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1、 1 抛物线及其标准方程 一、复习回顾：1.（1）椭圆的第一定义：与两定点21,FF的距离之 等于 的点的轨迹是椭圆，两定点21,FF叫做椭圆的 （2）双曲线的第一定义：与两定点21,FF的距离之 等于 的点的轨迹是双曲线，两定点21,FF叫做双曲线的 2.（1）椭圆的第二定义：到定点F的距离与它到定直线l（）的距离之 等于 的点的轨迹叫椭圆，定点F叫椭圆的 ，定直线l叫椭圆的 ，常数e叫椭圆的 （2）双曲线的第二定义：到定点F的距离与它到定直线l（）的距离之 等于 的点的轨迹叫双曲线，定点F叫双曲线的 ，定直线l叫双曲线的 ，常数e叫双曲线的 3.椭圆、双曲线有共同的几何特征：都可以看作是：
2、在平面内与一个定点的距离和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离的比是常数e的点的轨迹（1）当10 e0e1 时，是椭圆（2）当1ee1 时，是双曲线（3）当1e时，是？提出问题：如图，定点F不在定直线l上，H是l上任意一点，过点H作MHl，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M满足 2 的几何条件吗？可以发现，点M随着H运动的过程中,始终有 ，即点M与点F和定直线l的距离 .点M生成的轨迹是曲线C的形状，我们把这样的一条曲线叫做抛物线.二、新知讲解 1.抛物线的定义：与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离 的点的轨迹叫抛物线，定点F叫抛物线的
3、，定直线l叫抛物线的 2.抛物线的标准方程 图 形 标准方程 焦点坐标 准线方程 注：（1）p的几何意义：焦点到准线的距离（2）抛物线标准方程的特征：等号左边是系数为 1 的二次项，右边是一次项.（3）一次项定轴，系数正负定方向；焦点与方程同号，准线与方程异号 思考：已知抛物线方程为)0(2aayx，讨论抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程？思考：你能说明二次函数)0(2aaxy的图象为什么是抛物线？指出它的焦点坐标、准线方程.思考：M是抛物线)0(22ppxy上一点，若点M的横坐标 3 为0 x，则点M到焦点的距离是 3.抛物线的焦半径公式：（1）抛物线)0(22ppxy的焦半径MF （2）
4、抛物线)0(22ppxy的焦半径MF （3）抛物线)0(22ppyx的焦半径MF （4）抛物线)0(22ppyx的焦半径MF 例 1.（1）已知抛物线的标准方程是xy62，求它的焦点坐标和准线方程（2）已知抛物线的焦点坐标是)2,0(F，求它的标准方程 练习根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是)0,3(F（2）准线方程是41x（3）焦点到准线的距离是2 例 2.求过点)2,3(A的抛物线的标准方程 例 3.焦点在x轴上，且抛物线上一点),3(mA到焦点的距离为 5 的抛物线的标准方程 4.抛物线的光学性质：平行于抛物面的轴的光线经抛物面反射后，反射光线经过抛物线的 ，反之，从抛物面
5、的焦点出发的光线经抛物线反射后，反射光线与抛物线的轴 注：（1）抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面都是抛物镜面。（2）灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的设计原理（3）平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太 4 阳灶能把光能转化为热能的理论依据 例 4.点M与点)0,4(F的距离比它到直线l：05 x的距离小 1，求点M的轨迹方程 例 5.已知抛物线xy42的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点)2,3(A，求PFPA 的最小值，并求出取最小值时P点的坐标 变式 1：已知抛物线yx42，点P是抛物线上的动点，点A的坐标为)6,12(12,6).求点P到点A的距离与点P到x轴的距离之和的最小值.变式 2：（2008 辽宁高考）已知点P是抛物线xy22上的一个动点，则点P到点)2,0(的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 例 6.已知抛物线xy22（1）设)0,32(A，在抛物线上求一点P，使PA最小（2）在抛物线上求一点P，使P到直线03 yx的距离最短，并求出最短距离 5 变式：抛物线2xy 到直线42 yx距离最近的点的坐标是_