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1、 1 限时规范训练(十一)(建议限时 45 分钟，实际用时_分钟)一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1(2019济南模拟)如图，网格纸上正方形小格的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的最长棱的长度为()A6 2 B6 3 C8 D9 解析：选 D.由三视图可知，该几何体为三棱锥，如图所示：AB6，BC3 2，BDCD3 5，AD9.2(2018全国卷)在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E 为棱 CC1的中点，则异面直线 AE与 CD 所成角的正切值为()A.22 B32 C.52 D72 解析：选 C.如图，连接 BE，因为 ABCD，所以异
2、面直线 AE 与 CD 所成的角等于相交直线 AE 与 AB 所成的角，即EAB.不妨设正方体的棱长为 2，则 CE1，BC2，由勾股定理得 BE 5.又由 AB平面 BCC1B1可得 ABBE，所以 tanEABBEAB52.故选 C.3(2019潍坊模拟)已知 m，n 为异面直线，m平面，n平面.直线 l 满足 lm，ln，l，l，则()A且 l B且 l 2 C与 相交，且交线垂直于 l D与 相交，且交线平行于 l 解析：选 D.若，则 mn，这与 m、n 为异面直线矛盾，所以 A 不正确将已知条件转化到正方体中，易知 与 不一定垂直，但 与 的交线一定平行于 l，从而排除 B、C.故
3、选 D.4(2019南宁二模)一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图可能是()长、宽不相等的长方形；正方形；圆；椭圆 A B C D 解析：选 B.由题设条件知，正视图中的长与侧视图中的长不一致，对于，俯视图是长方形是可能的，比如此几何体为一个长方体时，满足题意；对于，由于正视图中的长与侧视图中的长不一致，故俯视图不可能是正方形；对于，由于正视图中的长与侧视图中的长不一致，故俯视图不可能是圆形；对于，如果此几何体是一个椭圆柱，满足正视图中的长与侧视图中的长不一致，故俯视图可能是椭圆 综上知是可能的图形 5在空间内，下列命题成立的是()A平行直线的平行投影重合 B平行于同一直线的两个
4、平面平行 C垂直于同一平面的两个平面平行 D垂直于同一平面的两条直线平行 解析：选 D.对于 A，平行直线的平行投影也可能互相平行，或为两个点，故 A 错误；对于 B，平行于同一直线的两个平面也可能相交，故 B 错误；对于 C，垂直于同一平面的两个平面也可能相交，故 C 错误；对于 D，为直线和平面垂直的性质定理，正确 6(2019昆明调研)设 l，m 是两条不同的直线，是两个不同的平面，且 l，m.下列结论正确的是()3 A若，则 l B若 lm，则 C若，则 l D若 lm，则 解析：选 C.，l，加上 l 垂直于 与 的交线，才有 l，所以 A 项错误；若lm，l，m，则 与 平行或相交
5、，所以 B 项错误；若，l，则 l，所以C 项正确；若 lm，l，m，则 与 平行或相交，所以 D 项错误故选 C.7(2019河北承德模拟)如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，将ABD 沿 BD 折起，得三棱锥 A1BCD，则下列说法中，错误的是()A直线 BD平面 A1OC B三棱锥 A1BCD 的外接球的半径为 2 CA1BCD D若 E 为 CD 的中点，则 BC平面 A1OE 解析：选 C.由题图知，BDOC，BOOA1，OCOA1O，直线 BD平面 A1OC，选项 A 正确；O 到 A1，B，C，D 的距离都为 2，则 O 为三棱锥 A1BCD 外接球的球心，且外接球的半径
6、为 2，故选项 B 正确；连接 A1E，OE，O，E 分别为 BD，CD 的中点，OEBC，BC平面 A1OE，选项 D 正确故选 C.8(2019石家庄质检)设 m，n 是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：若 m，n，则 mn；若，m，则 m；若 n，mn，m，则 m；若，则 其中真命题的个数是()A0 B1 C2 D3 解析：选 B.mn 或 m，n 异面，故错误；易知正确；m 或 m，故错误；或 与 相交，故错误 9(2019全国卷)如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，ECD 为正三角形，平面 ECD平面 ABCD，M 是线段 ED 的中点，则()4 ABMEN，
7、且直线 BM，EN 是相交直线 BBMEN，且直线 BM，EN 是相交直线 CBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线 DBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线 解析：选 B.取 CD 的中点 O，连接 ON，EO，因为ECD 为正三角形，所以 EOCD，又平面 ECD平面 ABCD，平面 ECD平面 ABCDCD，所以 EO平面 ABCD.设正方形ABCD 的边长为 2，则 EO 3，ON1，所以 EN2EO2ON24，得 EN2.过 M 作 CD的垂线，垂足为 P，连接 BP，则 MP32，CP32，所以 BM2MP2BP2322322227，得 BM 7，所以 BMEN.连接 BD，B
8、E，因为四边形 ABCD 为正方形，所以 N为 BD 的中点，即 EN，MB 均在平面 BDE 内，所以直线 BM，EN 是相交直线，选 B.10(2019苏州质检)刘徽的 九章算术注中有这样的记载：“邪解立方，得两堑堵，邪解堑者，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”意思是说：把一块立方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫作堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积比为 21，这个比率是不变的如图是一个阳马的三视图，则其表面积为()A2 B2 2 C3 3 D3 2 解析：选 B.如图所示，根据题设条件可知三视图还原成的几何体为四棱锥 DABCD(正视的方
9、向是BD)，正方体的棱长为 1，四棱锥 DABCD 的表面积 SS四边形 ABCDSDABSDBCSDDCSDDA1222212122 2.5 11(2019广西南宁三模)已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点都在球 O的球面上，PA平面 ABC，ABC 是边长为 2 的等边三角形，若球 O的体积为8 23，则直线 PC 与平面 PAB 所成角的正切值为()A.3 1111 B2 1111 C.3 1010 D1010 解析：选 A.如图，设ABC 的中心为 E，M 为 AB 的中点，过球心 O作 ODPA.则 D 为 PA 的中点 由题意可得 CM平面 PAB，CPM 是直线 PC 与平面 PA
10、B 所成的角 ABC 是边长为 2 的等边三角形，ODAE23CM2 33.43OP38 23，OP 2，PA2PD2OP2OD22 63.PMPA2AM2333.tanCPMCMPM3 1111.故选 A.12(2019福建三明模拟)我国古代数学名著九章算术记载的刍甍是底面为矩形，顶部只有一条棱的几何体图为某个刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则它的体积为()A.1603 B160 6 C.2563 D64 解析：选 A.由三视图可知，该刍甍是一个如图所示的几何体 解法一：一割为三 如图，分别取 QN，PM 上的两个四等分点 B，E，C，F，连接 AB，BC，AC，DE
11、，DF，EF.则ABC 与DEF 所在的平面将该几何体分成一个直三棱柱 ABC-DEF 和两个全等的四棱锥 A-BCPQ、四棱锥 D-FENM.其中直三棱柱 ABC-DEF 中的ABC 与DEF 是等腰三角形，BC4，点 A 到 BC 的距离 d4，设ABC 与DEF 的面积为 S1，则 S112448.易知 BE4，故直三棱柱 ABC-DEF 的体积 V1S1BE8432.四棱锥的底面是矩形，QB2，PQ4，故四棱锥的底面积 S2248.由三视图可得四棱锥的高 h4，所以四棱锥的体积 V213S2h1384323.所以该几何体的体积 VV12V23223231603.故选 A.解法二：一割为
12、二 如图，分别取 PM，QN 的中点 G，H，连接 DG，GH，DH，则DGH所在平面将几何体分为一个三棱柱 AQP-DHG 与一个四棱锥 D-GHNM.其中四棱锥 D-GHNM 的底面是边长为 4 的正方形，由三视图可得点 D 到平面 GHNM的距离 h4，故四棱锥 D-GHNM 的体积 V113424643；三棱柱 AQP-DHG 的侧面 QPGH 是边长为 4 的正方形，侧棱 AD 到侧面 QPGH 的距离d4，故其体积 V21242432.7 所以该几何体的体积 VV1V2643321603.故选 A.二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13(2019太原二模)
13、鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经 90榫卯起来，如图，若正四棱柱体的高为 6，底面正方形的边长为 1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为_(容器壁的厚度忽略不计)解析：由题意，该球形容器的半径的最小值为3212122412，所以该球形容器的表面积的最小值为 441441.答案：41 14(2019天津卷)已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为 5.若圆柱的一个底面的圆
14、周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_ 解析：由题可得，四棱锥底面对角线的长为 2，则圆柱底面的半径为12，易知四棱锥的高为512，故圆柱的高为 1，所以圆柱的体积为12214.答案：4 15在直角梯形 ABCD 中，ABCD，A90，C45，ABAD1，沿对角线 BD 折成四面体 ABCD，使平面 ABD平面 BCD，若四面体 ABCD 顶点在同一球面上，则该球的表面积为_ 解析：设 H 为梯形对角线 BD 的中点，O 为 DC 中点，依题意有 AHOH22，四面体 ABCD 中，平面 ABD平面 BCD，所以 AH平面 BCD，所以 AOAH2H
15、O21，又因为 ODOCOB1，所以 O 为四面体 ABCD 外接球的球心，故半径 R1.则该球的表面积为 4R24.8 答案：4 16如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，M，N 分别为棱 C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：直线 AM 与 CC1是相交直线；直线 AM 与 BN 是平行直线；直线 BN 与 MB1是异面直线；直线 AM 与 DD1是异面直线 其中正确结论的序号为_ 解析：直线 AM 与 CC1是异面直线，直线 AM 与 BN 也是异面直线，所以错误点B，B1，N 在平面 BB1C1C 中，点 M 在此平面外，所以 BN，MB1是异面直线同理 AM，DD1也是异面直线 答案：