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1、高数例题课件第七章微分方程第1页，此课件共102页哦二、微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。三、阶微分方程的一般形式 ，其中个变量的函数，并且 必须出现，而 等变量则可以不出现。第2页，此课件共102页哦 例1列车在平直路上以20m/s的速 度行驶，当制动时列车获得加速度 ，问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？第3页，此课件共102页哦四、微分方程的解、通解、初始条件、特解 1、微分方程的解：设有微分方程 ,且函数 在区间 上有 阶连续导数,如果在区间 上，,那么函数 就叫做微分方程 在区间 上的解。第4页，此课件共1
2、02页哦2、微分方程的通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的的阶数相同（这里所说的任意常数是相互独立的，就是说，它们不能合并而使得任意常数的个数减少），这样的解叫做微分方程的通解。第5页，此课件共102页哦3、微分方程的初始条件 用来确定微分方程通解中任意常数的条件 叫做微分方程的初始条件。4、微分方程的特解 确定了通解中任意常数以后得到的解叫做微分方程的特解（满足初始条件的解）第6页，此课件共102页哦例2验证函数是微分方程 的通解,并求满足初始条件 的特解。第7页，此课件共102页哦五、微分方程的积分曲线 微分方程的解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线，通
3、解代表一族曲线。第8页，此课件共102页哦7-2可分离变量的微分方程一、定义：如果一个一阶微分方程能写成 的形式,就是说,能把微分方程写成一端只含 的函数和 ,另一端只含 的函数和 ,那么原方程就称为可分离变量的微分方程。第9页，此课件共102页哦例1求微分方程 的通解。第10页，此课件共102页哦三、注意的问题(1)在求形如 类积分时,按照积分基本公式应有 ,但如果整理后的正负号可含于任意常数C中,在求积分 时,为了简化运算,常写成 。第11页，此课件共102页哦例2求微分方程 第12页，此课件共102页哦2、通解不是微分方程的全部解。第13页，此课件共102页哦例3解微分方程 第14页，此
4、课件共102页哦3、有些方程需经变量替换或变形后，再进行变量分离。第15页，此课件共102页哦例4解微分方程 第16页，此课件共102页哦例5解微分方程 第17页，此课件共102页哦例6解微分方程第18页，此课件共102页哦例7放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素,铀的含量就不断减少，这种现象叫衰变，由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比，已知t=0时铀的含量为 ，求在衰变过程中铀含量 随时间 t 变化的规律。第19页，此课件共102页哦例8设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开跳伞塔时（t=0）速度为零，求降落伞下落速度与时
5、间的函数关系。第20页，此课件共102页哦例9解方程第21页，此课件共102页哦7-3 齐次方程一、定义：如果一阶微分方程可化成 的形式，那么就称这方程为齐次方程。第22页，此课件共102页哦例1解方程第23页，此课件共102页哦例2探照灯的聚光镜的镜面是一张旋转曲面,它的形状由 坐标面上的 一条曲线 绕 轴旋转而成,按聚光镜性能的要求,在其旋转轴(轴)上一点 发出的一切光线,经它反射后都与旋转轴平行,求曲线 的方程。第24页，此课件共102页哦例2有旋转曲面形状的凹镜，假设由旋转轴上一点 发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行，求这旋转曲面的方程。第25页，此课件共102页哦7-4 一阶
6、线性微分方程一、线性方程（一）定义：方程叫做一阶线性微分方程(都是一次的)当 时,称为齐次的一阶线性微分方程。第26页，此课件共102页哦 当 时,称方程为非齐次的一阶线性微分方程,并把称为与非齐次线性微分方程 对应的齐次线性微分方程。第27页，此课件共102页哦(二)解法1、常数变易法（求 的解）(1)求与方程对应的齐次方程 的通解。(2)将对应的齐次方程的通解中的常数C换成 的未知函数 ，,并把它们作为 的解，求出 .第28页，此课件共102页哦从而得通解 因此得出结论:一阶非奇次线性微分方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和.第29页，此课件共102页哦 例1求方程
7、 的通解。第30页，此课件共102页哦例2解方程第31页，此课件共102页哦 2、公式法：第32页，此课件共102页哦例3设有微分方程 ,其中 ,试求在 内的连续函数 ,使之在 和 内都满足所给方程,且满足条 件 。第33页，此课件共102页哦例4设 是微分方程 的一个解，求此微分方程满足条件 的特解。第34页，此课件共102页哦(三)注意的问题1、有时微分方程不能化成 的形式，但可化成 的形式，此时可把 看作函数（因变量），按公式法求解。第35页，此课件共102页哦例5解方程第36页，此课件共102页哦2、有些微分方程不是一阶微分方程,可以通过变量替换将其化成一阶微分方程。第37页，此课件共
8、102页哦例6解第38页，此课件共102页哦二、伯努利方程（一）定义：方程叫做伯努利方程。第39页，此课件共102页哦(二)解法:通过变量代换,把它化成一阶线性微分方程1、两边同乘以2、令第40页，此课件共102页哦例6求方程 的通解。第41页，此课件共102页哦例7解微分方程 第42页，此课件共102页哦一、定义：形如的方程，如果它的左端恰好是某一函数 的全微分那么该方程就叫做全微分方程。7-5 全微分方程第43页，此课件共102页哦二、全微分方程的判别 设有方程 函数 在单连通城 内具有一阶连续偏导数，则在G内方程（1）是全微分方程的充要条件是 。第44页，此课件共102页哦例1求解第45
9、页，此课件共102页哦四、可化为全微分方程的微分方程的解法（一）积分因子：若 ，则方程 不是全微分方程，但若存在函数使 ，即为全微分方程，则 称为 微分方程的积分因子。第46页，此课件共102页哦(三)积分因子的寻找 必须熟记一些微分公式：第47页，此课件共102页哦第48页，此课件共102页哦第49页，此课件共102页哦第50页，此课件共102页哦例2求微分方程的解。第51页，此课件共102页哦例3解微分方程第52页，此课件共102页哦例4设函数 在 上连 续，且满足方程 求 。第53页，此课件共102页哦例5设于半空间 内任意的光滑有向封闭曲面S，都有 其中函数 在 内具有 连续的一阶导数
10、，且 ，求 。第54页，此课件共102页哦7-5 可降阶的高阶微分方程一、定义：二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程。二、几种易降阶的高阶微分方程的解法(一)型的微分方程特点：方程的左端是函数 的 阶导,右端是仅含有自变量 的函数。第55页，此课件共102页哦 解法：两边积分,每积分一次,微分方程的阶就降一阶,直到求出 为止。积分 次，即得微分方程的通解。第56页，此课件共102页哦例1求微分方程 的通解。第57页，此课件共102页哦例2质量为m的质点受力F的作用沿 轴作直线运动,设力 在开始时刻t=0时 随着时间t的增大,此力F均匀地减小,直到t=T时，如果开始时质点位于原点，且初速度为
11、零，求这质点的运动规律。第58页，此课件共102页哦(二)型的微分方程特点：方程的右端不显含 未知函数 。第59页，此课件共102页哦例3求微分方程 满足初始条件 的特解。第60页，此课件共102页哦(三)型的微分方程特点：右端不显含自变量第61页，此课件共102页哦例4求微分方程 的通解。第62页，此课件共102页哦例5求微分方程 ，的解。第63页，此课件共102页哦例6求微分方程 满 足初始条件 的特解。第64页，此课件共102页哦一、定义：形如这样的微分方程叫做高阶线性微分方程。我们把方程叫做与方程（1）对应的齐次方程。7-6高阶线性微分方程第65页，此课件共102页哦二、线性微分方程的
12、解的结构（一）定理1：如果函数是方程 的两个解，那么 也是该方程的解，其中 是任意常数。第66页，此课件共102页哦（二）线性相关与线性无关1、定义：设 为定义在区间 个函数，如果存在 个不全为零的常数 ，使得当 时，有恒等式 成立，那么称这 个函数在区间 上线性相关，否则称线性无关。第67页，此课件共102页哦例1判别下列函数组在给定区间 上的线性相关性：（1）三个函数在区间 上。（2）三个函数在区间 上。第68页，此课件共102页哦2、注意：(1)对于两个函数 ，若其中一个函数为常数0，则这两个函数必线性相关。(2)对于两个非零函数 来说，线性相关的充要条件是它们的比值为常数。第69页，此
13、课件共102页哦(三)定理2：1、定理：如果 是方程 的两个线性无关的特解，那么(是任意常数)就是该方程的通解.第70页，此课件共102页哦例2验证 （是任意常数）是方程 的通解。第71页，此课件共102页哦2、推论：如果是 阶齐次线性方程 的 个线性无关的解，那么此方程的通解为其中 为任意常数。第72页，此课件共102页哦（四）定理3：设 是二阶非齐次线性方程的一个特解，是与（1）对应的齐次方程 的通解，那么 是二阶非齐次线性微分方程（1）的通解。第73页，此课件共102页哦例3.设 有一特 解 ，对应齐次方程有一特解 ，试求：(1)的表达式。(2)此方程的通解。第74页，此课件共102页哦
14、(五)定理4：设非齐次线性方程 的右端 是两个函数之和，即 而 分别是方程 与 的特解那么 就是原方程的特解第75页，此课件共102页哦一、二阶常系数齐次线性阶微分方程（）定义：形如 （其中 是常数）的方程叫做二阶常系数齐次线性微分方程，如果 不全为常数，则该方程叫做二阶变系数齐次线性微分方程。7-7常系数齐次线性阶微分方程第76页，此课件共102页哦(二)微分方程的特征方程及特征根：把代数方程 叫做微分方程 的特征方程,而把特征方程的根叫做微分方程的特征根。第77页，此课件共102页哦(三)二阶常系数齐次线性微分方程通解的求法1、是微分方程的解的充要条件是 是微分方程 的特征方程 的特征根2
15、、通解的求法(1)若特征方程有两个不相同的实根 ，则微分方程的通解为 。第78页，此课件共102页哦例1求微分方程 的通解。第79页，此课件共102页哦（2）若特征方程有两个相同的实根 ，则微分方程的通解为第80页，此课件共102页哦例2求方程满足初始条件 的特解。第81页，此课件共102页哦（3）若特征方程有一对共轭复根 ，则微分方程的通解为第82页，此课件共102页哦例3求微分方程 的通解。第83页，此课件共102页哦二、阶常系数齐次线性微分方程（一）一般形式：其中 都是常数。（二）特征方程，特征根把叫做微分方程（1）的特征方程，微分方程的特征方程的根叫特征根。第84页，此课件共102页哦
16、（三）微分方程的通解和特征方程的根的关系1、若特征方程有单实根 ，则通解中含有对应项 2、若特征方程有一对单复根 则通解中含有对应两项3、若特征方程有k重实根 ，则通解中含有对应k项第85页，此课件共102页哦4、若特征方程有一对k重复根 ，则通解中含有对应2k项把所有可能的对应项加到一起，即为微分方程的通解。第86页，此课件共102页哦例4求方程 的通解。第87页，此课件共102页哦例5求方程 的通解（其中 ）。第88页，此课件共102页哦例6具有特解 的3阶常系数齐次线性微分方程 是（）（A）（B）（C）（D）第89页，此课件共102页哦例7已知 是某二阶常系数非齐次线性微分方程 的三个解
17、，求此微分方程。第90页，此课件共102页哦例8设函数 具有二阶连续导数，而 满足方程 ，求 第91页，此课件共102页哦7-8 常系数非齐次线性阶微分方程一、二阶常系数非齐次线性微分方程(一)通解的结构：的通解 等于它所对应的齐次方程 的通解 和 的一个特解之和,即 .第92页，此课件共102页哦(二)两种常见形式特解的求法（待定系数法）1、,其中 是常数,的一个m次多项式第93页，此课件共102页哦 则二阶常系数非齐次线性微分方程具有形如 的特解，其中 是与 同次 的多项式，而k按 不是特征方程的根，是特征方程的单根，或是特征方程的重根，依次取0,1或2。第94页，此课件共102页哦例1求
18、微分方程 的一个特解。第95页，此课件共102页哦例2求微分方程 的通解。第96页，此课件共102页哦（二）其中 是常数，分别是 次，次多项式，其中有一个可为零。则 阶常系数非齐次线性微分方程具有形如的特解，第97页，此课件共102页哦其中 是 m 次多项式，而 k 按 不是特征方程的根，或是特征方程的单根依次取0或1。第98页，此课件共102页哦例3求微分方程 的一个特解。第99页，此课件共102页哦二、n阶常系数非齐次线性微分方程特解的求法设有微分方程（一）若 ，则方程具有形如 的特解，其中 是与 同次的多项式，K是特征方程含根 的重复次数（即若 不是特征方程的根，则 ，若 是特征方程的S重根，则 k取为S）第100页，此课件共102页哦（二）若方程具有形如的特解，其中 是次多项式 是特征方程含根 的重复次数。第101页，此课件共102页哦例4求下列微分方程的通解 （1）（2）第102页，此课件共102页哦