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1、等腰直角三角形中的常用模型【知识精析】1、等腰直角三角形的特征：边、角方面的特征：两直角边相等，两锐角相等（都是 45o）边之间的关系：已知任意一边长，可得到其它两边长。2、等腰直角三角形与全等三角形：以等腰直角三角形为背景的几何问题中，常常包含全等三角形，发现并证明其中的全等三角形往往是解题的关键突破口。熟悉以下基本模型，对解决等腰直角三角形问题很有好处。模型一：一条直线（不与三角形的边重合）过等腰直角三角形的直角顶点（1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全等的直角三角形：1-1：如图：RtABC中，BAC=90o，AB=AC，点D是BC上任意一点，过B作BEAD于点
2、E，过C作CFAD于点F。（1）求证：BE-CF=EF；（2）若D在BC的延长线上（如图（2），（1）中的结论还成立吗若不成立，AEA请写出新的结论并证明。变式 1：等腰 RtABC中，AB=CB，ABC=90o，点P在线段BC上（不与B、C重EF合），以AP为腰长作等腰直角PAQ，QEAB于E，连CQ交AB于M。BCBDCD（1）求证：M为BE的中点(2)(1)PC（2）若 PC=2PB，求的值MBF（2）以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边，必定可以构造一对全等的F F直角三角形：E EB B(1)(1)C CB B(2)(2)E ED DA AA AF FD DC C1-2：如图：R
3、tABC中，BAC=90o，AB=AC，点D是BC上任意一点，过B作BEAD于点E，交AC于点G，过C作CFAC交AD的延长线与于点F。（1）求证：BG=AF；（2）若D在BC的延长线上（如图（2），（1）中的结论还成立吗若不成立，请写出新的结论并证明。GAEGAoo变式 1：如图，在 RtABC中，ACB=45，BAC=90，AB=AC，点D是AB的中EFCBAC交AF的延长线于E，求证：DBC于FD点，BAFCD于H交，BEBC垂直且C(1)(2)平分DE.F变式 2：等腰 RtABC中，AC=AB，BAC90，点D是AC的中点，AFBD于点E，交BC于点F，连接DF，求证：1=2。变式
4、3：等腰RtABC中，AC=AB，BAC90，点D、E是AC上两点且AD=CE，AFBD于点G，交BC于点F连接DF，求证：1=2。模型二：等腰直角三角形与另一个直角三角形共斜边等腰直角三角形与另一个直角三角形有公共斜边，一定可以以两腰为对应边构造全等三角形2-1：连接AD，求证：ADB45。变式 1：等腰 RtABC中，AC=AB，BAC90，E是 AC 上一点，点D为 BE 延长线上一点，且ADC135求证：BDDC。变式 2：等腰 RtABC中，AC=AB，BAC90，BE平分ABC交AC于E，过C作CDBE于D，DMAB交BA的延长线于点M，BMAM（1）求AB BC的值；（2）求BC
5、 AB的值。模型三：两个等腰直角三角形共一个顶点E E（1）两个等腰直角三角形共直角顶点共直角顶点，必定含一对全等三角形：E EA AE EA AD DA AD DB BC CB BD DC CB BC C3-1：如图1，ABC、BEF都是等腰直角三角形，ABC=BEF=90o，连接AF、CF，M是AF的中点，连ME，将BEF绕点B旋转。猜想CF与EM的数量关系并证明；（2）两个等腰直角三角形共锐角顶点且直角开口方向相同共锐角顶点且直角开口方向相同，必定含一对相似三角形：（3）两个等腰直角三角形共锐角顶点且直角开口方向相反共锐角顶点且直角开口方向相反，必定可利用平移构造含一对全等三角形：如图，
6、ABC和EBD都是等腰直角三角形，BAC=BED=90o。把DE平移到CF，使E与C重合，连接AE、AF，则AEB与AFC全等（关键是利用平行证明ABE=ACF）3-2：如图：两个直角三角形ABC、ADE的顶点A重合，P是线段BD的中点，连PC、PE。（1）如图 1，若BAC=DAE=45，当A、C、D在同一直线上时，线段PC、PE的关系是；（2）如图 2、3，将BAC绕A旋转度，（1）中的结论是否仍然成立任意选择一个证明你的结论。【经典模型经典模型】在BAC 中，AB=AC，且BAC=90有一点 D 满足BDC=90：（1）（2）当点 D 在边 BC 下面时，试探究 DB、DA 和 DC 的
7、大小关系当点 D 在边 BC 上面时，试探究 DB、DA 和 DC 的大小关系推广：推广：（1）（2）ABC 为等边三角形，D 为 BC 下面一点且BDC=120，此时呢ABC 为等腰三角形，D 为 BC 下面一点且BDC=60，此时又如何【猜想】在运算中是否发现【巩固练习】1DB，1DC，1DA有某种数量上的对应关系1 如图，在RtABC中，AB AC,BAC 90,D、DAE 45，E为BC上两点，F为ABC外一点，且FBBC,FA AE,则下列结论：CE BF;BD2CE2 DE2;SADE1ADEF;CE2 BE2 2AE2,其中正确的是4A、C、B、FA D、2已知：RtABC中，A
8、B=AC，BAC=90，若O是BC的中点，以O为顶点作CBDEMON，交AB、AC于点M、N。（1）若MON=90（如图 1），求证：OM=ON；BM2+CN2=MN2；（2）若MON=45（如图 2），求证：AM+MN=CN；3.如图，在平面直角坐标系中，AOB为等腰直角三角形，A（4，4）。（1）若 C 为 x 轴正半轴上一动点，以 AC 为直角边作等腰直角ACD，ACD=90，连 OD，求AOD 的度数；（2）过 A 作 y 轴的垂线交 y 轴于 E，F 为 x 轴负半轴上一点，G 在 EF 的延长线上，以 EG 为直角边作等腰 RtEGH，过 A 作 x 轴垂线交 EH 于点 M，连
9、FM，等式AM FM1是否成立若成立，请证明；若不成立，说明理由。OF4.在ABC和DCE中，AB=AC，DC=DE,BAC=EDC=90，点E在AB上，连AD，DFAC于点F。试探索AE、AF、AC的数量关系；并求出DAC的度数。5如图：等腰 RtABC和等腰 RtEDB，AC=BC，DE=BD，ACBEDB90，E为AB是一点，P为AE的中点。连接PC，PD；则PC，PD的位置关系是；数量关系是；并证明你的结论。当 E 在线段 AB 上变化时，其它条件不变，作EFBC于F，连接PF，试判断PCF 的形状；在点E运动过程中，PCF是否可为等边三角形若可以，试求ACB与EDB的两直角边之比。6
10、.已知两个共一个顶点的等腰 RtABC，RtCEF，ABC=CEF=90，连接AF，M 是 AF 的中点，连接 MB、ME（1）如图 1，当 CB 与 CE 在同一直线上时，求证：MBCF；（2）如图 1，若 CB=a，CE=2a，求 BM，ME 的长；（3）如图 2，当BCE=45时，求证：BM=ME7.如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，4)。点 N 为 OA 上一点，OMBN于 M，且ONB=45+MON。（1）求证：BN（2）求平分OBA；OMMN的值；BN（3）若点P为第四象限内一动点，且APO=135，问 AP 与 BP 是否存在某种确定的位置关系请证明你的结论。8.已知：PA=2，PB=4，以AB为直角边作等腰直角三角形ABD，且P、D两点在直线 AB 的两侧.(1)如图，当APB=45时，求AB及PD的长;(2)当APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值及相应APB的大小.