的加,减,乘,除,取大和取小六种二元运算.为此,设L=,为算子集,为 L的任一算符,则 可视为二元映射 :RR R (x,y)x y 根据二元扩展原理,可将算符 扩展到 F(R)中去,即定义定义2.2.3 设:F(R)F(R)F(R)为由:RR R诱导的二元模糊运算,A,BF(R),则A B=0,1 (A B)其中A B=x y xA,y B,特别地目 录26现在学习的是第26页，
15、共55页(1)AB=0,1(AB),其隶属函数为z R,2)A-B=0,1(A-B),其隶属函数为z R,27现在学习的是第27页，共55页(3)AB=0,1(AB),其隶属函数为z R,(4)AB=0,1(AB),其隶属函数为z R,(其中BF(/R)-0)目 录28现在学习的是第28页，共55页(5)AB=0,1(AB),其隶属函数为z R,(6)AB=0,1(AB),其隶属函数为z R,目 录29现在学习的是第29页，共55页例例 2.2.1 设U=0,1,4,A,BF(U),且A=(0.4,0.2,1,0,0),B=(0,0.3,0.5,0.7,0),求(A+B)(2),(A-B)(2
16、),(AB)(2),(AB)(2),(AB)(2),(AB)(2).解解:(A+B)(2)=x+y=2(A(x)B(y)=(A(0)B(2)(A(1)B(1)(A(2)B(0)=(0.40.5)(0.20.3)(10)=0.40.20=0.4 (A-B)(2)=x-y=2(A(x)B(y)=(A(2)B(0)(A(3)B(1)(A(4)B(2)=(10)(00.3)(00.5)=0 (AB)(2)=xy=2(A(x)B(y)=(A(1)B(2)(A(2)B(1)=(0.20.5)(10.3)=0.20.3=0.330现在学习的是第30页，共55页 (AB)(2)=xy=2(A(x)B(y)=(
17、A(2)B(1)(A(4)B(2)=(10.2)(00.5)=0.2 (AB)(2)=xy=2(A(x)B(y)=(A(0)B(2)(A(1)B(2)(A(2)B(2)(A(2)B(1)(A(2)B(0)=(0.40.5)(0.20.5)(10.5)(10.3)(10)=0.40.20.50.30=0.5 (AB)(2)=xy=2(A(x)B(y)=(A(2)B(2)(A(2)B(3)(A(2)B(4)(A(3)B(2)(A(4)B(2)=(10.5)(10.7)(10)(00.5)(00.5)=0.7可以计算出 (A+B)=(0,0.3,0.4,0.4,0.5).注注:一般说来,A-A=不一
18、定成立,A+A=2A也不一定成立.由此可见,模糊集合的四则运算与实数的四则运算有着本质的区别(参见书中P37例2.2.2).目 录31现在学习的是第31页，共55页2.3 模糊数及其运算模糊数及其运算2.3.1 凸模糊集及其性质凸模糊集及其性质 定义定义2.3.1 设R为实数集,AF(R),如果对R中满足xyz的任意实数x,y和z都有A(y)min(A(x),A(z)则称A为R上的凸模糊集凸模糊集.目 录32现在学习的是第32页，共55页 例如例如:正态模糊集AF(R),是R上的凸模糊集,其隶属函数曲线如图2.3.1所示,而由图2.3.2所确定的模糊集是非凸的.33现在学习的是第33页，共55
19、页 性质性质2.3.1 AF(R)为凸模糊集当且仅当 0,1,A为区间.证明:必要性:设A为凸模糊集,0,1,x,z A且xz,则y x,z,有A(y)min(A(x),A(z),故yA.这说明若两点在A中,则以这两点为端点的整个区间包含在A中.因此,A是一个区间.充分性:设 0,1,A为区间,对任意实数xyz,取=min(A(x),A(z),则xA且zA.因为A为区间,故yA,即A(y)=min(A(x),A(z)于是,由定义2.3.1 知为凸模糊集.34现在学习的是第34页，共55页 性质性质2.3.2 若A,BF(R)均为凸模糊集,则AB也是凸模糊集.证明:由定理1.4.2(2)知,0,
20、1,(AB)=AB.因为A,B均为凸模糊集,所以由性质2.3.1知A和B均为区间.而区间的交仍为区间,故(AB)为区间.于是由性质2.3.1知AB为凸模糊集.目 录35现在学习的是第35页，共55页2.3.2 凸模糊集表现定理凸模糊集表现定理 定义定义2.3.2 若映射I:0,1 P(R)满足 (i)01 2 1 I(2)I(1);(ii)0,1,I()为R的子区间;.则称I为R的区间套区间套.记I(R)为R的全体区间套之集.显然,区间套必为集合套,故I(R)u u(R).目 录36现在学习的是第36页，共55页 定理定理2.3.1(凸模糊集表现定理)设II(R),=0,1 I(),则 (1)
21、A=0,1 I()为凸模糊集;(2)xR,A(x)=0,x I().37现在学习的是第37页，共55页2.3.3 模糊数及其性质模糊数及其性质 定义定义2.3.3 设AF(R),若(0,1,A为R中有限闭区间,则称A为R上的一个模糊数模糊数;若A为模糊数,且A1=kerA=a,则称A是关于a的严格模糊数严格模糊数.记R-为R上的全体有限闭区间(称为区间数)所成之集,而记R为R上的全体模糊数所成之集.显然,如果我们把实数a与单点集a等同看待,则实数 区间数 模糊数 凸模糊集即RR-Rc(R)(这里c(R)表示R上的全体凸模糊集所成之集).目 录38现在学习的是第38页，共55页 下面给出两个判别
22、凸模糊集成为模糊数的充分必要条件.定理定理2.3.2 AF(R)为模糊数 iff 存在a,b ,使得 (1)在a,b上,A(x)1;(2)在(-,a)中,A(x)为右连续的增函数,且 0 A(x)1;(3)在(b,+)中,A(x)为左连续的减函数,且 0 A(x)0,d0)(5)a,b c,d=a c,b d (6)a,b c,d=a c,b d 43现在学习的是第43页，共55页例例2.3.1 设 a,b=2,2,c,d=1,4,则 2,2+1,4=2+1,2+4=1,6,2,2 1,4=24,21=6,1,2,2 1,4=8,8,其中 p=min2,8,2,8,q=max 2,8,2,8,
23、2,2 1,4=2/4,2/1=1/2,2,2,2 1,4=21,24=1,4,2,2 1,4=21,2 4=2,2.44现在学习的是第44页，共55页 注意注意:对于区间数的除法运算,若0 c,d,则 a,b c,d 不一定是一个区间数,如 -1,1 -1,1 =-1,1-1,0 -1,10,1 =(-,-1-1,+)=(-,+)不是有限闭区间,故不是区间数.目 录45现在学习的是第45页，共55页(ii)模糊数的运算法则 定义定义2.3.5 设 p,qR,L=,则根据分解定理可定义模糊数的运算为 (1)p q=0,1 (p q)其隶属函数为(p q)(z)=xy=z p(x)q(y)其中x
24、,y,zR (2)设 k为非负实数,则r R,k与r的乘积为k r=0,1 (k r)其隶属函数为(k r)(x)=k y=x r(y)x,yR46现在学习的是第46页，共55页 例例2.3.2 设 T(a,),T(a1,1),和T(a2,2)均为 三角模糊数,k 0,求T(a1,1)+T(a2,2),kT(a,).目 录48现在学习的是第48页，共55页 解解:因为 0,1,有 T(a,)=a(1),a+(1).所以由定义2.3.5知 (1)T(a1,1)+T(a2,2)=0,1 T(a1,1)+T(a2,2)=0,1 a11(1),a1+1(1)+a2 2(1),a2+2(1)=0,1 a
25、1+a2(1+2)(1),a1+a2+(1+2)(1)=T(a1+a2,1+2).(2)kT(a,)=0,1 k a(1),a+(1)=0,1 kak(1),ka+k(1)=T(ka,k)49现在学习的是第49页，共55页 定理定理2.3.5 设k0,p,q,rR,则L=,p*q R,k*r R.这说明模糊数关于“,”这六种运算和数乘运算都是封闭的.证明证明:因为(0,1,p,q和r都是区间数,故有区间数的运算知 p*q R-,k*r R-,从而由模糊数的表现定理知,p*q R,k*r R.50现在学习的是第50页，共55页2.3.6 模糊数运算性质 (i)模糊数的截集运算性质 首先介绍一些将
26、在证明模糊数的截集运算性质需用到的概念 定义定义2.3.6 设AF(U),记 则称 和 分别为模糊集A的 高高 和 底底.(1)若u,vU,s.t.A(u)=1,A(v)=0 则称A为正则模糊集正则模糊集;(2)若 ,则称A为拟正则模糊集拟正则模糊集;(3)若u0U,s.t.A(u0)=,则称 是可达的可达的 定理定理2.3.6 设AF(R),若 0,1,A为R中的有限闭区间或空集,则 是可达的.证明:记 ,则由数学分析中的确界定理知 xnR,nN 使 ,且A(xn)|nN是严格递增数列,令A(xn)=n,则由定理1.4.4得由n 0,(0,1,则 (1)(p+q)=p+q;(2)(pq)=p
27、 q;(3)(pq)=pq;(4)(pq)=p q;(5)(pq)=pq;(6)(pq)=pq;(7)(kp)=kp;目 录52现在学习的是第52页，共55页 证明证明:(1)根据定理2.2.4(2),欲证结论(1)成立,只需证zR,x0R,s.t.(p+q)(z)=p(x0)q(zx0)即可.事实上,由模糊数的加法运算知 (p+q)(z)=x+y=zp(x)q(y)=xR p(x)q(z-x)令r(x)=q(z-x),则(0,1,由定理1.4.2知 (pr)=pr.由于p和r都是有限闭区间,故(pr)为有限闭区间或空集,从而由定理2.3.6知 x0R使p(x0)q(zx0)=xR p(x)q
28、(z-x)于是得证zR,x0R,s.t.(p+q)(z)=p(x0)q(zx0).同理可证(2)(7).53现在学习的是第53页，共55页(ii)模糊数的代数运算性质 定理定理 2.3.7 设p,q,rR,k,k1,k2 0,则 (1)交换律:p+q=q+p,pq=qp;(2)结合律:(p+q)+r=p+(q+r),(pq)r=p(qr);(3)数乘与加法分配律:k(p+q)=kp+kq ,(k1+k2)p=k1p+k2p;(4)p(q+r)pq+pr,但反之一般不成立,这说明模糊数的运算一般不满足分配律.目 录54现在学习的是第54页，共55页 例如例如:设p=0,1,q=-1,1,r=1,2R,则 p(q+r)=0,3,pq+pr=-1,3,故 p(q+r)pq+pr.55现在学习的是第55页，共55页