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1、 等腰直角三角形中的常用模型 【知识精析】1、等腰直角三角形的特点：边、角方面的特点：两直角边相等，两锐角相等（都是 45o）边之间的关系：已知随意一边长，可获得其余两边长。2、等腰直角三角形与全等三角形：以等腰直角三角形为背景的几何问题中，经常包括全等三角形，发现并证明此中的全等三角形常常是解题的重点打破口。熟习以下基本模型，对解决等腰直角三角形问题很有利处。模型一：一条直线（不与三角形的边重合）过等腰直角三角形的直角极点 （1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必然能够结构一对全等的直角三角形：1-1：如图：RtABC 中，BAC=90o，AB=AC，点 D 是 BC 上随意一点，过
2、 B 作 BEAD于点 E，过 C 作 CFAD于点 F。（1）求证：BE-CF=EF；（2）若 D 在 BC 的延伸线上（如图（2），（1）中的结论还建立吗？若不建立，请写出新的结论并 证明。A E A AP 为腰 变式 1：等腰 RtABC 中，AB=CB，ABC=90o，点 P 在线段 BC 上（不与 B、C 重合），以 长作等腰直角PAQ，QEAB于E，连 CQ 交 AB于 M。（1）求证：M为 BE 的中点 （2）若 PC=2PB，求PC E F 的值 BMB D C B C D（2）以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边，必然能够结构一对全等的直角(2)三角形：(1)F 1-2：
3、如图：Rt ABCF中，BAC=90o，AB=AC，点 D 是 BC 上随意一点，过 B 作 BEAD于点 E，交 AC 于点 G，过 C 作 CFAC 交 AD的延伸线与于点 F。A D （1）求证：BG=AF；F （2）若 D 在 BC 的延伸线上（如图（E 2），（1）中的结论还建立吗？若不建立，请写出新的结论并证 明。D G B oB o C 变式 1：如图，在 是 AB的中点，AFCD 于 H RtABC 中，ACB=45，BAC=90，AB=AC，点 D A C E A 交 BC 于 F，BEAC(1)交 AF 的延伸线于 E，求证：BC 垂直且均分 DE.(2)E 变式 2：等腰
4、RtABC中，AC=ABG，BAC90，点 D是 AC的中点，AFBD于点 E，交 BC 于点 F，连结 DF，求证：E1=2。F 变式 3：等腰 RtABC 中，AC=AB，BAC90，点 D、E 是 AC 上两点且 AD=CE，AFBD 于点 G，B D C B D 交 BC 于点 F 连结 DF，求证：1=2。C (2)(1)F 模型二：等腰直角三角形与另一个直角三角形共斜边 等腰直角三角形与另一个直角三角形有公共斜边，必定能够以两腰为对应边结构全等三角形 2-1：连结 AD，求证：ADB45。变式 1：等腰 RtABC 中，AC=AB，BAC90，E 是 AC 上一点，点 D 为 BE
5、 延伸线上一点，且 ADC135求证：BDDC。变式 2：等腰 RtABC 中，AC=AB，BAC90，BE 均分ABC 交 AC 于 E，过 C 作 CDBE 于 D，DMAB交BA的延伸线于点 M，BM（1）求ABBC AM 的值；（2）求BCAB的值。模型三：两个等腰直角三角形共一个极点 （1）两个等腰直角三角形 共直角极点，必然含一对全等三角形：E E ABC=BEF=90o，连结 AF、CF，M是 AF 3-1：如图 1，ABC、BEF 都是等腰直角三角形，A E A D A 的中点，连 ME，将BEF 绕点 B 旋转。猜想 CF 与 EM 的数目关系并证明；（2）两个等腰直角三角形
6、 共锐角极点且直角张口方向同样，必然含一对相像三角形：（3）两个等腰直角三角形 共锐角极点且直角张口方向相反，必然可利用平移结构含一对全等三角形：D D B C 与 C 重合，如图 B，ABC 和EBD 都是等腰直角 B 三角形，BAC=BEDC=90o。把 DE 平移到 CF，使 E C (3)(1)(2)连结 AE、AF，则AEB 与AFC 全等（重点是利用平行证明 ABE=ACF）3-2：如图：两个直角三角形 ABC、ADE 的极点 A重合，P 是线段 BD 的中点，连 PC、PE。（1）如图 1，若BAC=DAE=45，当 A、C、D 在同向来线上时，线段 PC、PE 的关系 是 ；（
7、2）如图 2、3，将BAC 绕 A旋转 度，（1）中的结论能否仍旧建立？随意选择一个证明你的结论。【经典模型】在BAC 中，AB=AC，且BAC=90有一点D 知足BDC=90：（1）当点 D 在边 BC 下边时，尝试究 DB、DA和 DC 的大小关系？（2）当点 D 在边 BC 上边时，尝试究 DB、DA和 DC 的大小关系？推行：（1）ABC 为等边三角形，D 为 BC 下边一点且BDC=120，此时呢？（2）ABC 为等腰三角形，D 为 BC 下边一点且BDC=60，此时又怎样？1 1 1 有某种数目上的对应关系？【猜想】在运算中能否发现，DB DC DA 【稳固练习】1如图，在RtAB
8、C中，AB AC,BAC90,D、E为BC上两点，DAE 45，F为 ABC外一点，且FBBC,FA AE,则以下结论：CEBF;BD2 CE2 DE2;SADE 1ADEF;CE2 BE2 2AE2,此中正确的选项是 4 A、B、A C、D、F 的中点，以 O 为极点作MON，交 AB、AC 2已知：RtABC 中，AB=AC，BAC=90，若 O 是 BC 于点 M、N。（1）若MON=90（如图 1），求证：OM=ON；BM2+CN2=MN2；B D C（2）若MON=45（如图 2），求证：AM+MN=CN；E 3.如图，在平面直角坐标系中，AOB 为等腰直角三角形，A（4，4）。（1
9、）若 C 为 x 轴正半轴上一动点，以 AC 为直角边作等腰直角 ACD，ACD=90，连OD，求AOD 的度数；（2）过 A作 y 轴的垂线交 y 轴于 E，F 为 x 轴负半轴上一点，G 在 EF 的延伸线上，以 EG 为直角边作 等腰 RtEGH，过 A作 x 轴垂线交 EH 于点 M，连 FM，等式AMFM 1能否建立？若建立，请证 OF 明；若不建立，说明原因。4.在ABC 和DCE 中，AB=AC，DC=DE,BAC=EDC=90，点 E 在 AB上，连 AD，DFAC 于点 F。尝试究 AE、AF、AC 的数目关系；并求出DAC的度数。5如图：等腰 RtABC 和等腰RtEDB，
10、AC=BC，DE=BD，ACBEDB90，E 为 AB是一点，P 为 AE 的中点。连结 PC，PD；则 PC，PD 的地点关系是；数目关系是；并证明你的结论。当 E 在线段 AB上变化时，其余条件不变，作 EFBC 于 F，连结 PF，试判断PCF 的形状；在 点 E 运动过程中，PCF 能否可为等边三角形？若能够，试求ACB与EDB 的两直角边之比。6.已知两个共一个极点的等腰RtABC，RtCEF，ABC=CEF=90，连结 点，连结 MB、ME （1）如图 1，当 CB 与 CE 在同向来线上时，求证：MBCF；AF，M 是 AF 的中 （2）如图 1，若 CB=a，CE=2a，求 B
11、M，ME 的长；（3）如图 2，当BCE=45 时，求证：BM=ME 7.如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，4)。点 N 为 OA 上一点，OMBN 于 M，且 ONB=45+MON。（1）求证：BN 均分OBA；（2）求OMMN的值；BN （3）若点 P 为第四象限内一动点，且APO=135，问 你的结论。AP 与 BP 能否存在某种确立的地点关系？请证明 8.已知：PA=2，PB=4，以 AB为直角边作等腰直角三角形 ABD，且 P、D 两点在直线 AB的双侧.(1)如图，当APB=45时，求 AB及 PD 的长;(2)当APB 变化，且其余条件不变时，求 PD 的最大值及相应APB 的大小.