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1、文档 勾股定理复习 例题 1、直角三角形的面积为S，斜边上的中线长为d，则这个三角形周长为（）（A）22dSd （B）2dSd （C）222dSd （D）22 dSd 解:设两直角边分别为,a b,斜边为c,则2cd,12Sab.由勾股定理,得222abc.所以222222444abaabbcSdS.所以22abdS.所以abc222dSd.故选（C）例题 2在ABC中,1ABAC,BC边上有 2006 个不同的点122006,P PP,记21,2,2006iiiimAPBP PC i,则122006mmm=_.解:如图,作ADBC于D,因为1ABAC,则BDCD.由勾股定理,得222222,
2、ABADBDAPADPD.所以 2222ABAPBDPDBDPDBDPDBP PC 所以2221APBP PCAB.因此2122006120062006mmm.例题 3如图所示，在Rt ABC中,90,45BACACABDAE,且3BD,4CE,求DE的长.文档 解:如右图：因为ABC为等腰直角三角形,所以45ABDC.所以把AEC绕点A旋转到AFB,则AFBAEC.所以4,45BFECAFAEABFC.连结DF.所以DBF为直角三角形.由勾股定理,得222222435DFBFBD.所以5DF.因为45,DAE所以45DAFDABEAC.所以ADEADF SAS.所以5DEDF.例题 4、如图
3、，在ABC 中，AB=AC=6，P 为 BC 上任意一点，请用学过的知识试求 PCPB+PA2的值。例题 5、如图在 RtABC 中,3,4,90BCACC，在 RtABC 的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。如图所示：要求：在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法，在图中标明拼接的直角三角形的三边长（请同学们先用铅笔画出草图，确定后再用 0.5mn 的黑色签字笔画出正确的图形）解：要在 RtABC 的外部接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，关键是腰与底边的确定。要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长，这需要用到勾股定理知识。下图中的四种
4、拼接方法供参考。A B P C 10 文档 例题 6 如图，A、B 两个村子在河 CD 的同侧，A、B 两村到河的距离分别为 AC=1km，BD=3km，CD=3km，现在河边 CD 上建一水厂向 A、B 两村输送自来水，铺设水管的费用为 20000 元/千米，请你在 CD 选择水厂位置 O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用F。例题 7.ABC 中，BCa，ACb，ABc，若C=90，如图（1），根据勾股定理，则222cba，若 ABC 不是直角三角形，如图（2）和图（3），请你类比勾股定理，试猜想22ba 与2c的关系，并证明你的结论.解：若 ABC 是锐角三角形，则有 a2+b
5、2c2 若 ABC 是钝角三角形，C 为钝角，则有 a2+b20，x0 2ax0 a2+b2c2 当 ABC 是钝角三角形时，例题 8如图，A 市气象站测得台风中心在 A 市正东方向 300 千米的 B 处，以 107 千米/时的速度向北偏西 60的 BF 方向移动，距台风中心 200千米范围内是受台风影响的区域 （1）A 市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；（2）如果 A 市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？文档 课堂练习：1、将一根 24cm 的筷子，置于底面直径为 15cm，高 8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为 hcm，则 h 的取值范围
6、是（）Ah17cm Bh8cm C15cmh16cm D7cmh16cm 2 如图，已知：，于 P.求证：.思路点拨:图中已有两个直角三角形，但是还没有以 BP 为边的直角三角形.因此，我们考虑构造一个以 BP 为一边的直角三角形.所以连结 BM.这样，实际上就得到了 4 个直角三角形.那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系.解析：连结 BM，根据勾股定理，在中，.而在中，则根据勾股定理有 .又（已知），.在中，根据勾股定理有 ，.3 已知：如图，B=D=90，A=60，AB=4，CD=2。求：四边形 ABCD 的面积。分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结 AC，或延长
7、 AB、DC 交于 F，或延长 AD、BC 交于点 E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。解析：延长 AD、BC 交于 E。A=60，B=90，E=30。AE=2AB=8，CE=2CD=4，BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE=。文档 DE2=CE2-CD2=42-22=12，DE=。S四边形ABCD=SABE-SCDE=ABBE-CDDE=4 一辆装满货物的卡车，其外形高 2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH如图所
8、示，点 D 在离厂门中线 0.8 米处，且 CD，与地面交于 H 解：OC1 米(大门宽度一半)，OD0.8 米（卡车宽度一半）在RtOCD 中，由勾股定理得：CD.米，C.（米）.（米）因此高度上有 0.4 米的余量，所以卡车能通过厂门 5、如图，公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇，且QPN30，点 A 处有一所中学，AP160m。假设拖拉机行驶时，周围 100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为 18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影
9、响学校A，实质上是看 A 到公路的距离是否小于100m,小于 100m 则受影响，大于 100m 则不受影响，故作垂线段 AB 并计算其长度。（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校 A 的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。解析：作 ABMN，垂足为 B。在 RtABP 中，ABP90，APB30，AP160，ABAP80。（在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半）点 A 到直线 MN 的距离小于 100m,这所中学会受到噪声的影响。如图，假设拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶到点 C 处学校开始受到影响，那么AC1
10、00(m)，由勾股定理得：BC21002-8023600,BC60。文档 同理，拖拉机行驶到点 D 处学校开始脱离影响，那么，AD100(m)，BD60(m),CD120(m)。拖拉机行驶的速度为:18km/h5m/s t120m5m/s24s。答：拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24 秒。6、如图所示，ABC 是等腰直角三角形，AB=AC，D 是斜边 BC 的中点，E、F 分别是 AB、AC边上的点，且 DEDF，若 BE=12，CF=5求线段 EF 的长。思路点拨：现已知 BE、CF，要求 EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段
11、的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接 AD 解：连接 AD 因为BAC=90，AB=AC 又因为 AD 为ABC 的中线，所以 AD=DC=DBADBC 且BAD=C=45 因为EDA+ADF=90 又因为CDF+ADF=90 所以EDA=CDF 所以AEDCFD（ASA）所以 AE=FC=5 同理：AF=BE=12 在 RtAEF 中，根据勾股定理得：，所以 EF=13。总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。7 如图，在等腰AB
12、C 中，ACB=90，D、E 为斜边 AB 上的点，且DCE=45。求证：DE2=AD2+BE2。ECABDFECABD 分析：利用全等三角形的旋转变换，进行边角的全等变换，将边转移到一个三角形中，并构造直角三角形。8 如图，长方形 ABCD 中，AB=8，BC=4，将长方形沿 AC 折叠，点 D 落在点 E 处，则重叠部文档 分AFC 的面积是 。EFDBCA 设 EF=x，那么 AF=CF=8-x，AE2+EF2=AF2,所以42+x2=(8-x)2,解得 x=3，S=4*8/2-3*4/2=10 答案：10 9.一只蚂蚁在一块长方形的一个顶点 A 处，一只苍蝇在这个长方形上和蜘蛛相对的顶
13、点 C1 处，如图，已知长方形长 6cm，宽 5 cm，高 3 cm。蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方形 的表面向上爬，它要从 A 点爬到 C1 点，有很多路线，它们有长有短，蜘蛛究竟应该沿着 怎样的路线爬上去，所走的距离最短？你能帮蜘蛛求出最短距离吗？10.已知ABC 的三边 a、b、c，且 a+b=17，ab=60，c=13,ABC 是否是直角三角形？你能说明理由吗？答案：是直角三角形。（平方差公式的灵活运用）abbaba2)(222=2216960217c。家庭作业：一、选择题 1.下列说法正确的有()ABC 是直角三角形，C=90，则 a2+b2=c2.ABC 中，a2+b2c2，则ABC
14、 不是直角三角形.若ABC 中，a2-b2=c2，则ABC 是直角三角形.若ABC 是直角三角形，则(a+b)(a-b)=c2.A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 2.已知 RtABC 中，C=90，若 a+b=14cm，c=10cm，则 RtABC 的面积是()A.24cm2 B.36cm2 C.48cm2 D.60cm2 BCADCBADBCADCBAD文档 3.已知，如图，一轮船以 20 海里/时的速度从港口 A 出发向东北方向航行，另一轮船以 15 海里/时的速度同时从港口 A 出发向东南方向航行，则 2 小时后，两船相距()A.35 海里 B.40 海里 C.45 海里
15、D.50 海里 4.如图，已知矩形 ABCD 沿着直线 BD 折叠，使点 C 落在 C处，BC交 AD 于 E，AD=8，AB=4，则 DE 的长为()A.3 B.4 C.5 D.6 二、填空题(共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在题后的横线上.)5.如图，学校有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条路.他们仅仅少走了_ 步路(假设 2 步为 1 米)，却踩伤了青草.6.如图，圆柱形玻璃容器高 20cm，底面圆的周长为 48cm，在外侧距下底 1cm 的点 A处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口 1cm 的点 B 处有一只苍蝇，则蜘
16、蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度为_.7.如果三条线段的长度分别为 8cm、xcm、18cm，这三条线段恰好能组成一个直角三角形，那么以 x 为边长的正方形的面积为_.8.已知ABC 的三边 a、b、c 满足等式|a-b-1|+|2a-b-14|=-|c-5|，则ABC 的面积为_.三、解答题(共 6 小题，1、2 题各 10 分，3-6 题各 12 分，共 68 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)9.如图是一块地，已知 AB=8m，BC=6m，B=90，AD=26m，CD=24m，求这块地的面积.10.如图，将一根 30 长的细木棒放入长、宽、高分别为 8、6 和 24 的长方体无盖
17、盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？文档 11.如图，铁路上 A、B 两点相距 25km,C、D 为两村庄，DAAB 于 A，CBAB 于 B，若 DA=10km,CB=15km，现要在 AB 上建一个周转站 E，使得 C、D 两村到 E 站的距离相等，则周转站 E 应建在距 A 点多远处？12.如图，折叠矩形纸片 ABCD，先折出折痕(对角线)AC，再折叠使 AB 边与 AC 重合，得折痕 AE，若 AB=3，AD=4，求 BE 的长.13.如图，A、B 两个小镇在河流 CD 的同侧，到河流的距离分别为 AC=10km，BD=30km，且 CD=30km，现在要在河边建一自来水厂，向
18、 A、B 两镇供水，铺设水管的费用为每 km3 万元，请你在河流 CD 上选择建水厂的位置 M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？14.“交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过 70 千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪所在位置 A 处正前方 30 米的 C 处，过了 2 秒后，测得小汽车所在位置 B 处与车速检测仪间距离为 50 米，这辆小汽车超速了吗？附加题(10 分，不计入总分)如图，P 是矩形 ABCD 内一点，PA=1，PB=5，PC=7，则 PD=_.文档 一、1.C 2.A 3.D 4.C 二、5.4 6.30
19、cm 7.260cm 或 388cm 8.30 三、9.解：连接 AC.1 分 在ABC 中，AB=8m,BC=6m,B=90，由勾股定理，AC2=AB2+BC2=82+62=100,AC=10.3 分 在ACD 中，AC2+CD2=102+242=676,AD2=676，AC2+CD2=AD2.ACD 是直角三角形.6 分 8 分 答：求这块地的面积是 96m2.10 分 10.解：由勾股定理，82+62=102,3 分 102+242=262.6 分 30-26=4.8 分 答：细木棒露在盒外面的最短长度是 4cm.10 分 11.解：设 E 点建在距 A 点 xkm 处.1 分 如图，则
20、 AE 长 xkm，BE 长(25-x)km.2 分 DAAB，DAE 是直角三角形.由勾股定理，DE2=AD2+AE2=102+x2.5 分 同理，在 RtCBE 中，CB2+BE2=152+(25-x)2.7 分 依题意，102+x2=152+(25-x)2，9 分 解得，x=15.11 分 答：E 应建在距 A15km 处.12 分 12.解：在 AC 上截取 AF=AB，连接 EF.1 分 文档 依题意，AB=AF,BE=EF,B=AFE=90.3 分 在 RtABC 中，AB=3，BC=AD=4,AC2=32+42=25,AC=5.CF=AC-AF=5-3=2.5 分 设 BE 长为
21、 x，则 EF=x,CE=4-x.7 分 在 RtCFE 中，CE2=EF2+CF2,即(4-x)2=x2+22.9 分 解得，x=.11 分 答：BE 的长为.12 分 13.解：作点 A 关于 CD 的对称点 E，连接 EB，交 CD 于 M.则 AC=CE=10 公里.2 分 过点 A 作 AFBD,垂足为 F.过点 B 作 CD 的平行线交 EA 延长线于 G，得矩形 CDBG.4 分 则 CG=BD=30 公里，BG=CD=30 公里，EG=CG+CE=30+10=40 里.7 分 在 RtBGE 中，由勾股定理，BE2=BG2+EG2=302+402,BE=50km，9 分 350
22、=150(万元).11 分 答：铺设水管的总费用最少为 150 万元.12 分 14.解：依题意，在 RtACB 中，AC=30 米，AB=50 米，由勾股定理，BC2=AB2-AC2=502-302,BC=40 米.3 分 小汽车由 C 到 B 的速度为 402=20 米/秒.5 分 20 米/秒=72 千米/小时，8 分 7270，10 分 因此，这辆小汽车超速了.12 分 附加题 解：过点 P 作 MNAD 交 AB 于点 M，交 CD 于点 N，则 AM=DN，BM=CN.2 分 PMA=PMB=90，PA2-PM2=AM2，PB2-PM2=BM2.4 分 文档 PA2-PB2=AM2
23、-BM2.5 分 同理，PD2-PC2=DN2-CN2.7 分 PA2-PB2=PD2-PC2.又 PA=1，PB=5，PC=7，8 分 PD2=PA2-PB2PC2=12-5272，PD=5.10 分 初二数学实数单元复习导学案 目标认知 一、知识网络：二、重难点聚焦：教学重点：算术平方根和平方根的概念及其求法；教学难点：平方根和实数的概念.三、知识要点回顾：文档 4、实数的三个非负性：|a|0，a20，0（a0）5、实数的运算：加减法：类比合并同类项；乘法：=（a0，b0）；除法：（a0，b0）6、算术平方根与平方根的区别与联系 区别:定义不同；个数不同；表示方法不同；取值范围不同.联系:
24、具有包含关系；存在条件相同；0 的算术平方根与平方根都是 0.提示 1.正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；零的平方根和算术平方 根都是零；负数没有平方根 2.实数都有立方根，且一个数的立方根只有一个，它的符号与被开方数的符号相同 3.所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数其中有限小数和无限循环小数 统称有理数，无限不循环小数叫做无理数 4.无理数分成三类：开方开不尽的数，如，等；有特殊意义的数，如；有特定结构的 数，如 0.1010010001 5.有理数和无理数统称实数，实数和数轴上的点一一对应 6.实数的运算：实数运算的基础是有理数运算，
25、有理数的一切运算性质和运算律都适用于实数运算 正确地确定运算结果的符号和灵活运用各种运算律来进行运算是掌握好实数运算的关键 规律方法整合 1有关概念的识别 1 下面几个数：0.23，1.010010001，3，其中，无理数的个数有（）文档 A、1 B、2 C、3 D、4 解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，1.010010001，3，是无理数 故选 C 【变式 1】下列说法中正确的是（）A、的平方根是3 B、1 的立方根是1 C、=1 D、是 5 的平方根的相反数 【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念，=9，9 的平方根是3，A 正确 1 的立方根是 1，=1，是
26、 5 的平方根，B、C、D 都不正确 【变式 2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点 A，则点 A 表示的数是（）A、1 B、1.4 C、D 【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系正方形的边长为 1，对角线为，由圆的定义知|AO|=，A 表示数为，故选 C 【变式 3】例：已知那么 a+b-c 的值为_ 【答案】初中阶段的三个非负数：;a20;0 a=2,b=-5,c=-1;a+b-c=-2 2计算类型题 2.设，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.解析：（估算）因为，所以选 B 【变式 1】1）1.25
27、的算术平方根是_；平方根是_.2）-27 立方根是_.3）_，_，_.文档 【答案】1）；.2）-3.3），【变式 2】求下列各式中的 （1）（2）（3）【答案】（1）（2）x=4 或 x=-2（3）x=-4 【变式 3】化简：【答案】=+-=3数形结合 3.点 A 在数轴上表示的数为，点 B 在数轴上表示的数为，则 A，B 两点的距离为_ 解析：在数轴上找到 A、B 两点，【变式 1】如图，数轴上表示 1，的对应点分别为 A，B，点 B 关于点 A 的对称点为 C，则点 C 表示的数是（）A1 B1 C2 D2 【答案】选 C 4.易错题 4.判断下列说法是否正确 （1）的算术平方根是-3；
28、（2）的平方根是15.（3）当 x=0 或 2 时，（4）是分数 解析：（1）错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数.故 （2）表示 225 的算术平方根，即=15.实际上，本题是求 15 的平方根，故的平方根 是.（3）注意到，当 x=0 时，=，显然此式无意义，发生错误的原因是忽视了“负数 没有平方根”，故 x0，所以当 x=2 时，x=0.文档 （4）错在对实数的概念理解不清.形如分数，但不是分数，它是无理数.学习成果测评：A 组（基础）一、细心选一选 1下列各式中正确的是（）A B.C.D.2.的平方根是()A4 B.C.2 D.3.下列说法中 无限小数都是无理数 无理数都是无
29、限小数-2 是 4 的平方根 带根号的数都是无理数。其中正确的说法有（）A3 个 B.2 个 C.1 个 D.0 个 4和数轴上的点一一对应的是（）A整数 B.有理数 C.无理数 D.实数 5对于来说（）A有平方根 B.只有算术平方根 C.没有平方根 D.不能确定 6在（两个“1”之间依次多 1 个“0”）中，无理数的个数有（）A3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 7面积为 11 的正方形边长为 x，则 x 的范围是（）A B.C.D.8下列各组数中，互为相反数的是（）A-2 与 B.-与 C.与 D.与 9-8 的立方根与 4 的平方根之和是（）A0 B.4 C.0 或-4 D.0
30、或 4 10已知一个自然数的算术平方根是 a，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（）A B.C.D.文档 二、耐心填一填 11的相反数是_，绝对值等于的数是_，=_。12的算术平方根是_，=_。13_的平方根等于它本身，_的立方根等于它本身，_的算术平方根等于它本身。14已知x的算术平方根是 8，那么 x 的立方根是_。15填入两个和为 6 的无理数，使等式成立：_+_=6。16大于，小于的整数有_个。17若2a-5与互为相反数，则 a=_，b=_。18若a=6，=3，且 ab0，则 a-b=_。19数轴上点 A，点 B 分别表示实数则 A、B 两点间的距离为_。20一个正数 x 的两个平
31、方根分别是 a+2 和 a-4，则 a=_，x=_。三、认真解一解 21计算 +4 9+2（）（结果保留 3 个有效数字）22 在数轴上表示下列各数和它们的相反数，并把这些数和它们 的相反数按从小到大的顺序排列，用“”号连接：参考答案：一:1、B 2、D 3、B 4、D 5、C 6、A 7、B 8、C 9、C 10、D 二：11、，-3 12、3，13、0，0、，0、1 文档 14、15、答案不唯一 如：16、5 17、18、-15 19、2 20、1，9 三：21、-17-9 2-36 37.9 22、B 组（提高）一、选择题：1的算术平方根是（）A.0.14 B.0.014 C.D.2的平
32、方根是（）A.6 B.36 C.6 D.3下列计算或判断：3 都是 27 的立方根；的立方根是 2；，其中正确的个数有（）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 4、在下列各式中，正确的是（）A.;B.;C.;D.5、下列说法正确的是（）A.有理数只是有限小数 B.无理数是无限小数 C.无限小数是无理数 D.是分数 6、下列说法错误的是（）A.B.C.2 的平方根是 D.7若，且，则的值为（）文档 A.B.C.D.8.下列结论中正确的是（）A.数轴上任一点都表示唯一的有理数;B.数轴上任一点都表示唯一的无理数;C.两个无理数之和一定是无理数;D.数轴上任意两点之间还有无数个点 9-27
33、 的立方根与的平方根之和是（）A.0 B.6 C.0 或-6 D.-12 或 6 10下列计算结果正确的是（）A.B.C.D.二填空题:11 下列各数：3.141、0.33333、0.3030003000003（相邻两个 3 之间 0 的个数逐次增加 2）、0 中,其中是有理数的有_；是无理数的 有_.（填序号）12.的 平方根是_；0.216 的立方根是_.13.算术平方根等于它本身的数是_；立方根等于它本身的数是_.14.的相反数是_；绝对值等于的数是_ 15.一个正方体的体积变为原来的 27 倍，则它的棱长变为原来的_倍.三、解答题：16计算或化简：(1)(2)(3)(4)(5)(6)17已知，且 x 是正数，求代数式的值。18观察右图，每个小正方形的边长均为 1，图中阴影部分的面积是多少？边长是多少？估计边长的值在哪两个整数之间。把边长在数轴上表示出来。文档 参考答案：一、选择题：1、A 2、C 3、B 4、B 5、B 6、D 7、B 8、D 9、C 10、B 二填空题:11、；.12、；0.6.13、；.14、；15、3.三、解答题：16、计算或化简：(1)(2)(3)(4)(5)(6)17、解：25x2=144 又x 是正数 x=18、解：图中阴影部分的面积 17，边长是 边长的值在 4 与 5 之间