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1、 七夕，古今诗人惯咏星月与悲情。吾生虽晚，世态炎凉却已看透矣。情也成空，且作“挥手袖底风罢。是夜，窗外风雨如晦，吾独坐陋室，听一曲?尘缘?，合成诗韵一首，觉放诸古今，亦独有风韵也。乃书于纸上。毕而卧。凄然入梦。乙酉年七月初七。-啸之记。难点 24 直线与圆锥曲线 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次，有利于选拔的功能.难点磁场()椭圆的中心在坐标原点 O，焦点在坐标轴上
2、，直线 y=x+1 与椭圆交于 P 和Q，且 OPOQ，|PQ|=210，求椭圆方程.案例探究 例 1 如下图，抛物线 y2=4x 的顶点为 O，点 A 的坐标为(5，0)，倾斜角为4的直线 l 与线段 OA 相交(不经过点 O 或点 A)且交抛物线于 M、N 两点，求AMN 面积最大时直线 l 的方程，并求AMN 的最大面积.命题意图：直线与圆锥曲线相交，一个重要的问题就是有关弦长的问题.此题考查处理直线与圆锥曲线相交问题的第一种方法“韦达定理法.属级题目.知识依托：弦长公式、三角形的面积公式、不等式法求最值、函数与方程的思想.错解分析：将直线方程代入抛物线方程后，没有确定 m 的取值范围.
3、不等式法求最值忽略了适用的条件.技巧与方法：涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算.解：由题意，可设 l 的方程为 y=x+m,5m0.由方程组xymxy42,消去 y,得 x2+(2m4)x+m2=0 直线 l 与抛物线有两个不同交点 M、N，方程的判别式=(2m4)24m2=16(1m)0,解得 m1,又5m0,m 的范围为(5，0)设 M(x1,y1),N(x2,y2)那么 x1+x2=42m，x1x2=m2,|MN|=4)1(2m.点 A 到直线 l 的距离为 d=25m.S=2(5+m)m1,从而 S2=4(1m)(5+
4、m)2=2(22m)(5+m)(5+m)2(35522mmm)3=128.S82,当且仅当 22m=5+m,即 m=1 时取等号.故直线 l 的方程为 y=x1，AMN 的最大面积为 82.例 2双曲线 C：2x2y2=2 与点 P(1，2)(1)求过 P(1，2)点的直线 l 的斜率取值范围，使 l 与 C 分别有一个交点，两个交点，没有交点.(2)假设 Q(1，1)，试判断以 Q 为中点的弦是否存在.命题意图：第一问考查直线与双曲线交点个数问题，归结为方程组解的问题.第二问考查处理直线与圆锥曲线问题的第二种方法“差分法，属级题目.知识依托：二次方程根的个数的判定、两点连线的斜率公式、中点坐
5、标公式.错解分析：第一问，求二次方程根的个数，忽略了二次项系数的讨论.第二问，算得以Q 为中点弦的斜率为 2，就认为所求直线存在了.技巧与方法：涉及弦长的中点问题，常用“差分法设而不求，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，相互转化.解：(1)当直线 l 的斜率不存在时，l 的方程为 x=1,与曲线 C 有一个交点.当 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y2=k(x1),代入 C 的方程，并整理得(2k2)x2+2(k22k)xk2+4k6=0 (*)()当 2k2=0,即 k=2时，方程(*)有一个根，l 与 C 有一个交点()当 2k20,即 k2时=2(k22k)24(2k2)
6、(k2+4k6)=16(32k)当=0,即 32k=0,k=23时，方程(*)有一个实根，l 与 C 有一个交点.当0,即 k23,又 k2,故当 k2或2k2或2k23时，方程(*)有两不等实根，l 与 C 有两个交点.当0，即 k23时，方程(*)无解，l 与 C 无交点.综上知：当 k=2,或 k=23，或 k 不存在时，l 与 C 只有一个交点；当2k23,或2k2,或 k2时，l 与 C 有两个交点；当 k23时，l 与 C 没有交点.(2)假设以 Q 为中点的弦存在，设为 AB，且 A(x1,y1),B(x2,y2)，那么 2x12y12=2,2x22y22=2两式相减得：2(x1
7、x2)(x1+x2)=(y1y2)(y1+y2)又x1+x2=2,y1+y2=2 2(x1x2)=y1y1 即 kAB=2121xxyy=2 但渐近线斜率为2,结合图形知直线 AB 与 C 无交点，所以假设不正确，即以 Q 为中点的弦不存在.例 3如图，某椭圆的焦点是 F1(4，0)、F2(4，0)，过点 F2并垂直于 x 轴的直线与椭圆的一个交点为 B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点 A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列.(1)求该弦椭圆的方程；(2)求弦 AC 中点的横坐标；(3)设弦 AC 的垂直平分线的方程为 y=k
8、x+m，求 m 的取值范围.命题意图：此题考查直线、椭圆、等差数列等根本知识，一、二问较简单，第三问巧妙地借助中垂线来求参数的范围，设计新颖，综合性，灵活性强，属级题目.知识依托：椭圆的定义、等差数列的定义，处理直线与圆锥曲线的方法.错解分析：第三问在表达出“k=3625y0时，忽略了“k=0时的情况，理不清题目中变量间的关系.技巧与方法：第一问利用椭圆的第一定义写方程；第二问利用椭圆的第二定义(即焦半径公式)求解，第三问利用 m 表示出弦 AC 的中点 P 的纵坐标 y0,利用 y0的范围求 m 的范围.解：(1)由椭圆定义及条件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得 a=5,又 c=4
9、,所以 b=22ca=3.故椭圆方程为92522yx=1.(2)由点 B(4,yB)在椭圆上，得|F2B|=|yB|=59.因为椭圆右准线方程为 x=425,离心率为54，根据椭圆定义，有|F2A|=54(425x1),|F2C|=54(425x2)，由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得 54(425x1)+54(425x2)=259,由此得出：x1+x2=8.设弦 AC 的中点为 P(x0,y0),那么 x0=221xx=4.(3)解法一：由 A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上.得25925925925922222121yxyx 得 9(x12x22)+25(y12y2
10、2)=0,即 9)()2(25)2(21212121xxyyyyxx=0(x1x2)将kxxyyyyyxxx1,2,422121021021(k0)代入上式，得 94+25y0(k1)=0(k0)即 k=3625y0(当 k=0 时也成立).由点 P(4，y0)在弦 AC 的垂直平分线上，得 y0=4k+m,所以 m=y04k=y0925y0=916y0.由点 P(4，y0)在线段 BB(B与 B 关于 x 轴对称)的内部，得59y059,所以516m516.解法二：因为弦 AC 的中点为 P(4,y0)，所以直线 AC 的方程为 yy0=k1(x4)(k0)将代入椭圆方程92522yx=1,
11、得(9k2+25)x250(ky0+4)x+25(ky0+4)2259k2=0 所以 x1+x2=259)4(5020kk=8,解得 k=3625y0.(当 k=0 时也成立)(以下同解法一).锦囊妙计 1.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.2.当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系
12、灵活转化，往往就能事半功倍.歼灭难点训练 一、选择题 1.()斜率为 1 的直线 l 与椭圆42x+y2=1 相交于 A、B 两点，那么|AB|的最大值为()A.2 B.554 C.5104 D.5108 2.()抛物线 y=ax2与直线 y=kx+b(k0)交于 A、B 两点，且此两点的横坐标分别为 x1,x2,直线与 x 轴交点的横坐标是 x3,那么恒有()A.x3=x1+x2 B.x1x2=x1x3+x2x3 C.x1+x2+x3=0 D.x1x2+x2x3+x3x1=0 二、填空题 3.()两点 M(1，45)、N(4，45)，给出以下曲线方程：4x+2y1=0,x2+y2=3,22x
13、+y2=1,22xy2=1,在曲线上存在点 P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是_.4.()正方形 ABCD 的边 AB 在直线 y=x+4 上，C、D 两点在抛物线 y2=x 上，那么正方形 ABCD 的面积为_.5.()在抛物线 y2=16x 内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_.三、解答题 6.()抛物线 y2=2px(p0),过动点 M(a,0)且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交于不同的两点 A、B，且|AB|2p.(1)求 a 的取值范围.(2)假设线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N，求NAB 面积的最大值.7.()中心在原点，顶点 A1、A2在
14、 x 轴上，离心率 e=321的双曲线过点 P(6，6).(1)求双曲线方程.(2)动直线 l 经过A1PA2的重心 G，与双曲线交于不同的两点 M、N，问：是否存在直线 l,使 G 平分线段 MN，证明你的结论.8.()双曲线 C 的两条渐近线都过原点，且都以点 A(2，0)为圆心，1 为半径的圆相切，双曲线的一个顶点 A1与 A 点关于直线 y=x 对称.(1)求双曲线 C 的方程.(2)设直线 l 过点 A，斜率为 k,当 0k1 时，双曲线 C 的上支上有且仅有一点 B 到直线l 的距离为2，试求 k 的值及此时 B 点的坐标.参考答案 难点磁场 解：设椭圆方程为 mx2+ny2=1(
15、m0,n0)，P(x1,y1),Q(x2,y2)由1122nymxxy 得(m+n)x2+2nx+n1=0,=4n24(m+n)(n1)0,即 m+nmn0,由 OPOQ,所以 x1x2+y1y2=0,即 2x1x2+(x1+x2)+1=0,nmnnmn2)1(2+1=0,m+n=2 又 2)210()(4nmmnnm2,将 m+n=2,代入得 mn=43 由、式得 m=21,n=23或 m=23,n=21 故椭圆方程为22x+23y2=1 或23x2+21y2=1.歼灭难点训练 一、1.解析：弦长|AB|=55422t5104.答案：C 2.解析：解方程组bkxyaxy2,得 ax2kxb=
16、0,可知 x1+x2=ak,x1x2=ab,x3=kb,代入验证即可.答案：B 二、3.解析：点 P 在线段 MN 的垂直平分线上，判断 MN 的垂直平分线于所给曲线是否存在交点.答案：4.解析：设 C、D 所在直线方程为 y=x+b,代入 y2=x,利用弦长公式可求出|CD|的长，利用|CD|的长等于两平行直线 y=x+4 与 y=x+b 间的距离，求出 b 的值，再代入求出|CD|的长.答案：18 或 50 5.解析：设所求直线与 y2=16x 相交于点 A、B，且 A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得y12=16x1,y22=16x2,两式相减得，(y1+y2(y1y2)
17、=16(x1x2).即21212116yyxxyykAB=8.故所求直线方程为 y=8x15.答案：8xy15=0 三、6.解：(1)设直线 l 的方程为：y=xa,代入抛物线方程得(xa)2=2px,即 x22(a+p)x+a2=0|AB|=224)(42apa2p.4ap+2p2p2,即 4app2 又p0,a4p.(2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB 的中点 C(x,y),由(1)知，y1=x1a,y2=x2a,x1+x2=2a+2p,那么有 x=222,2212121axxyyypaxx=p.线段 AB 的垂直平分线的方程为 yp=(xap),从而 N 点坐标为(a+2p
18、,0 点 N 到 AB 的距离为papa22|2|从而 SNAB=2222224)(4221papppapa 当 a 有最大值4p时，S 有最大值为2p2.7.解：(1)如图，设双曲线方程为2222byax=1.由得321,16622222222abaeba,解得a2=9,b2=12.所以所求双曲线方程为12922yx=1.(2)P、A1、A2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(3，0，其重心 G 的坐标为(2，2 假设存在直线 l，使 G(2，2)平分线段 MN，设 M(x1,y1)，N(x2,y2).那么有 34912441089121089122121212122222121xxyyy
19、yxxyxyx，kl=34 l 的方程为 y=34(x2)+2,由)2(3410891222xyyx,消去 y,整理得 x24x+28=0.=164280,所求直线 l 不存在.8.解：(1)设双曲线的渐近线为 y=kx,由 d=1|2|2kk=1,解得 k=1.即渐近线为 y=x,又点 A 关于 y=x 对称点的坐标为(0，2).a=2=b,所求双曲线 C 的方程为 x2y2=2.(2)设直线 l：y=k(x2)(0k1),依题意 B 点在平行的直线 l上，且 l 与 l间的距离为2.设直线 l：y=kx+m,应有21|2|2kmk,化简得 m2+22km=2.把 l代入双曲线方程得(k21)x2+2mkx+m22=0,由=4m2k24(k21)(m22)=0.可得 m2+2k2=2 、两 式 相 减 得 k=2m,代 入 得 m2=52,解 设 m=510,k=552,此 时x=2212kmk,y=10.故 B(22,10).