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1、关于幅角原理及其应用第1页，讲稿共13张，创作于星期六2 留数和留数定理一、对数留数二、幅角原理三、儒歇定理第2页，讲稿共13张，创作于星期六3 留数和留数定理 定义：如果函数定义：如果函数 f f 在区域在区域D D内除去极点内除去极点外外处处解析，则称处处解析，则称f f 为区域为区域D D内的内的亚纯函数亚纯函数。有理函数在整个平面上都是亚纯函数有理函数在整个平面上都是亚纯函数 若若f 在闭周线在闭周线C内是亚纯的，在内是亚纯的，在C上解析且不取上解析且不取零点，则零点，则 f 在在C内至多有内至多有有限有限个极点。个极点。第3页，讲稿共13张，创作于星期六4一一、对数留数对数留数证明证
2、明由此，由此，第4页，讲稿共13张，创作于星期六5证明证明由此，第5页，讲稿共13张，创作于星期六6考察积分考察积分计算函数的零点或极点的个数时，通常包含重数。计算函数的零点或极点的个数时，通常包含重数。第6页，讲稿共13张，创作于星期六7定理定理1另一方面另一方面第7页，讲稿共13张，创作于星期六8定理定理2二、幅角原理二、幅角原理解解第8页，讲稿共13张，创作于星期六9例例3 证明：在虚轴上没有零点的证明：在虚轴上没有零点的n次多项式次多项式第9页，讲稿共13张，创作于星期六10第10页，讲稿共13张，创作于星期六11三、儒歇（三、儒歇（Rouch）定理）定理第11页，讲稿共13张，创作于星期六12 儒歇定理儒歇定理注注：儒歇定理的儒歇定理的 典型用途之一是将一个复杂的解析函数典型用途之一是将一个复杂的解析函数g同零点已知同零点已知的解析函数比较，推出关于零点的一些信息的解析函数比较，推出关于零点的一些信息。例例4 证明多项式证明多项式 的全部的全部4个零点都位个零点都位于于 内。内。例例5 证明证明:满足条件满足条件的多项式的多项式 第12页，讲稿共13张，创作于星期六感谢大家观看第13页，讲稿共13张，创作于星期六