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1、关于应用之动力学与振动第一页，讲稿共三十七页哦2F教学目标教学目标介绍介绍Matlab在动力学与振动中的应用，分别用在动力学与振动中的应用，分别用于轨迹，单自由度和多自由度线性与非线性系统于轨迹，单自由度和多自由度线性与非线性系统的自由振动和强迫振动的分析。的自由振动和强迫振动的分析。F学习要求 能够运用Matlab基本原理，对物体的运动轨迹和单自由度系统进行简单的动力学分析。第二页，讲稿共三十七页哦3目录目录6.1 轨迹轨迹6.2 单自由度系统单自由度系统6.3 多自由度系统多自由度系统习题习题第三页，讲稿共三十七页哦46.1 轨迹轨迹举例说明举例说明:重力场中有两个物体重力场中有两个物体,
2、其中质量为其中质量为m2的物体固定的物体固定,而质量为而质量为m1的物体绕的物体绕m2做平面圆周运动做平面圆周运动.做圆周运动的做圆周运动的m1物体的轨道半径用变量物体的轨道半径用变量r表表示示,角度用变量角度用变量a表示表示.m2m1ar第四页，讲稿共三十七页哦56.1 轨迹轨迹例例6.1：卫星绕地球转动时，：卫星绕地球转动时，m2等于地球的质量，等于地球的质量，m1等于卫星的质量等于卫星的质量，r为卫星球心与地球球心间的距离。其运动轨迹由下列方程组决为卫星球心与地球球心间的距离。其运动轨迹由下列方程组决定：定：0242222222ddaddrdadrrddardrd式中：，其中t是时间变量
3、，p为物体在地球表面做圆周运动的周期。在地球表面，r=6.373x106 m。pt/第五页，讲稿共三十七页哦66.1 轨迹轨迹用龙格用龙格库塔法可以实现求解：库塔法可以实现求解：引入新状态变量：引入新状态变量：ddaxaxddrxrx432114244321224122124xxxddxxddxxxxddxxddx0242222222ddaddrdadrrddardrd第六页，讲稿共三十七页哦7建立函数文件建立函数文件Orbit.mfunction xd=Orbit(t,x)xd=x(2)x(1)*x(4)2-4.0*pi2/x(1)2 x(4)-2.0*x(2)*x(4)/x(1);1424
4、4321224122124xxxddxxddxxxxddxxddx6.1 轨迹轨迹组X1初始X2初始X3初始X4初始轨迹类型12001.5椭圆21002pi圆32004双曲线三组初始条件(t=0)：第七页，讲稿共三十七页哦8由初始条件建立执行文件由初始条件建立执行文件execute_61.minitcond=2 0 0 1.5;1 0 0 2*pi;2 0 0 4;tspan=linspace(0,5,1000);options=odeset(RelTol,1e-6,AbsTol,1e-6 1e-6 1e-6 1e-6);lintype=k-b-.r-;for i=1:3 t,x=ode45(
5、Orbit,tspan,initcond(i,:),options);polar(x(:,3),x(:,1),lintype(2*(i-1)+1:2*i);hold onendtext(0.5,-1.2,椭圆轨迹椭圆轨迹);text(-1.2,1,圆轨迹圆轨迹);text(1.75,2,双曲线轨迹双曲线轨迹);6.1 轨迹轨迹常微分方程的数值求解函数第八页，讲稿共三十七页哦9程序运行结果6.1 轨迹轨迹第九页，讲稿共三十七页哦106.2 单自由度系统单自由度系统6.2.1 概述概述一.力学模型mcK，aX（t）F（t）=X（0）kf（t）弹簧质量阻尼系统其中：振体质量为m，弹簧的线性系数为k，
6、非线性系数为a，阻尼系数为c，外力F（t）。第十页，讲稿共三十七页哦116.2 单自由度系统单自由度系统二二.运动微分方程运动微分方程)(20322fXxxddxdxd用x表示系统的位移，则运动微分方程为：式中：tn固有频率:非线性系数:阻尼因子:mkn2nmanmc2第十一页，讲稿共三十七页哦126.2 单自由度系统单自由度系统引入新变量转化状态空间方程形式：引入新变量转化状态空间方程形式：ddxxxx21)(20322fXxxddxdxd)(203112221 fXxxxddxxddx第十二页，讲稿共三十七页哦136.2 单自由度系统单自由度系统6.2.2 线性系统的自由振动线性系统的自由
7、振动一.运动微分方程当 时，得到线性振动系统的自由振动方程。0)(,0F0222xddxdxd 第十三页，讲稿共三十七页哦146.2 单自由度系统单自由度系统二二.MATLAB求解求解编写方程对应的函数文件FreeOscillation.m)(203112221 fXxxxddxxddx0三种阻尼系数()（1）阻尼系数为0.1时是欠阻尼情况（2）阻尼系数为1时是临界阻尼情况（3）阻尼系数为5时是过阻尼情况function xdot=FreeOscillation(t,x,zeta,Alpha)xdot=x(2);-2.0*zeta*x(2)-x(1)-Alpha*x(1)3;end第十四页，讲
8、稿共三十七页哦156.2 单自由度系统单自由度系统 由初始条件（位移和速度均为由初始条件（位移和速度均为1时时,）建立执行文件）建立执行文件(execute_62.m)zeta=0.1 1.0 5.0;Alpha=0.0,0.0,0.0;tspan=linspace(0,40,400);%生成0-40的四百个线性点lintype=char(-k,-k,-.k);for i=1:3 t,x=ode45(FreeOscillation,tspan,1 1,zeta(i),Alpha(i);figure(1);plot(t,x(:,1),lintype(i,:);%x(:,1)为位移 hold on
9、 figure(2);plot(x(:,1),x(:,2),lintype(i,:);%x(:,2)为速度 hold onend 040ddxxxx21第十五页，讲稿共三十七页哦166.2 单自由度系统单自由度系统figure(1);xlabel(Time(tau);ylabel(Displacement x(tau);title(Displacement as a function of(tau);axis(0 40-1.5 1.5);plot(0,40,0,0,k-)legend(zeta=0.1,zeta=1.0,zeta=5.0)figure(2);xlabel(Displacemen
10、t x(tau);ylabel(Velocity);title(Phase portrait);axis(-2.0 2.0-2.0 2.0);legend(zeta=0.1,zeta=1.0,zeta=5.0);续上：第十六页，讲稿共三十七页哦176.2 单自由度系统单自由度系统程序运行结果第十七页，讲稿共三十七页哦186.2 单自由度系统单自由度系统6.2.3 非线性系统的自由振动非线性系统的自由振动1、运动微分方程23220d xdxxxdd一.非线性弹簧系统第十八页，讲稿共三十七页哦196.2 单自由度系统单自由度系统2、Matlab求解求解编写常微分方程对应的函数文件FreeOscil
11、lation.mfunction xdot=FreeOscillation(t,x,zeta,Alpha)xdot=x(2);-2.0*zeta*x(2)-x(1)-Alpha*x(1)3;end23220d xdxxxdd与例6.2相同，只是改变了Alpha的值，可以直接借用例6.2的函数文件第十九页，讲稿共三十七页哦206.2 单自由度系统单自由度系统 由初始条件建立执行文件由初始条件建立执行文件(execute_63.m)程序如下zeta=0.2;Alpha=0.00,-0.25,-0.25;x0=-2.00,-2.00,-2.00;v0=2.00,2.00,2.31;tspan=lin
12、space(0.0,30.0,401);lintyp=char(-k,-k,-.k);options=odeset(RelTol,1e-8,AbsTol,1e-8 1e-8);d=char(Linear:x_0=-2 v_0=2 alpha=0,.Nonlinear:x_0=-2 v_0=2 alpha=-0.25,.Nonlinear:x_0=-2 v_0=2.31 alpha=-0.25);第二十页，讲稿共三十七页哦216.2 单自由度系统单自由度系统for i=1:3 t,x=ode45(FreeOscillation,tspan,x0(i)v0(i),options,zeta,Alph
13、a(i);figure(1)plot(t,x(:,1),lintyp(i,:);hold on figure(2)plot(x(:,1),x(:,2),lintyp(i,:);hold onend续上：第二十一页，讲稿共三十七页哦226.2 单自由度系统单自由度系统figure(1)xlabel(tau);ylabel(x(tau);axis(0.0,30.0,-3.0,3.0);legend(d(1,:),d(2,:),d(3,:);figure(2)xlabel(x(tau);ylabel(dx/dtau);axis(-2.0,3.0,-2.0,3.0);legend(d(1,:),d(2
14、,:),d(3,:);续上：第二十二页，讲稿共三十七页哦236.2 单自由度系统单自由度系统程序运行结果第二十三页，讲稿共三十七页哦246.2 单自由度系统单自由度系统二、非线性阻尼系统二、非线性阻尼系统1、运动微分方程22()0d xdxxd signumdd式中，常量 为摩擦系数，为物体的重量，k为线性弹簧的系数。干摩擦力是速度的分段函数，用signum表示。速度为正时，signum取+1，速度为负时，signum取-1.如果弹簧的弹性力不能克服干摩擦力，系统将停止振动。即当/dmg k，mg0=dxxdd，且第二十四页，讲稿共三十七页哦256.2 单自由度系统单自由度系统引入新变量将方程
15、转化一阶方程形式：引入新变量将方程转化一阶方程形式：ddxxxx2112212()dxxddxxdsignum xd 22()d xdxxdsignumdd 两边同时求导1dxdxdd两边同时求导222dxd xdd第二十五页，讲稿共三十七页哦266.2 单自由度系统单自由度系统function xdot=FrictionOscillation(t,x,d)%非线性阻尼系统非线性阻尼系统ode文件文件if abs(x(1)=d&x(2)=0.0;xdot=0;0;else xdot=x(2);-d*sign(x(2)-x(1);end2、Matlab求解求解编写常微分方程对应的函数文件Fric
16、tionOscillation.m12212()dxxddxxdsignum xd 0=dxxdd，且第二十六页，讲稿共三十七页哦276.2 单自由度系统单自由度系统 由初始条件由初始条件(d=0.86,初始条件初始条件a（3.0，0.0），），b（5.0，0.0）)建立执行文件建立执行文件(execute_64.m)，求数值解，求数值解d=0.86;x0=3.0,5.0;v0=0.0,0.0;tspan=linspace(0,12,120);options=odeset(AbsTol,1e-3,1e-3);lintyp=char(-k,-k);for i=1:2;t,x=ode45(Fric
17、tionOscillation,tspan,x0(i),v0(i),options,d);figure(1);plot(t,x(:,1),lintyp(i,:);hold on figure(2)plot(x(:,1),x(:,2),lintyp(i,:);hold onend第二十七页，讲稿共三十七页哦286.2 单自由度系统单自由度系统figure(1)xlabel(tau);ylabel(x(tau);axis(0.0,12.0,-4.0,6.0);plot(0,12,0,0,k-);legend(x_0=3.0,v_0=0.0,x_0=5.0,v_0=0.0);figure(2)xla
18、bel(x(tau);ylabel(dx/dtau);text(2.5,0.5,(3.0,0.0);text(4.5,0.5,(5.0,0.0);plot(-4,6,0,0,k-,0,0,-6,4,k-);axis(-4.0,6.0,-6.0,4.0);续上：第二十八页，讲稿共三十七页哦296.2 单自由度系统单自由度系统程序运行结果第二十九页，讲稿共三十七页哦306.3 多自由度系统多自由度系统6.3.1 多自由系统的固有频率问题多自由系统的固有频率问题一、力学模型二、运动微分方程第三十页，讲稿共三十七页哦31三、三、Matlab求解求解例6.5 三自由系统的振动模态及固有频率设k1=100
19、N/m，k2=50N/m，m1=m2=m3=100kg。求特征值与特征向量的程序如下：k=100,-100,0;-100,150,-50;0,-50,50m=diag(100,100,100)VibrationMode,EigenValue=eig(k,m)第三十一页，讲稿共三十七页哦32附录：附录：ode45函数函数如果系数矩阵如果系数矩阵A的特征值连乘积小于零，且绝对值最大的特征值连乘积小于零，且绝对值最大和最小的特征值之比（刚性比）很大，则称此类方程和最小的特征值之比（刚性比）很大，则称此类方程为为刚性方程刚性方程 ode是Matlab专门用于解微分方程的功能函数。该求解器有变步长（va
20、riable-step）和定步长（fixed-step）两种类型。不同类型有着不同的求解器，其中ode45求解器属于变步长的一种，采用Runge-Kutta算法；ode45表示采用四阶，五阶Runge-Kutta单步算法,截断误差为(x)3。解决的是Nonstiff(非刚性)常微分方程。第三十二页，讲稿共三十七页哦33附录：附录：ode45函数函数T,Y=ode45(fun,TSPAN,Y0)T,Y=ode45(fun,TSPAN,Y0,options)T,Y=ode45(fun,TSPAN,Y0,options,P1,P2,)T,Y,TE,YE,IE=ode45(fun,TSPAN,Y0,o
21、ptions,P1,P2,)调用格式：说明：v 输出变量T为返回时间列向量；解矩阵Y的每一行对应于T的一个元素，列数与求解变量数相等。v fun为函数句柄，为根据待求解的ODE方程所编写的ode文件（odefile）；v TSPANT0 TFINAL是微分系统yF(t,y)的积分区间；Y0为初始条件v options用于设置一些可选的参数值，缺省时，相对于第一种调用格式。P1，P2，的作用是传递附加参数P1，P2，到ode文件。当options缺省时，应在相应位置保留，以便正确传递参数。第三十三页，讲稿共三十七页哦34附录：附录：ode45函数函数所谓的所谓的odefile实际上是一个实际上是
22、一个Matlab函数文件，一般作为整个求函数文件，一般作为整个求解程序的一个子函数，表示解程序的一个子函数，表示ode求解问题求解问题 ode文件的最简单格式必须有一个自变量文件的最简单格式必须有一个自变量t和函数和函数y作为输入变量，作为输入变量，一个一个y的导函数作为输出变量。的导函数作为输出变量。其中自变量其中自变量t不论在不论在ode文件中是否文件中是否使用都必须作为第一输入变量，使用都必须作为第一输入变量，y则必须作为第二输入变量，位置不则必须作为第二输入变量，位置不能颠倒。能颠倒。可以向可以向ode文件中传递参数，数目不受限制文件中传递参数，数目不受限制odefile第三十四页，讲
23、稿共三十七页哦35附录：附录：ode45函数函数为了能够解出方程，要用指令为了能够解出方程，要用指令odeset确定求解的条件和要求。确定求解的条件和要求。在在MATLAB中，求解方程组的指令都有默认的求解的条件和要求中，求解方程组的指令都有默认的求解的条件和要求（由结构数组（由结构数组options表示），但可以用表示），但可以用odeset修改或重新建立，修改或重新建立，odesetoptions=odeset(name1,value1,name2,value2,)options=odeset(oldopts,name1,value1,name2,value2,)options=odese
24、t(oldopts,newopts)odeset语句格式如下：第三十五页，讲稿共三十七页哦36附录：附录：ode45函数函数 第一种调用格式是指定各个参数的取值，对不指定取值的参第一种调用格式是指定各个参数的取值，对不指定取值的参数，取默认值。在不引起混淆的情况下，参数名可以只键入前数，取默认值。在不引起混淆的情况下，参数名可以只键入前面的几个字母，也不必区分大小写，如用面的几个字母，也不必区分大小写，如用“abst”表示表示AbsTol.但但数值的输入必须格式正确，否则仍采用默认值。数值的输入必须格式正确，否则仍采用默认值。第二种格式使用了原来的优化选项，但对其中的参数第二种格式使用了原来的优化选项，但对其中的参数1等指等指定了新值。定了新值。第三种格式合并了两个优化选项第三种格式合并了两个优化选项oldopts newopts，重复部分，重复部分取取newopts的指定值）：的指定值）：第四种格式可在屏幕上显示如下全部可设置的参数及其默认第四种格式可在屏幕上显示如下全部可设置的参数及其默认值。值。第三十六页，讲稿共三十七页哦37感谢大家观看第三十七页，讲稿共三十七页哦