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1、无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布关于应用之动力学与振动第1页，讲稿共37张，创作于星期六上一页目录下一页返回2 2F教学目标教学目标介介绍绍Matlab在在动动力力学学与与振振动动中中的的应应用用，分分别别用用于于轨轨迹迹，单单自自由由度度和和多多自自由由度度线线性性与与非非线线性性系系统统的的自由振动和强迫振动的分析。自由振动和强迫振动的分析。F学习要求学习要求 能够运用能够运用Matlab基本原理，对物体的运动轨迹和单自基本原理，对物体的运动轨迹和单自由度系统进行简单的动力学分析。由度系统进行简单的动力学分析。第2页，讲稿共37张，创作于星期六上一页目录下一页返回3 3目录目录6.1
2、轨迹轨迹6.2 单自由度系统单自由度系统6.3 多自由度系统多自由度系统习题习题第3页，讲稿共37张，创作于星期六上一页目录下一页返回4 46.1 轨迹轨迹举例说明举例说明:重力场中有两个物体重力场中有两个物体,其中质量为其中质量为m2的物体固定的物体固定,而质量为而质量为m1的物体绕的物体绕m2做平面圆周运动做平面圆周运动.做圆周运动的做圆周运动的m1物体的轨道半径用物体的轨道半径用变量变量r表示表示,角度用变量角度用变量a表示表示.m2m1ar第4页，讲稿共37张，创作于星期六上一页目录下一页返回5 56.1 轨迹轨迹例例6.1：卫星绕地球转动时，：卫星绕地球转动时，m2等于地球的质量，等
3、于地球的质量，m1等于卫星的等于卫星的质量，质量，r为卫星球心与地球球心间的距离。其运动轨迹由下列方程为卫星球心与地球球心间的距离。其运动轨迹由下列方程组决定：组决定：式中：式中：，其中，其中t是时间变量，是时间变量，p为物体在地球表面做圆周运为物体在地球表面做圆周运动的周期。在地球表面，动的周期。在地球表面，r=6.373x106 m。第5页，讲稿共37张，创作于星期六上一页目录下一页返回6 66.1 轨迹轨迹用龙格用龙格库塔法可以实现求解：库塔法可以实现求解：引入新状态变量：引入新状态变量：第6页，讲稿共37张，创作于星期六上一页目录下一页返回7 7建立函数文件建立函数文件Orbit.mf
4、unction xd=Orbit(t,x)xd=x(2)x(1)*x(4)2-4.0*pi2/x(1)2 x(4)-2.0*x(2)*x(4)/x(1);6.1 6.1 轨迹轨迹组X1初始X2初始X3初始X4初始轨迹类型12001.5椭圆21002pi圆32004双曲线三组初始条件三组初始条件(t=0)：第7页，讲稿共37张，创作于星期六上一页目录下一页返回8 8由初始条件建立执行文件由初始条件建立执行文件execute_61.minitcond=2 0 0 1.5;1 0 0 2*pi;2 0 0 4;tspan=linspace(0,5,1000);options=odeset(RelTo
5、l,1e-6,AbsTol,1e-6 1e-6 1e-6 1e-6);lintype=k-b-.r-;for i=1:3 t,x=ode45(Orbit,tspan,initcond(i,:),options);polar(x(:,3),x(:,1),lintype(2*(i-1)+1:2*i);hold onendtext(0.5,-1.2,椭圆轨迹椭圆轨迹);text(-1.2,1,圆轨迹圆轨迹);text(1.75,2,双曲线轨迹双曲线轨迹);6.1 6.1 轨迹轨迹常微分方程的常微分方程的数值求解函数数值求解函数第8页，讲稿共37张，创作于星期六上一页目录下一页返回9 9程程序序运运行
6、行结结果果6.1 6.1 轨迹轨迹第9页，讲稿共37张，创作于星期六上一页目录下一页返回10106.2 6.2 单自由度系统单自由度系统6.2.1 6.2.1 概述概述一一.力学模型力学模型mcK，aX（t）F（t）=X（0）kf（t）弹簧弹簧质量质量阻尼系统阻尼系统其中：振体质量为其中：振体质量为m，弹簧的线性系数为，弹簧的线性系数为k，非线性系数为，非线性系数为a，阻尼系数，阻尼系数为为c，外力，外力F（t）。）。第10页，讲稿共37张，创作于星期六上一页目录下一页返回11116.2 6.2 单自由度系统单自由度系统二二.运动微分方程运动微分方程用用x表示系统的位移，则运动微分方程为：表示
7、系统的位移，则运动微分方程为：式中：式中：固有频率固有频率:非线性系数非线性系数:阻尼因子阻尼因子:第11页，讲稿共37张，创作于星期六上一页目录下一页返回12126.2 6.2 单自由度系统单自由度系统引入新变量转化状态空间方程形式：引入新变量转化状态空间方程形式：第12页，讲稿共37张，创作于星期六上一页目录下一页返回13136.2 6.2 单自由度系统单自由度系统6.2.2 6.2.2 线性系统的自由振动线性系统的自由振动一一.运动微分方程运动微分方程当当 时，得到线性振动系统的自由振动方程。时，得到线性振动系统的自由振动方程。第13页，讲稿共37张，创作于星期六上一页目录下一页返回14
8、146.2 6.2 单自由度系统单自由度系统二二.MATLAB求解求解编写方程对应的函数文件编写方程对应的函数文件FreeOscillation.m0三种阻尼系数三种阻尼系数()（1）阻尼系数为）阻尼系数为0.1时是欠阻尼情况（时是欠阻尼情况（2）阻尼系）阻尼系数为数为1时是临界阻尼情况（时是临界阻尼情况（3）阻尼系数为）阻尼系数为5时是过阻尼情况时是过阻尼情况function xdot=FreeOscillation(t,x,zeta,Alpha)xdot=x(2);-2.0*zeta*x(2)-x(1)-Alpha*x(1)3;end第14页，讲稿共37张，创作于星期六上一页目录下一页返回
9、15156.2 6.2 单自由度系统单自由度系统由初始条件（位移和速度均为由初始条件（位移和速度均为1时时,）建立执行文件）建立执行文件(execute_62.m)zeta=0.1 1.0 5.0;Alpha=0.0,0.0,0.0;tspan=linspace(0,40,400);%生成生成0-40的四百个线性点的四百个线性点lintype=char(-k,-k,-.k);for i=1:3 t,x=ode45(FreeOscillation,tspan,1 1,zeta(i),Alpha(i);figure(1);plot(t,x(:,1),lintype(i,:);%x(:,1)为位移为
10、位移 hold on figure(2);plot(x(:,1),x(:,2),lintype(i,:);%x(:,2)为速度为速度 hold onend 第15页，讲稿共37张，创作于星期六上一页目录下一页返回16166.2 6.2 单自由度系统单自由度系统figure(1);xlabel(Time(tau);ylabel(Displacement x(tau);title(Displacement as a function of(tau);axis(0 40-1.5 1.5);plot(0,40,0,0,k-)legend(zeta=0.1,zeta=1.0,zeta=5.0)figur
11、e(2);xlabel(Displacement x(tau);ylabel(Velocity);title(Phase portrait);axis(-2.0 2.0-2.0 2.0);legend(zeta=0.1,zeta=1.0,zeta=5.0);续上：续上：第16页，讲稿共37张，创作于星期六上一页目录下一页返回17176.2 6.2 单自由度系统单自由度系统程序运行结果程序运行结果第17页，讲稿共37张，创作于星期六上一页目录下一页返回18186.2 6.2 单自由度系统单自由度系统6.2.3 非线性系统的自由振动非线性系统的自由振动1 1、运动微分方程、运动微分方程一一.非线性
12、弹簧系统非线性弹簧系统第18页，讲稿共37张，创作于星期六上一页目录下一页返回19196.2 6.2 单自由度系统单自由度系统2、Matlab求解求解编写常微分方程对应的函数文件编写常微分方程对应的函数文件FreeOscillation.mfunction xdot=FreeOscillation(t,x,zeta,Alpha)xdot=x(2);-2.0*zeta*x(2)-x(1)-Alpha*x(1)3;end与例与例6.26.2相同，只是改相同，只是改变了变了AlphaAlpha的值，可以的值，可以直接借用例直接借用例6.26.2的函的函数文件数文件第19页，讲稿共37张，创作于星期六
13、上一页目录下一页返回20206.2 6.2 单自由度系统单自由度系统由初始条件建立执行文件由初始条件建立执行文件(execute_63.m)程序如下程序如下zeta=0.2;Alpha=0.00,-0.25,-0.25;x0=-2.00,-2.00,-2.00;v0=2.00,2.00,2.31;tspan=linspace(0.0,30.0,401);lintyp=char(-k,-k,-.k);options=odeset(RelTol,1e-8,AbsTol,1e-8 1e-8);d=char(Linear:x_0=-2 v_0=2 alpha=0,.Nonlinear:x_0=-2 v
14、_0=2 alpha=-0.25,.Nonlinear:x_0=-2 v_0=2.31 alpha=-0.25);第20页，讲稿共37张，创作于星期六上一页目录下一页返回21216.2 6.2 单自由度系统单自由度系统for i=1:3 t,x=ode45(FreeOscillation,tspan,x0(i)v0(i),options,zeta,Alpha(i);figure(1)plot(t,x(:,1),lintyp(i,:);hold on figure(2)plot(x(:,1),x(:,2),lintyp(i,:);hold onend续上：续上：第21页，讲稿共37张，创作于星期
15、六上一页目录下一页返回22226.2 6.2 单自由度系统单自由度系统figure(1)xlabel(tau);ylabel(x(tau);axis(0.0,30.0,-3.0,3.0);legend(d(1,:),d(2,:),d(3,:);figure(2)xlabel(x(tau);ylabel(dx/dtau);axis(-2.0,3.0,-2.0,3.0);legend(d(1,:),d(2,:),d(3,:);续上：续上：第22页，讲稿共37张，创作于星期六上一页目录下一页返回23236.2 6.2 单自由度系统单自由度系统程序运行结果程序运行结果第23页，讲稿共37张，创作于星期
16、六上一页目录下一页返回24246.2 6.2 单自由度系统单自由度系统二、非线性阻尼系统二、非线性阻尼系统1 1、运动微分方程、运动微分方程式中，常量式中，常量 为摩擦系数，为摩擦系数，为物体的重为物体的重量，量，k为线性弹簧的系数。干摩擦力是速度的分段函数，用为线性弹簧的系数。干摩擦力是速度的分段函数，用signum表示。速度为正时，表示。速度为正时，signum取取+1，速度为负时，速度为负时，signum取取-1.如果弹簧的弹性力不能克服干摩擦力，系统将如果弹簧的弹性力不能克服干摩擦力，系统将停止振动。即当停止振动。即当第24页，讲稿共37张，创作于星期六上一页目录下一页返回25256.
17、2 6.2 单自由度系统单自由度系统引入新变量将方程转化一阶方程形式：引入新变量将方程转化一阶方程形式：两边同时求导两边同时求导两边同时求导两边同时求导第25页，讲稿共37张，创作于星期六上一页目录下一页返回26266.2 6.2 单自由度系统单自由度系统function xdot=FrictionOscillation(t,x,d)%非线性阻尼系统非线性阻尼系统ode文件文件if abs(x(1)=d&x(2)=0.0;xdot=0;0;else xdot=x(2);-d*sign(x(2)-x(1);end2、Matlab求解求解编写常微分方程对应的函数文件编写常微分方程对应的函数文件Fr
18、ictionOscillation.m第26页，讲稿共37张，创作于星期六上一页目录下一页返回27276.2 6.2 单自由度系统单自由度系统由初始条件由初始条件(d=0.86,初始条件初始条件a（3.0，0.0），），b（5.0，0.0）)建立执行文建立执行文件件(execute_64.m)，求数值解，求数值解d=0.86;x0=3.0,5.0;v0=0.0,0.0;tspan=linspace(0,12,120);options=odeset(AbsTol,1e-3,1e-3);lintyp=char(-k,-k);for i=1:2;t,x=ode45(FrictionOscillati
19、on,tspan,x0(i),v0(i),options,d);figure(1);plot(t,x(:,1),lintyp(i,:);hold on figure(2)plot(x(:,1),x(:,2),lintyp(i,:);hold onend第27页，讲稿共37张，创作于星期六上一页目录下一页返回28286.2 6.2 单自由度系统单自由度系统figure(1)xlabel(tau);ylabel(x(tau);axis(0.0,12.0,-4.0,6.0);plot(0,12,0,0,k-);legend(x_0=3.0,v_0=0.0,x_0=5.0,v_0=0.0);figur
20、e(2)xlabel(x(tau);ylabel(dx/dtau);text(2.5,0.5,(3.0,0.0);text(4.5,0.5,(5.0,0.0);plot(-4,6,0,0,k-,0,0,-6,4,k-);axis(-4.0,6.0,-6.0,4.0);续上：续上：第28页，讲稿共37张，创作于星期六上一页目录下一页返回29296.2 6.2 单自由度系统单自由度系统程序运行结果程序运行结果第29页，讲稿共37张，创作于星期六上一页目录下一页返回30306.3 6.3 多自由度系统多自由度系统6.3.1 多自由系统的固有频率问题多自由系统的固有频率问题一、力学模型一、力学模型二、
21、运动微分方程二、运动微分方程第30页，讲稿共37张，创作于星期六上一页目录下一页返回3131三、三、Matlab求解求解例例6.5 三自由系统的振动模态及固有频率三自由系统的振动模态及固有频率设设k1=100N/m，k2=50N/m，m1=m2=m3=100kg。求特征值与特征向量的程序如下：求特征值与特征向量的程序如下：k=100,-100,0;-100,150,-50;0,-50,50m=diag(100,100,100)VibrationMode,EigenValue=eig(k,m)第31页，讲稿共37张，创作于星期六上一页目录下一页返回3232附录：附录：ode45ode45函数函数
22、如果系数矩阵如果系数矩阵A的特征值连乘积小于零，且绝对值最大的特征值连乘积小于零，且绝对值最大和最小的特征值之比（刚性比）很大，则称此类方程和最小的特征值之比（刚性比）很大，则称此类方程为为刚性方程刚性方程 ode是是Matlab专门用于解微分方程的功能函数。该求解器有变专门用于解微分方程的功能函数。该求解器有变步长（步长（variable-step）和定步长（）和定步长（fixed-step）两种类型。不同类型有着）两种类型。不同类型有着不同的求解器，其中不同的求解器，其中ode45求解器属于变步长的一种，采用求解器属于变步长的一种，采用Runge-Kutta算法；算法；ode45表示采用四
23、阶，五阶表示采用四阶，五阶Runge-Kutta单步算法单步算法,截断误截断误差为差为(x)3。解决的是。解决的是Nonstiff(非刚性非刚性)常微分方程常微分方程。第32页，讲稿共37张，创作于星期六上一页目录下一页返回3333附录：附录：ode45ode45函数函数1.T,Y=ode45(fun,TSPAN,Y0)2.T,Y=ode45(fun,TSPAN,Y0,options)3.T,Y=ode45(fun,TSPAN,Y0,options,P1,P2,)4.T,Y,TE,YE,IE=ode45(fun,TSPAN,Y0,options,P1,P2,)调用格式：调用格式：说明：说明：v
24、输出变量输出变量T为返回时间列向量；解矩阵为返回时间列向量；解矩阵Y的每一行对应于的每一行对应于T的一个元素，列数与求的一个元素，列数与求解变量数相等。解变量数相等。vfun为函数句柄，为根据待求解的为函数句柄，为根据待求解的ODE方程所编写的方程所编写的ode文件（文件（odefile）；）；vTSPANT0 TFINAL是微分系统是微分系统yF(t,y)的积分区间；的积分区间；Y0为初始条件为初始条件voptions用于设置一些可选的参数值，缺省时，相对于第一种调用格式。用于设置一些可选的参数值，缺省时，相对于第一种调用格式。P1，P2，的作用是传递附加参数的作用是传递附加参数P1，P2，
25、到到ode文件。当文件。当options缺省时，缺省时，应在相应位置保留应在相应位置保留，以便正确传递参数。以便正确传递参数。第33页，讲稿共37张，创作于星期六上一页目录下一页返回3434附录：附录：ode45ode45函数函数1.所谓的所谓的odefile实际上是一个实际上是一个Matlab函数文件，一般作为整个求解函数文件，一般作为整个求解程序的一个子函数，表示程序的一个子函数，表示ode求解问题求解问题2.ode文件的最简单格式必须有一个自变量文件的最简单格式必须有一个自变量t和函数和函数y作为输入变量，作为输入变量，一个一个y的导函数作为输出变量。的导函数作为输出变量。其中自变量其中
26、自变量t不论在不论在ode文件中是文件中是否使用都必须作为第一输入变量，否使用都必须作为第一输入变量，y则必须作为第二输入变量，则必须作为第二输入变量，位置不能颠倒。位置不能颠倒。3.可以向可以向ode文件中传递参数，数目不受限制文件中传递参数，数目不受限制odefile第34页，讲稿共37张，创作于星期六上一页目录下一页返回3535附录：附录：ode45ode45函数函数为了能够解出方程，要用指令为了能够解出方程，要用指令odeset确定求解的条件和要求。确定求解的条件和要求。在在MATLAB中，求解方程组的指令都有默认的求解的条件和要求中，求解方程组的指令都有默认的求解的条件和要求（由结构
27、数组（由结构数组options表示），但可以用表示），但可以用odeset修改或重新建立，修改或重新建立，odesetoptions=odeset(name1,value1,name2,value2,)options=odeset(oldopts,name1,value1,name2,value2,)options=odeset(oldopts,newopts)odeset语句格式如下：语句格式如下：第35页，讲稿共37张，创作于星期六上一页目录下一页返回3636附录：附录：ode45ode45函数函数 第一种调用格式是指定各个参数的取值，对不指定取值的参第一种调用格式是指定各个参数的取值，对
28、不指定取值的参数，取默认值。在不引起混淆的情况下，参数名可以只键入前数，取默认值。在不引起混淆的情况下，参数名可以只键入前面的几个字母，也不必区分大小写，如用面的几个字母，也不必区分大小写，如用“abst”表示表示AbsTol.但数值的输入必须格式正确，否则仍采用默认值。但数值的输入必须格式正确，否则仍采用默认值。第二种格式使用了原来的优化选项，但对其中的参数第二种格式使用了原来的优化选项，但对其中的参数1等指等指定了新值。定了新值。第三种格式合并了两个优化选项第三种格式合并了两个优化选项oldopts newopts，重复部分，重复部分取取newopts的指定值）：的指定值）：第四种格式可在屏幕上显示如下全部可设置的参数及其默认第四种格式可在屏幕上显示如下全部可设置的参数及其默认值。值。第36页，讲稿共37张，创作于星期六上一页目录下一页返回3737感谢大家观看第37页，讲稿共37张，创作于星期六