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1、直接证明和间接证明(4 个课时)教案 1/18 22 直接证明与间接证明 教学目标：（1）理解证明不等式的三种方法：比较法、综合法和分析法的意义；（2）掌握用比较法、综合法和分析法证明简单的不等式；（3）能根据实际题目灵活地选择适当地证明方法；（4）通过不等式证明，培养学生逻辑推理论证的能力和抽象思维能力.教学建议：1知识结构:（不等式证明三种方法的理解）=（简单应用）=（综合应用）2重点、难点分析 重点：不等式证明的主要方法的意义和应用；难点：理解分析法与综合法在推理方向上是相反的；综合性问题证明方法的选择 （1）不等式证明的意义 不等式的证明是要证明对于满足条件的所有数都成立（或都不成立）
2、，而并非是带入具体的数值去验证式子是否成立 （2）比较法证明不等式的分析 在证明不等式的各种方法中，比较法是最基本、最重要的方法 证明不等式的比较法，有求差比较法和求商比较法两种途径 直接证明和间接证明(4 个课时)教案 2/18 由于 aba-b0，因此，证明 ab，可转化为证明与之等价的 a-b0 这种证法就是求差比较法 由于当 b0 时,ab(ab)1，因此，证明 ab(b0),可以转化为证明与之等价的(ab)1(b0)这种证法就是求商比较法，使用求商比较法证明一定要注意(b0)这一前提条件 求差比较法的基本步骤是：“作差变形断号”其中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的 变形的方
3、法一般有配方法、通分法和因式分解法等，变成能够判断出差的符号是正或负的数(或式子)即可.作商比较法的基本步骤是：“作商变形判断商式与 1 的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于证明不等号两侧的式子同号的不等式 （3）综合法证明不等式的分析 利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法 综合法的思路是“由因导果”：从已知的不等式出发，通过一系列已知条件推导变换，推导出求证的不等式 综合法证明不等式的逻辑关系是：（已知）=（逐步推演不等式成立的必要条件）=（结论）（4）分析法证明不等式的分析 直接证明和间接证明(4 个课时)教案 3/18
4、从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的充分条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不等式成立，这种证明方法就是分析法 有时，我们也可以首先假定所要证明的不等式成立，逐步推出一个已知成立的不等式，只要这个推出过程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以断定所给的不等式成立这也是用分析法，注意应强调“以上每一步都可逆”，并说出可逆的根据 分析法的思路是“执果导因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件直至已成立的不等式它与综合法是对立统一的两种方法 用分析法证明不等式的逻辑关系是：（已知）=（逐步推演不等式成立的必要条件）0,b0,当且仅当a=b时取“=”号.(4)当a,b同号时有abb
5、a2,当且仅当a=b时取“=”号.(5)33abccba(a0,b0,c0),当且仅当a=b=c时取“=”号.(6)a3+b3+c33abc(a0,b0,c0),当且仅当a=b=c时取“=”号.教学难点“由因导果”时,从哪个不等式出发合适是综合法证明不等式的难点.教学过程 1.课题导入 师同学们,前面我们学习了两个正数的算术平均数与几何平均数的关系定理及其几个重要的不等式.(打出投影片6.3.3 A,引导学生复习“算术平均数与几何平均数”的关系定理，阅读投影片6.3.3 A)我们要掌握下面重要的不等关系:(1)a20,或(ab)20;(2)a2+b22ab,a2+b2-2ab,即a2+b22|
6、ab|;(3)abba2,(a,bR+),当且仅当a=b时取“=”号;(4)ab222ba,(a,bR);ab(2ab)2,(a,bR+),当且仅当a=b时取“=”号;直接证明和间接证明(4 个课时)教案 11/18(5)abba2,(ab0),当且仅当a=b时取“=”号；（6）33abccba,(a,b,cR+),当且仅当a=b=c时取“=”号；（7)a3+b3+c33abc,(a,b,cR+),当且仅当a=b=c时取“=”号.今天，我们在上一节课学习“比较法”证明不等式的基础上，继续学习证明不等式的一种常用的重要的方法综合法.2.讲授新课 一般地，从已知条件出发，利用定义、定理、性质等，经
7、过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法。综合法有较顺利推证法或有引导果法。下面，我们探索研究用“综合法”证明不等式.例 1已知a,b,c是不全相等的正数，求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc.分析：观察题目，不等式左边含有“a2+b2”的形式，我们可以创设运用基本不等式：a2+b22ab;还可以这样思考：不等式左边出现有三次因式：a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2的“和”，右边有三正数a,b,c的“积”，我们可以创设运用重要不等式：a3+b3+c33abc.(教师引导学生，完成证明）证法一：a0,b2+c22bc 由不等式的性质定理
8、 4，得 a(b2+c2)2abc.同理b(c2+a2)2abc,c(a2+b2)2abc.因为a,b,c为不全相等的正数，所以b2+c22bc,c2+a22ca,a2+b22ab三式不能全取“=”号，从而,三式也不能全取“=”号.由不等式的性质定理 3 的推论，,三式相加得：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc.证法二：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)=ab2+ac2+bc2+ba2+ca2+cb2=(a2b+b2c+c2a)+(ab2+bc2+ca2)a,b,c为不全相等的正数.a2b+b2c+c2a33233cba=3abc ab2+bc2+c
9、a233333cba=3abc 由不等式的性质定理 3 的推论，得 a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc.总结：1.“综合法”证明不等式就是从已知（或已经成立）的不等式或定理出发，结合不等式性质，逐步推出（由因导果）所证的不等式成立.2.在利用综合法进行不等式证明时，要善于直接运用或创设条件运用基本不等式，其中拆项、并项、分解、组合是变形的重要技巧.用 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q 表示所要证明的结论.1PQ 12QQ 23QQ特点:“由因导果”则综合法用框图表示为:nQQ 直接证明和间接证明(4 个课时)教案 12/18 例 2：在中，三个内角、对应
10、的边分别为 a、b、c，且、成等差数列，a、b、c 成等比数列，求证为等边三角形 3、课堂练习 1、在 ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 A，B，C 成等差数列，求证：113abbcabc 4、课后作业 1abb Cba11 Db2a2 2a,bR+，M=2111,2,222baHabGbaAba，则 M、A、G、H 间的大小关系是（）AMAGH BMHAG CAGMH DAGHM 30a1,0b1，且 ab，则下式中最大的是 （）Aa2+b2 Ba+b C2ab D2ab 4、已知 a2b2c21，求证：21 abbcca1.cbacabbacabccba为正
11、实数，求证：、已知：,5 :?分析 由A,B,C成等差数列可得什么由a,b,c成等比数列可得什么直接证明和间接证明(4 个课时)教案 13/18 第三课时 分析法 教学目标(一)教学知识点 分析法证明不等式.(二)能力训练要求 1.理解分析法证明不等式的原理和思路.2.理解分析法的实质执果索因,熟练掌握分析法证明不等式.(三)德育渗透目标 分析法证明不等式意在提高学生的数学素质,培养学生的创新意识,加强学生分析问题和解决问题的逻辑思维及推理能力,进一步使学生认识到事物间是有联系的辩证唯物主义观念.教学重点 分析法证明不等式,就是“执果索因”,从所证的不等式出发,不断用充分条件代替前面的不等式,
12、直至使不等式成立的条件已具备,就断定原不等式成立.当证题不知从何入手时,有时可以运用分析法而获得解决,特别对于条件简单而结论复杂的题目往往是行之有效的方法.用分析法论证“若A则B”这个命题的模式是:欲证命题B为真,只需证明命题B1为真,从而又只需证明命题B2为真,从而又只需证明命题A为真,今已知A真,故B必真.简写为:BB1B2BnA.教学难点 1.理解分析法的本质是从结论分析出使结论成立的“充分”条件.2.正确使用连接有关(分析推理)步骤的关键词.如“为了证明”“只需证明”“即”以及“假定成立”等.教学过程 1.课题导入 师随着我们对不等式证明学习的逐步深入,我们还会遇到这样的问题:面对一个
13、不等式的证明而一筹莫展,无计可施,由题设不易“切入”展开推理.在此情况下,我们可以尝试从目标不等式“倒推”分析,往往在“倒推”的过程中,逐渐发现解题思路,从而达到证明不等式的目的.今天,我们根据这种基本思路,继续探讨学习证明不等式的又一种重要方法分析法.2.讲授新课 证明不等式时,有时可以从求证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、定理或以证明的定理、性质等）从而得出要证的命题成立，.这种证明方法通常叫做分析法.这是一种执果索因的思考和证明方法 下面,我们探索分析用“分析法”证明不等式.1 (0,0)2abab ab例求证基本不等式 2 27
14、36例求证 22:2736,2736,(27)(36),92 1492 18,1418,1418,1418,2736.证明和都是正数所以要证只需证展开得只需证只需证成立所以成立 直接证明和间接证明(4 个课时)教案 14/18 说明：证明某些含有根式的不等式时,用综合法比较困难.例如,在本例中,我们很难想到从“140，b0，且 a+b=1，求证：221212ba.39)11)(11(1,yxyxyx，求证：是正实数，若 42cos42sin31tan2tan1，求证：已知 直接证明和间接证明(4 个课时)教案 15/18 第 4 课时 反证法 教学目标(一)教学知识点 1.反证法的概念.2.反
15、证法证题的基本方法.(二)能力训练要求 1.初步掌握反证法的概念.2.理解反证法证题的基本方法.3.培养学生用反证法简单推理的技能.(三)德育渗透目标 培养学生通过事物的结论的反面出发，进行推理，使之引出矛盾，从而证明事物的结论成立的简单推理能力与思维能力.教学重点 1.理解反证法的推理依据.2.掌握反证法证明命题的方法.3.反证法证题的步骤.教学难点 理解反证法的推理依据及方法.教学过程 1.复习：证明不等式的常用方法：比较法、综合法、分析法.2.讲授新课 反证法:先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理,定义,定理,性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定
16、理,性质,明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,这种方法称为反证法.对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证明.111 ,0,2,2.xyx yxyyx例已知且试证中至少有一个小于 1111:,2,2,2,0,12,12,22()2,112.2xyxyyxyxx yxyyxxyxyxyxyxyyx 证明 假设都不小于 即且这与已知条件矛盾与中至少有一个小于 例 2、设 0 a,b,c 41,(1 b)c 41,(1 c)a 41,则三式相乘：ab (1 a)b(1 b)c(1 c)a 641 又0 a,b,c 0,y 0,yxyxa1,yyxxb11，求证：a b 直接证明和间接证明(4 个课时)教案 18/18)(12121111212Nnnnnn、