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1、七夕，古今诗人惯咏星月与悲情。吾生虽晚，世态炎凉却已看透矣。情也成空，且作挥手袖底风罢。是夜，窗外风雨如晦，吾独坐陋室，听一曲?尘缘?，合 成诗韵一首，觉放诸古今，亦独有风韵也。乃书于纸上。毕而卧。凄然入梦。乙 酉年七月初七。-啸之记。难点 24 直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，压轴题出现，主要涉及位置突出考查了数形结合、分类讨要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生档次，有利于选拔的功能难点磁场椭圆的中心在坐标原点P 和 Q，且 0P 丄 0Q，
2、IPQF-10，求椭圆方程案例探究例 1 如以下图，抛物线 y2=4x 的顶点为 0，点 A 的坐标为5，0，倾斜角为一的直线 I 与线段 OA 相交不经过点 O 或点 A且交抛物线0，焦点在坐标轴上，直线 y=x+1 与椭圆交于4于 M、N 两点，求 AMN 面积最大时直线 I 的方程，并求 AMN 的最大面积命题意图：直线与圆锥曲线相交，一个重要的问题就是有关弦长的问题此题考查处理直线与圆锥曲线相交问题的第一种方法一一“韦达定理法级题目知识依托：弦长公式、三角形的面积公式、不等式法求最值、函数与方程的思想错解分析：将直线方程代入抛物线方程后，没有确定略了适用的条件技巧与方法：涉及弦长问题，
3、应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算解：由题意，可设 I 的方程为 y=x+m,5vmv0.涉及垂直关系属m 的取值范围不等式法求最值忽y x m由方程组2ccy 4x，消去 y,得 x2+(2m 4)x+m2=0直线 I 与抛物线有两个不同交点M、N，方程的判别式A=(2m 4)2 4m2=i6(1 m)0,解得 mv1,又一 5vmv0,m 的范围为(一 5，0)设 M(xi,yi),N(x2,y2)贝 y xi+x2=4 2m，xi X2=m2,|MN|=42(1 m).点 A 到直线 l 的距离为 d=dj.彳2S=2(5+m)J1m,从而 SA
4、2=4(1 m)(5+m)22 2m 5 m 5 m、3=2(22m)(5+m)(5+m)w2()3=128.3 S 0,即 kv3,又 kz2，故当 kv2或一2vkv2或2vkv-时，方2 2程(*)有两不等实根，I 与 C 有两个交点 当Av0,即卩 k3时，方程(*)无解，|与 C 无交点.2综上知：当 k=2,或 k=3，或 k 不存在时，I 与 C 只有一个交点；2当2vkv3,或2vkv-2，或 kv2时，I 与 C 有两个交点；2当 k -时，I 与 C 没有交点2假设以 Q 为中点的弦存在，设为 AB,且 A(X1,y1),B(X2,y2)，那么 2x12 y，=2,2x22
5、y22=2 两式相减得：2(X1 X2)(X1+X2)=(y1 y2)(y1+y2)又T X1+x2=2,y1+y2=2 2(X1 X2)=y1 y1即 kAB=1y2=2XX12但渐近线斜率为土.2，结合图形知直线 AB 与 C 无交点，所以假设不正确，即以中点的弦不存在例 3如图，某椭圆的焦点是Q 为Fi(4,0)、F2(4,0)，过点 F2并垂直于 x 轴的直A(xi,yi),C(X2,y2)满足条件：线与椭圆的一个交点为B，且|FiB|+|F2B|=10,椭圆上不同的两点|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列(1)求该弦椭圆的方程；求弦 AC 中点的横坐标；设弦 AC 的垂直平分
6、线的方程为y=kx+m，求 m 的取值范围命题意图：此题考查直线、椭圆、等差数列等根本知识，一、二问较简单，第三问巧妙地借助中垂线来求参数的范围，设计新颖，综合性，灵活性强，属级题目知识依托：椭圆的定义、等差数列的定义，处理直线与圆锥曲线的方法25错解分析：第三问在表达出“k=量间的关系技巧与方法：第一问利用椭圆的第一定义写方程；第二问利用椭圆的第二定义36yo时，忽略了“k=0时的情况，理不清题目中变(即焦半径公式)求解，第三问利用 m 表示出弦 AC 的中点 P 的纵坐标 yo利用 yo的范围求 m 的范围解：(1)由椭圆定义及条件知，2a=|FiB|+|F2B|=10,得 a=5,又 c
7、=4,所以 b=】a2c2=3.2 2故椭圆方程为1=1.25995254(2)由点 B(4,yB)在椭圆上，得|F2B|=|yB|=因为椭圆右准线方程为 x=，离心率为，根据椭圆定义，有|F2A|=(Xi),|F2C|=(X2),5 4由|F2A|、|F2B|、|F2C 成等差数列，得549425(544 25i)+x(5 4x2)=2X,由此得出：X 什 X2=8.52设弦 AC 的中点为 P(X0,y0),那么 X0=2_虽=4(3)解法一：由 A(xi,yi),C(x2,y2)在椭圆上2 2得9x125y19 2522229X25yi9 252一得9(x 2x 2)+25(yi2y 2
8、2)=0,即9 宁25将XiX2宁出=。心x2Xo4上Y22yo,yy212(心0)XiX2-(k 工 0)代入上式，得 9X4+25yo()=0k1k即 k=25 yo当 k=0 时也成立.36由点 P4,yo在弦 AC 的垂直平分线上，得yo=4k+m，所以m=yo 4k=yo-yo=-yo.259169由点 P4,yo在线段 BB B 与 B 关于X轴对称的内部，得一上vyov959165，所以一0),过动点 M(a,0)且斜率为 1 的直线 I 与该抛物线 交于不同的两点A、B，且|AB|W2p.(1)求 a 的取值范围.(2)假设线段 AB 的垂直平分线交x 轴于点，求厶 NAB 面
9、积的最大值Ai、A2在 x 轴上，离心率 e=的双曲线过点?.()中心在原点，顶点P(6,6).(1)求双曲线方程动直线 I 经过 A1PA2的重心 G,与双曲线交于不同的两点线 I,使 G 平分线段 MN,证明你的结论.&)双曲线 C 的两条渐近线都过原点，且都以点为半径的圆相切，双曲线的一个顶点(1)求双曲线 C 的方程.A1与 A 点关于直线 y=x 对称.M、N，问：是否存在直A.2,0)为圆心，1设直线 I 过点 A,斜率为 k,当 0vkv1 时，双曲线 C 的上支上有且仅有一点l 的距离为2，试求 k 的值及此时 B 点的坐标.B 到直线参考答案难点磁场解：设椭圆方程为 mx2+
10、ny2=1(m 0,n 0),P(X1,y1),Q(x2,y2)y x 1由mx ny 1得(m+n)x2+2 nx+n仁 0,A=4n2 4(m+n)(n 1)0,即 m+nmn0,由 OP 丄 OQ,所以 X1X2+y1y2=0,即2x1X2+(x1+X2)+1=0,2(n1)2n+1=0,/m+n=223m n=_将 m+n=2,代入得413十m=_,n=或3122由、式得m=_,n=_2x2 22323212+y=1 或 x+y=1.故椭圆方程为2歼灭难点训练、1解析：弦长|AB|=2答案：C22解析：解方程组证即可.答案：By axb,得ax2 kx b=0,可知 X1+x2=,X1
11、X2=,x3=，代入验y kxaa k二、3解析：点 P 在线段 MN 的垂直平分线上，判断 MN 的垂直平分线于所给曲线是否 存在交点答案：4解析：设 C、D 所在直线方程为 y=x+b,代入 y2=x,利用弦长公式可求出|CD|的长，利用|CD|的长等于两平行直线 y=x+4 与 y=x+b 间的距离，求出 b 的值，再代入求出|CD|的长答案：18 或 505解析：设所求直线与y2=16x 相交于点 A、B，且 A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得y12=16x1,y*=16x2,两式相减得，(y1+y2(y1 y2)=16(x1 X2).即捲X2AB=8.y1y2故所求
12、直线方程为 y=8x 15.答案：8x y 15=0三、6.解：(1)设直线 I 的方程为：y=x a,代入抛物线方程得2(a+p)x+a=0|AB|=22(x a)2=2px,即 x2.4(a p)4aw2p.4ap+2p222wp,即 4ap0,awP4*(2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2),AB 的中点 C(x,y),由(1)知，y1=x1 a,y2=x2 a,x1+x2=2a+2p,X1X2那么有x=y1y2X1X22aa p,y=p.y p=(x a p),从而 N 点坐标为(a+2p,02 2 2线段 AB 的垂直平分线的方程为点 N 到 AB 的距离为|a 2p a|2p
13、从而 SANAB=*24(a p)24a22p 2p 2ap p2当 a 有最大值p时，S 有最大值为.2p2.42R27解：如图，设双曲线方程为221,e2b=1.由得 ab得 a2=9,b2=12.2所以所求双曲线方程为乞=1.912(2)P、A1、A2的坐标依次为I(6,6)、(3,0)、(-3,0,其重心 G 的坐标为(2,2假设存在直线I，使 G(2,2)平分线段MN，设 M(xi,yi),N(X2,y2).那么有12x/小29y110812 x229y22108力212X1X24X1X29y1y2 I 的方程为y=(x43 2)+2,12x22 29y2108由4，消去 y,整理x
14、2 4x+28=0.得y尹2)/A=16 4X28V0,所求直线 I 不存在.8.解：(1)设双曲线的渐近线为 y=kx，由 d=2k|=1,解得 k=1.Vk2 1即渐近线为 y=x,又点 A 关于 y=x 对称点的坐标为(0,2).a=.2=b,所求双曲线 C 的方程为 X2 y2=2.设直线 I:y=k(x2)(0vkv1),依题意 B 点在平行的直线 I 上，且离为.2.a b2,221a2亍解与 I间的距I设直线 I|、.2k my=kx+m,应有|、.2，化简得 m2+2、.2km=2.把 I代入双曲线方程得(k2 1)x2+2mkx+m2 2=0,由A=4m2k2 4(k2 1)(m2 2)=0.可得 m2+2k2=2、两式相减得 k=2m,代入得 m2=,解设 m=10,k=，此时555x=七世2.2,y=10.故 B(2.2,10).k21