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1、 例项工程甲队单独做完要天乙队单独做完要天 Standardization of sany group#QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#例 1 一项工程，甲队单独做完要 12 天，乙队单独做完要 10 天，两队合做多少天就可以完成 【分析 1】把这项工程看作整体“1”，甲每天完成工程的112，乙队每天完成工程的110，甲乙合做每天完成工程的1160，工程“1”里包含几个1160，就是两队合做完成这个工程的天数.【解法 1】两队合做 1 天完成的工程 112110=1160 两队合做多少天完成这项工程 11160=5511（天）综合算式：1（112+110）=11160
2、=5511（天）.【分析 2】用最小公倍解法.因为 12 和 10 的最小公倍数是 60，所以可假设这项工程为 60.那么甲队工作效率为 6012=5，乙队工作效率为 6010=6，甲乙合做效率为 5+6=11.用总工作量 60 除以甲乙效率和 11，即得两队合做完成这个工程的天数.【解法 2】假设这项工程总工作量为 60.60（6012+6010）=60（5+6）=6011=5511（天）.【分析 3】由题意可知，甲队每天的工作量，乙队天就可完成，即天.两队合做 1 天的工作量由乙队独做需要 1+天，即天.所以乙队 10 天完成的这项工程，两队合做要用 10=（天）完成.【解法 3】10（1
3、+1012）=10（1+）=10=（天）.【分析 4】甲队 12 天的工作量，乙队 10 天即可完成，所以乙队 1 天的工作量，甲队要用天完时，即天。那么甲乙两队合做 1 天的工作量，甲队要用 1+=（天）.所以乙队 10 天完成的这项工程，两队合做要用 12=（天）.【解法 4】12（1+1210）=12（1+）=12=（天）.答：两队合做天就可以完成.【评注】解法 1 是工程应用题的一般解法，易于理解.是较好的解法。解法 2 是利用求公倍数法解工程应用题，这种解法其实是假设解法，读者可根据实际情况选择恰当的数假设为总工程量.例 2 一列货车与一列客车同时从甲、乙两站相对开出，经过 9 小时
4、相遇，相遇后两车都继续以原速前进。已知货车又行了 6 小时到达乙站，问客车行完全程需要几小时（湖南省长沙市东区）【分析 1】把甲乙两站全程看作标准“1”.两车同行 1 小时行完全程的，货车 1 小时可行全程的，即.那么客车 1 小时可行全程的-=.全程“1”里包含着多少个，就是客车行全程需要多少小时.【解法 1】1（-）=1=（小时）.【分析 2】货车行全程需 9+6=15（小时），9 和 15 的最小公倍数是 45，所以两站全程可假设为 45，那么两车同时行 1 小时可行 459=5，货车 1 小时可行 4515=3，所以客车每小时可行 5-3=2.甲乙两站全程 45 内包含多少个 2，就是
5、客车行全程需要多少小时.【解法 2】假设甲乙两站全程为 45.45459-45（9+6）=45459-4515 =455-3=（小时）.【分析 3】两车 9 小时行完的路程，货车要用 9+6=15（小时）行完.而客车 9 小时行完的路程，货车只需 6 小时行完.那么货车 1 小时行完的路程，客车需要 96=（小时）.所以货车 15 小时的行程，客车需要15=（小时）.【解法 3】96（9+6）=9615=15=（小时）.【分析 4】两车同时行全程需 9 小时，货车行全程需要 9+6=15（小时），那么客车行 9 小时恰好行完全程的6=，所以客车每小时行全程的9=.由此可求客车行全程的时间.【解
6、法 4】1（69）=1（9）=1=（小时）.【分析 5】把客车行完全程需要的时间看作“1”.货车行全程需 9+6=15（小时），而货车 6 小时的行程和客车 9 小时的行程恰好相同，由此可求出客车 9 小时行全程的6=，即 9 小时的对应分率，由此可求客车行全程的时间.【解法 5】9（6）=9（6）=9=（小时）.答：客车行完全程需要小时.【评注】比较以上五种解法，解法 1 是工程应用题的一般解法，思路简明清晰，易于理解和掌握；解法 5 是运用分数除法应用题的解法，更有益于理解工程应用题，且运算简便，这两种解法是本题的较好解法.例 3 一件工作，甲乙合做 8 天可以完成，甲独做 12 天可以完
7、成.现在甲乙合做若干天后，余下的由乙继续做 3 天才完成.乙一共做了多少天（河南省南阳地区）【分析 1】乙每天完成这件工作的，那么乙 3 天完成了这件工作的，再求出甲乙合做的工作量 1-=，里包含多少个，就是甲乙合做了几天，即乙先做了几天.再加上余下 3 天即得乙共做多少天.【解法 1】1-（）3+3 =1-3+3 =1-+3 =+3=10（天）。【分析 2】根据“甲乙合做的工作量与乙独做完成工作量的和等于总工作量”这一等量关系列方程，先求乙先做了几天，再加上 3 天即得乙共做了多少天.【解法 2】设甲乙合做了 x 天.+=1 =1-x=7 7+3=10 【分析 3】假设总工作量为 24，那么
8、甲乙效率和是 248=3，甲的效率是 2412=2，所以乙的效率是 3-2=1，它 3 天完成了 13=3.因此，甲乙合做（24-3）3=7（天），即乙先做了7 天，再加上 3 天即得乙共做的天数.【解法 3】假设工作总量为 24.24-（248-2412）3（248）+3 =24-（3-2）3）3+3 =24-33+3 =213+3=10（天）.【分析 4】假设甲乙合做了 5 天，那么比实际少完成 1-5-（-）3=，甲乙继续合做还要用=2（天）.所以乙共做了 5+2+3=10 天.【解法 4】假设甲乙合做了 5 天.1-5-（-）3+5+3 =1-5-3+5+3 =+5+3=10（天）.答
9、：乙一共做了 10 天.【评注】解法 1 和解法 2 是较好的解法.解法 1 是工程应用题的一般解法，虽思路较繁，但容易想到.例 4 如图是表示甲、乙、丙三个工程队单独完成某项工程所需天数的条形图.请计算：甲、乙两队合做 4 天后，剩下的工程由丙队做，丙队还要做几天才能完成任务（广东省深圳市）【分析 1】先求出甲、乙两队合做 4 天完成了工程的几分之几，再求剩下的工程，再除以丙队每天的工作量，即得丙队还要做的天数.【解法 1】甲、乙合做 4 天完成的工程 剩下的工程有多少 1-=丙队还要几天完成 （天）综合算式：1-=1-4 =1-=（天）.【分析 2】先求出甲、乙合做 4 天的工作量由丙队独
10、做需要几天，再用丙独做全工程用的15 天减去这个天数，即得丙队还要做的天数.【解法 2】甲、乙合做 4 天完成多少 =甲、乙合做的工程由丙独做需几天 =11（天）剩下的工程丙队还要几天完成 15-11=4（天）综合算式：15-=15-4 =15-=15-11=4（天）.【分析 3】把丙队独做全工程需用天数看作“1”.先求出甲、乙合做后剩下的工程，即丙队还要做天数的对应分率，最后求出剩下工程丙队还需几天完.【解法 3】甲、乙合做了工程的几分之几 还剩下全工程的几分之几 1-=丙队完成剩下的工程还需几天 15=4（天）综合算式：151-=151-=15=4（天）.【分析 4】根据“剩下工程=总工程
11、-甲乙合做的工程”这一等量关系，列方程解.【解法 4】设丙队还要 x 天完成.=1-=1-x=x=4 答：丙队还要做 4 天才能完成任务.【评注】比较以上四种解法，解法 1 和解法 3 是较好的解法.解法 1 是解工程应用题的一般方法，容易理解.解法 3 是运用分数乘法应用题的解法，比解法 1 的思路更直接.另外，本题还可用最小公倍法和正比例来解，读者可试解一下.例 5 一项工程，甲、乙两队合做 20 天完成.已知甲、乙两队工作效率的比是 45.甲乙两队单独完成这项工程各需要多少天（福建省福州市）【分析 1】甲乙两队的工作效率和是，又知甲乙工作效率的比是 45，由此运用按比例分配的方法，分别求
12、出甲、乙两队的工作效率.再用总工作量“1”分别除以甲乙的独做效率，即得甲乙独做全工程的天数.【解法 1】甲队每天完成多少工程 乙队每天完成多少工程 甲队独做全工程需几天 1=45（天）乙队独做全工程需几天 1=36（天）综合算式：甲队：1（）=1=45（天）乙队：1（）=1=36（天）.【分析 2】因为“工作量工作效率=工作时间”，工作时间一定，所以工作量和工作效率成正比例.即甲乙两队工作量的比是 45，所以甲 20 天完成了全工程的，乙队 20 天完成了全工程的.由此可分别求出甲、乙独做全工程各需多少天.【解法 2】甲队独做全工程需要多少天 20=20=45（天）乙队独做全工程需要多少天 2
13、0=20=36（天）【分析 3】由分析 2 可知，甲乙完成工作量的比是 45.因为他们的工作效率一定，所以他们各自完成的工作量与所需的时间成正比例.由此可分别列比例式，求出两队的独做时间.【解法 3】设甲队独做需 x 天完.204=x（4+5）4x=209 x=2094 x=45 设乙队独做全工程需要 y 天.205=y（4+5）5y=209 y=2095 y=36 答：略.【评注】解法 1 是解工程应用题的一般方法，易于理解，但思路较曲折.解法 2 是运用分数除法应用题的方法来解的，思路简单明白，运算也较简便，是本题的较好解法.解法 3 虽与解法 2 的思路、方法都不同，但两者的数量关系是相
14、同的.例 6 修一段公路，甲队单独修需要 16 小时完工.甲乙两队合修 4 小时后，剩下的由乙队又用小时修完.这段公路全部由乙队修筑需要几小时完工（黑龙江省哈尔滨市南岗区）【分析 1】乙队先后共修了 4+=小时.先求乙队共修了这段路的几分之几，再求乙队的工作效率，最后看这段公路“1”里包含几个乙队的工作效率，即乙队独修需几小时.【解法 1】乙队共修了全长的几分之几 1-4=乙队先后共修了几小时 4+=（小时）乙队每小时修全长的几分之几 乙队独修全长需几小时 1=14（小时）综合算式：1（1-4）（4+）=1（1-）=1 =1=14（小时）.【分析 2】把乙队独修全长需要的时间看作“1”.由分析
15、 1 可知，乙队先后共修了小时，修了全长的，根据分数除法的意义求出乙队独修全长需要几小时.【解法 2】（4+）（1-4）=14（小时）.【分析 3】根据“甲队修路+乙队修路=全路长”这一等量关系列方程解.【解法 3】设乙队独修需 x 小时完.4+（4+）=1 =1-x=1 x=14 答：这段公路由乙队独修需 14 小时完工.【评注】比较以上三种解法，解法 2 的思路最简捷，运算最简便，是本题的最佳解法.例 7 一项工程甲队单独做要 15 天才能完成，乙队单独做 12 天才能完成，如果甲队先做 3天后，剩余的工作两队同时去做，还要多少天可以完成（四川省成都市）【分析 1】先求出甲队先完成了工程的
16、几分之几，那么即可求出剩下的工程，再用剩下的工程除以甲、乙队的工作效率和，即得甲、乙队合做还要多少天完.【解法 1】甲队先做了多少 3=剩余的工作有多少 1-=两队合做还要多少天完 （）=（天）综合算式：（1-3）（）=（1-）=（天）.【分析 2】把两队合做全工程的时间看作“1”.先求出两队做全工程需要多少天，再求剩余的工程是全工程的几分之几，最后求出两队还要多少天完成.【解法 2】甲乙合做全工程需要几天 1（）=（天）两队要合做全工程的几分之几 1-3=两队还要多少天可以完成 =（天）综合算式：1（）（1-3）=1 =（天）.【分析 3】根据“甲队先做的工作量+两队合做的工作量=工作总量”
17、列方程解.【解法 3】设两队还要 x 天完成.3+（）x=1 x=（1-）x=【分析 4】剩余的工作由甲独做要用 15-3=12（天）.把剩余的工作看作定量，那么所需的时间和工作效率成反比例.由此列方程解.【解法 4】设两队合做还要 x 天完.（15-3）=（）x 12=x x=x=答：剩余的工作两队还要天可以完成.【评注】以上四种解法各有特点.解法 1 是一般解法，最容易想到，运算较简便，是较好的解法.解法 2 是分数应用题的解法，思路更直接.解法 3 和解法 4 都是方程解法，但等量关系不同.读者可灵活选用.例 8 仓库有 45 吨化肥，甲汽车单独运 10 小时完成，乙汽车单独运 15 小
18、时完成.用甲乙两辆汽车同时运，多少小时可以运完（江苏省江都县）【分析 1】先求两车每小时各运多少吨，再求两车每小时共运多少吨，最后用总吨数除以两车每小时运的，即得两车同运所需时间.【解法 1】甲车每小时运多少吨 4510=（吨）乙车每小时运多少吨 4515=3（吨）两车每小时运多少吨 +3=（吨）两车同时运需几小时运完 45=6（小时）综合算式：45+（4510+4515）=45（+3）=45=6（小时）。【分析 2】先求出两车每小时共运总吨数的几分之.几再求两车每小时共运多少吨，再看总吨数里包含几个这样的吨数，就是两队合运需几小时.【解法 2】两车每小时运货的几分之几 两车每小时运货多少吨
19、45=（吨）两车合运几小时完成 45=6（小时）综合算式：4545（）=4545 =45=6（小时）.【分析 3】甲车每小时运化肥的，乙车每小时运化肥的，两车每小时运化肥的（）=.把化肥总吨数看作“1”，“1”里包含几个，就是两车同运几小时完成.【解法 3】1（）=1=6（小时）.【分析 4】根据“甲车运肥+乙车运肥=化肥总量”这一等量关系列方程解.【解法 4】设两车同运 x 小时完.x+x=1 （）x=1 x=1 x=6 或（）x=1 x=1（）x=6 答：两车同时运 6 小时可以完成.【评注】比较以上四种解法，解法 3 的思路最简捷，运算最简便，是本题的最佳解法.例 9 甲乙两地相距 63
20、0 千米，客车和货车同时从两地出发，相向而行.客车行完全程需 14小时，货车行完全程需 21 小时.两车相遇时各行了多少千米（上海市徐汇区）【分析 1】先求客车和货车的速度各多少，再求两车的相遇时间，最后用两车的速度分别乘以相遇时间，即得每车各行多少千米.【解法 1】客车每小时行多少千米 63014=45（千米）货车每小时行多少千米 63021=30（千米）两车几小时相遇 630（45+30）=（小时）相遇时客车行多少千米 45=378（千米）相遇时货车行多少千米 30=252（千米）综合算式：客车：63014630（63014+63021）=45630（45+30）=45=378（千米）货车
21、：630-378=252（千米）【分析 2】先求出甲车的速度，再运用工程应用题的解法求两车的相遇时间，然后用甲车速度乘以相遇时间即得甲车行多少千米.最后再求货车的行程.【解法 2】客车每小时行多少千米 63014=45（千米）两车几小时相遇 1()=（小时）客车行了多少千米 45=378（千米）货车行多少千米 630-378=252（千米）综合算式：客车：（63014）1（）=451=45=378（千米）货车：630-378=252（千米）【分析 3】因为“路程速度=时间”，时间一定，所以客车和货车的路程比等于速度比即=32.由此可运用按比例分配的方法分别求出两车各行了多少千米.【解法 3】客
22、车与货车所行路程的比 =32 客车行了多少千米 630=378（千米）货车行了多少千米 630=252（千米）综合算式：客车：630=378（千米）货车：630=252（千米）.答：略.【评注】比较以上三种解法，解法 1 最繁，但其思维难度小，也最容易想到.解法 3 的思路简单明白，运算最简便，是本题最佳解法.如果由分析 3 继续分析，运用分数应用题解法也可求出两车各行多少千米.例 10 一项工程，甲单独做 40 天完成，乙单独做 30 天完成，二人合做若干天后，甲临时调走，乙继续完成这项工程，一共用 27 天.求乙单独工作了多少天（黑龙江省哈尔滨市）【分析 1】把全工程看作“1”.先求出乙共
23、完成的工程，再求出甲完成的工程，然后再除以甲的工作效率即得甲做了几天，即甲乙合做的天数.最后用 27 天减去甲乙合做的天数，即得乙单独做了多少天.【解法 1】乙共完成工程的几分之几 27=甲完成了工程的几分之几 1-=甲乙合做了多少天 =4（天）乙单独做了多少天 27-4=23（天）综合算式：27-（1-27）=27-=27-4=23（天）.【分析 2】假设甲没有被调走，那么甲乙合做 27 天要超过全工程的（）27-1=.这部分工程就是甲留下完成的，因此求出甲完成工程的需要几天，就是乙单独又做了几天.【解法 2】甲乙的效率和是多少 =甲乙合做 27 天完成工程的几分之几 27=超过全工程的几分
24、之几 -1=乙单独工作了多少天 =23（天）综合算式：（）27-1 =27-1 =-1 =23（天）.【分析 3】根据“甲乙合做的工作量+乙单独做的工作量=总工作量”列方程解.【解法 3】设乙单独工作了 x 天.（）（27-x）+x=1 27-x+x=1 （-）x=27-1 x=23 【分析 4】甲乙合做全工程需要 1（）=（天），那么实际多用 27-=（天）.这是因为甲应完成的工作由乙天完成，由此可求若甲不调走，甲还应做（天），所以乙独做的时间为+=23（天）.【解法 4】甲乙合做全工程需几天 1（）=（天）全工程延长了几天 27-=（天）乙天的工作量甲需几天完 （天）乙单独做了几天 +=23（天）.【分析 5】假设乙独做 27 天完成全工程，那么比它实际每天多做全工程的.这是因为把甲完成的工作量平均分了 27 等份，每份恰是.因此把每份工作量乘以 27 即得甲完成的工作量，再除以甲的工作效率，即得甲乙合做天数，由此可求乙独做了多少天.【解法 5】27-（）27 =27-2740 =27-4=23（天）.答：乙单独工作了 23 天.【评注】比较以上五种解法，解法 1、解法 2、解法 5 各有特点，是本题的较好解法.读者可根据实际情况，选择合适的方法.