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1、 3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法关于线性代数消元法第1页，讲稿共41张，创作于星期二 3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法21一般线性方程组是指形式为一般线性方程组是指形式为(1)是方程的个数是方程的个数;的方程组，其中的方程组，其中 代表代表 个未知量，个未知量，称为方程组的称为方程组的系数系数；称为称为常数项常数项。一、一般线性方程组的基本概念一、一般线性方程组的基本概念第2页，讲稿共41张，创作于星期二 3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法32方程组的解方程组的解设设 是是 个数，如果个数，如果 分别用分别用 代入后，代入后，(1)中每一个式子都变成恒等式中每一个式子都
2、变成恒等式,则称有序数组则称有序数组 是（是（1）的一个）的一个解解.(1)的解的全体所成集合称为它的的解的全体所成集合称为它的解集合解集合解集合是空集时就称方程组（解集合是空集时就称方程组（1）无解无解3同解方程组同解方程组如果两个线性方程组有相同的解集合，则称它们如果两个线性方程组有相同的解集合，则称它们是是同解的同解的第3页，讲稿共41张，创作于星期二 3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法4例例1 解线性方程组解线性方程组 解：第二个方程乘以解：第二个方程乘以2 2，再与第一个方程对换次序得，再与第一个方程对换次序得第二个方程减去第一个方程的第二个方程减去第一个方程的2 2倍，倍，二
3、、消元法解一般线性方程组二、消元法解一般线性方程组第三个方程减去第一个方程的第三个方程减去第一个方程的3 3倍，得倍，得 1.引例引例 第4页，讲稿共41张，创作于星期二 3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法5第三个方程减去第二个方程的第三个方程减去第二个方程的5 5倍，得倍，得第三个方程乘以第三个方程乘以 ，得，得 第5页，讲稿共41张，创作于星期二 3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法6第一个方程加上第三个方程；第一个方程加上第三个方程；第二个方程加上第三个方程，得第二个方程加上第三个方程，得 这样便求得原方程组的解为这样便求得原方程组的解为或或第6页，讲稿共41张，创作于星期二
4、3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法7 例例2解下列方程组解下列方程组解：对换第一，三个方程的次序解：对换第一，三个方程的次序第二个方程减去第一个方程的第二个方程减去第一个方程的2 2倍，倍，第三个方程减去第一个方程的第三个方程减去第一个方程的5 5倍，得倍，得 第7页，讲稿共41张，创作于星期二 3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法8出现矛盾方程出现矛盾方程“05”，所以原方程组无解，所以原方程组无解.第三个方程减去第二个方程的第三个方程减去第二个方程的2 2倍，得倍，得 第8页，讲稿共41张，创作于星期二 3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法9例例3解下列方程组解下列方程组解：
5、第二个方程减去第一个方程的解：第二个方程减去第一个方程的2 2倍，倍，第三个方程减去第一个方程的第三个方程减去第一个方程的1 1倍，得倍，得第三个方程加上第二个方程的第三个方程加上第二个方程的1 1倍，得倍，得第9页，讲稿共41张，创作于星期二 3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法10未知量未知量x2可以自由取值可以自由取值.第10页，讲稿共41张，创作于星期二 3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法11定义定义线性方程组的初等变换是指下列三种变换线性方程组的初等变换是指下列三种变换 用一个非零的数乘某一个方程；用一个非零的数乘某一个方程；将一个方程的倍数加到另一个方程上；将一个方程的倍
6、数加到另一个方程上；交换两个方程的位置交换两个方程的位置性质性质线性方程组经初等变换后，得到的线性方程线性方程组经初等变换后，得到的线性方程组与原线性方程组同解组与原线性方程组同解2线性方程组的初等变换线性方程组的初等变换 证明：略证明：略第11页，讲稿共41张，创作于星期二 3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法12如对方程组如对方程组（1）作第二种初等变换作第二种初等变换:简便起见，不妨设把第二个方程的简便起见，不妨设把第二个方程的k k倍加到第一个方程倍加到第一个方程得到新方程组得到新方程组（1）（1）设设 是方程组是方程组（1）的任一解，则的任一解，则第12页，讲稿共41张，创作于星
7、期二 3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法13所以所以 也是方程组也是方程组（1）的解的解.于是有于是有同理可证的同理可证的（1）任一解也是任一解也是（1）的解的解.故方程组故方程组（1 ）与与（1）是同解的）是同解的.第13页，讲稿共41张，创作于星期二 3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法143利用初等变换解一般线性方程组利用初等变换解一般线性方程组（化阶梯方程组）（化阶梯方程组）先检查先检查(1)中中 的系数，若的系数，若 全为零，全为零，则则 没有任何限制，即没有任何限制，即 可取任意值，从而方程组可取任意值，从而方程组(1)可以看作是可以看作是 的方程组来解的方程组来解第14
8、页，讲稿共41张，创作于星期二 3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法15如果如果 的系数不全为零，不妨设，的系数不全为零，不妨设，分别把第一个方程分别把第一个方程 的倍加的倍加 到第到第i个方程个方程 (3)于是于是(1)就变成就变成其中其中(4)第15页，讲稿共41张，创作于星期二 3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法16再考虑方程组再考虑方程组(4)即，方程组即，方程组(3)有解当且仅当方程组有解当且仅当方程组(4)有解有解.(3)是同解的，因此方程组是同解的，因此方程组(1)有解当且仅当有解当且仅当(4)有解有解对方程组对方程组(4)重复上面的讨论，并且一步步作下去，重复上面的讨
9、论，并且一步步作下去，最后就得到一个最后就得到一个阶梯形方程组阶梯形方程组.的一个解；而方程组的一个解；而方程组(3)的解都是方程组的解都是方程组(4)有解有解.显然，方程组显然，方程组(4)的一个解代入方程组的一个解代入方程组(3)就得出就得出(3)而而(1)与与第16页，讲稿共41张，创作于星期二 3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法17这时去掉它们不影响这时去掉它们不影响(5)的解的解(5)其中其中方程组方程组(5)中的中的“”这样一些恒等式可能不出现这样一些恒等式可能不出现而且而且(1)与与(5)是同解的是同解的 也可能出现，也可能出现，为了讨论的方便，不妨设所得的阶梯形方程组为为
10、了讨论的方便，不妨设所得的阶梯形方程组为第17页，讲稿共41张，创作于星期二 3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法18考察方程组的解的情况考察方程组的解的情况:由由Cramer法则，此时法则，此时(6)有唯一解，从而有唯一解，从而(1)有唯一解有唯一解(6)i)若若 这时阶梯形方程组为这时阶梯形方程组为 其中其中 时，方程组时，方程组(5)有解，从而有解，从而(1)有解，有解，时，方程组时，方程组(5)无解，从而无解，从而(1)无解无解分两种情况：分两种情况：此时去掉此时去掉“”的方程的方程第18页，讲稿共41张，创作于星期二 3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法19此时方程组此时方程
11、组(7)有无穷多个解，从而有无穷多个解，从而(1)有无穷多个解有无穷多个解.(7)ii)若若 ，其中其中 事实上，任意给事实上，任意给 一组值，由一组值，由(7)就唯一就唯一地定出的地定出的 一组值一组值这时阶梯形方程组可化为这时阶梯形方程组可化为第19页，讲稿共41张，创作于星期二 3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法20称为一组称为一组自由未知量自由未知量 而而 通过通过一般地，我们可以把一般地，我们可以把这样一组表达式称为方程组这样一组表达式称为方程组(1)的的一般解一般解，表示出来表示出来 第20页，讲稿共41张，创作于星期二 3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法21三、齐次线
12、性方程组的解三、齐次线性方程组的解定理定理1 在齐次线性方程组在齐次线性方程组中，如果中，如果 ，则它必有非零解则它必有非零解.第21页，讲稿共41张，创作于星期二 3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法22解线性方程组解线性方程组 解：第二个方程乘以解：第二个方程乘以2 2，再与第一个方程对换次序得，再与第一个方程对换次序得第二个方程减去第一个方程的第二个方程减去第一个方程的2 2倍，倍，第三个方程减去第一个方程的第三个方程减去第一个方程的3 3倍，得倍，得 1.引例引例 四、矩阵四、矩阵第22页，讲稿共41张，创作于星期二 3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法23第三个方程减去第二个
13、方程的第三个方程减去第二个方程的5 5倍，得倍，得第三个方程乘以第三个方程乘以 ，得，得 第23页，讲稿共41张，创作于星期二 3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法24第一个方程加上第三个方程；第一个方程加上第三个方程；第二个方程加上第三个方程，得第二个方程加上第三个方程，得 这样便求得原方程组的解为这样便求得原方程组的解为或或第24页，讲稿共41张，创作于星期二 3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法25定义定义由由sn个数排成个数排成 s 行行 n 列的表列的表称为一个称为一个 sn 矩阵矩阵，j为列指标为列指标.简记为简记为数数 称为矩阵称为矩阵A的的 i 行行 j 列的列的元素元
14、素，其中，其中i为行指标，为行指标，2.矩阵的定义矩阵的定义 第25页，讲稿共41张，创作于星期二 3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法26若矩阵若矩阵则说则说A为为数域数域 P 上的矩阵上的矩阵当当 s=n 时，时，称为称为n级方阵级方阵由由 n 级方阵级方阵 定义的定义的 n 级行列式级行列式称为称为矩阵矩阵A的行列式的行列式，记作，记作 或或detA 特别地，特别地，第26页，讲稿共41张，创作于星期二 3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法273.矩阵相等矩阵相等则称则称矩阵矩阵A与与B相等相等，记作，记作 A=B设矩阵设矩阵如果如果第27页，讲稿共41张，创作于星期二 3.1
15、3.1 消元法消元法消元法消元法28(1)4.线性线性方程组的系数矩阵与增广矩阵方程组的系数矩阵与增广矩阵系数矩阵系数矩阵增广矩阵增广矩阵第28页，讲稿共41张，创作于星期二 3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法291)以以P中一个非零数中一个非零数k乘矩阵的一行乘矩阵的一行；2)把矩阵的某一行的把矩阵的某一行的k倍加到另一行，倍加到另一行，；3)互换矩阵中两行的位置互换矩阵中两行的位置注意：注意：5.矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换定义定义数域数域P上的矩阵的初等行变换是指：上的矩阵的初等行变换是指：矩阵矩阵A经初等行变换变成矩阵经初等行变换变成矩阵B，一般地，一般地AB类似地有矩阵类似
16、地有矩阵A的的初等列变换初等列变换.第29页，讲稿共41张，创作于星期二 3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法30第30页，讲稿共41张，创作于星期二 3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法31特点：特点：1.可画出一条可画出一条阶梯线，线的下方全是零阶梯线，线的下方全是零.2.每个台阶只有一行，台阶数即为非零行的行每个台阶只有一行，台阶数即为非零行的行 数，数，阶阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的元素为梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的元素为非零元，即为非零行的第一个非零元非零元，即为非零行的第一个非零元.阶梯形矩阵阶梯形矩阵 第31页，讲稿共41张，创作于星期二 3.1
17、 3.1 消元法消元法消元法消元法32如果矩阵如果矩阵A的任一行从第一个元素起至该行的的任一行从第一个元素起至该行的6.6.阶梯形矩阵阶梯形矩阵 第一个非零元素所在的下方全为零；若该行全第一个非零元素所在的下方全为零；若该行全为为0，则它的下面各行也全为，则它的下面各行也全为0，则称矩阵，则称矩阵A为为阶梯形矩阵阶梯形矩阵 例例第32页，讲稿共41张，创作于星期二 3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法33任意一个矩阵总可以经过一系列初等行变换任意一个矩阵总可以经过一系列初等行变换化成阶梯形矩阵化成阶梯形矩阵命题命题第33页，讲稿共41张，创作于星期二 3.1 3.1 消元法消元法消元法消元
18、法34行最简阶梯形矩阵行最简阶梯形矩阵 特点：特点：非零行的第一个非零元为非零行的第一个非零元为1，且非零行的，且非零行的第一个非零元所在的列的其他元素为零第一个非零元所在的列的其他元素为零.第34页，讲稿共41张，创作于星期二 3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法357线性方程组消元法的矩阵表示线性方程组消元法的矩阵表示不妨设线性方程组不妨设线性方程组(1)的增广矩阵的增广矩阵经过一系列经过一系列初等变换初等变换化成阶梯形矩阵化成阶梯形矩阵第35页，讲稿共41张，创作于星期二 3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法36其中其中 时，方程组时，方程组(1)无解无解 时，方程组时，方程组(
19、1)有解有解.第36页，讲稿共41张，创作于星期二 3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法37且方程组且方程组(1)与方程组与方程组(7)同解同解(7)当当 时时，方程组，方程组(1)有无穷多解有无穷多解 所以，当所以，当 时，方程组时，方程组(1)有唯一解；有唯一解；（这样，方程组这样，方程组(1)(1)有没有解，以及有怎样的解，都可有没有解，以及有怎样的解，都可以通过它的增广矩阵看出。）以通过它的增广矩阵看出。）第37页，讲稿共41张，创作于星期二 3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法38 例例2解下列方程组解下列方程组解：对方程组的增广矩阵作初等行变换解：对方程组的增广矩阵作初等行变换从最后一行知，原方程组无解从最后一行知，原方程组无解.第38页，讲稿共41张，创作于星期二 3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法39出现矛盾方程出现矛盾方程“05”，所以原方程组无解，所以原方程组无解.第39页，讲稿共41张，创作于星期二 3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法40例例3解下列方程组解下列方程组第40页，讲稿共41张，创作于星期二 3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法感谢大家观看第41页，讲稿共41张，创作于星期二