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1、 华东师范大学20003年数学分析解答 华东师范大学 2003 年数学分析试题及解答 Tangshan0315 一、（30 分）简答题（只需写出正确答案）：);31()3()1()1(sinlim221xxxx );2)1(2(),11arccos(222xxyxy则)2ln2(ln(ln22Cxxxxdx )(),sin(dyzdxzdzyxyzyxx则 DyxedxdyeyxyxD)1(,1|),(2222则 .)2(,1|),(22LydxxdyyxyxL取顺时针方向，则 二、（20 分）判别题（正确的说明理由，错误的举出反例）；若0lim,0limnnnnnxx则。错；例如01limn
2、n，但11limnnn 。若)(xf在),0(上可导，且)(xf有界，则)(xf在),0(上一致连续.对设KKxxfxfxfxxxxKxKxf)()()(,),0(,0,0),0(,)(并且则 六、（17 分）求下列积分SdSzyxfI),(，其中)0(|),(2222aazyxzyxS，222222,0;,),(yxzyxzyxzyxf。证明：记,|),(2222221yxzazyxzyxS。因为1S上22),(yxzyxf，而在 S1S上0),(zyxf,故有SdSzyxfI),(=1)(22SdSyxfI。又因为1S在 xy 平面上的投影区域为2:222ayxD，有1S的 方 程222y
3、xaz，又有222221yxaazzyx，所以可求得：dxdyyxaayxID22222)(，令sin,cosryrx=drrardaa2020223，（令ura22）=duuuaaaa22221212)(=22223212|)322(aauuaa=)2254(314a。七、（17 分）设10 r，Rx。证明：122cos21cos211nnnxrrxrr；0)cos21ln(02dxrxr。证明：把欲证明的等式经移项后写为：nxrrxrrxnncoscos21cos112。只要把此式左边的分母乘至右边，经整理 后 可 得rx cos，主 要 过 程 如 下：11111112)1cos(2co
4、scoscos)cos21(nnnnnnnnxnrnxrnxrnxrrxr 其中111)1cos(2)1cos(cos2nnnnnnxnrxnrnxr，把它带入上式后，化简可得rx cos。利用一的结果：由以上等式又有：112cos2cos212cos2nnnxrrxrrx，容易看出左边的分子是分母对 r 求导的结果。所以先通过两边对r求积分，得到：10102cos2cos212cos2nrnrnxddxx，即 12cos2)cos21ln(nnnxnrrxr。再 对X在,0上 求 积 分，又 得 10020cos2)cos21ln(nnnxdxnrdxrxr 证毕。八、（15 分）设baaaba21,0,0，.3,2,1,1122212naaannn 证明：na收敛。证明：由于3n时2na，故5n时25na。估计：222121211111nnnnnnaaaaaa =)9()85(.),max(85)(165)(322112112222nBaaaaaaaaaaaaaannnnnnnnnnnnnnn 其中正常数 B 或者是56aa，或者是67aa。由此又得：)(0)85(851)85(.)85(.2525271211nBBaaaaaannpnnnpnpnnpn 所以根据 Cauchy 准则，na为收敛数列。