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1、年度预期损失 AE 计算公式 在估值与风险模型中，预期损失(Expected Loss)和非预期损失(Unexpected Loss)是重要的内容。预期损失是说用风险损失的期望，而非预期损失用风险损失超过预期损失的部分，使用损失的标准差来量度。预期损失的公式很容易推导，但是非预期损失的公式奇奇怪怪的，许多资料也没有推导过程。能搜到的中文资料中最常见的是这个文档，也被众多科普文章引用。但是实在无力吐槽这个证明，不仅推导很不严谨，而且符号用的混乱不堪，但是它的思路是正确的，只是缺乏许多细节。查阅了一些资料，整理了严谨的证明应该是如下这样：首先这里注意四点：1）把 EAD 看成常量；2）设置了 D
2、是一个二元变量，D=1 代表违约，D=0 代表没有违约，PD=Pr(D=1)就是违约的概率。注意到二元变量 D2=D，所以 ED2=ED=PD，因此 D 的方差 sigma_D2=ED2-(ED2)=PD-PD2；3）将 LGD 看成了一个变量，代表如果违约后的损失率的分布情况，也就是 textrmloss rate|D=1 的分布。用 ELGD 和 sigma2_LGD 分别代表 LGD 的均值和方差；4）假设 D 和 LGD 是独立的。预期损失(Expected Loss)和非预期损失(Unexpected Loss)的准确形式：预期损失的公式是 EL=EADtimes PDtimes E
3、LGD 非预期损失的公式是 UL=EADtimes sqrtPDtimes sigma2_LGD+(ELGD)2times sigma_D2 证明：注意到当 D=1 时，Loss=EAD times LGD,当 D=0 时，Loss=0,因此我们可以写成 Loss=EAD times LGD times D。于是预期损失 EL=ELoss=EAD times ED times ELGD=EAD times PD times ELGD。非预期损失 UL 定义为 Loss 的标准差。我们先求 ELoss2=EAD2 times ED2 times ELGD2=EAD2 times PD times
4、 ELGD2，而 ELGD2=(ELGD)2+sigma_LGD2，因此 beginalign*UL2&=ELoss2-(ELoss)2&=EAD2times PDtimes(ELGD)2+sigma_LGD2-EAD2times PD2times(ELGD)2&=EAD2times PDtimes sigma_LGD2+EAD2times(PD-PD2)times(ELGD)2&=EAD2times PDtimes sigma_LGD2+EAD2times sigma_D2times(ELGD)2 endalign*最终，UL=EADtimes sqrtPDtimes sigma2_LGD+(ELGD)2times sigma_D2。总结一下：如果要准确的理解预期损失和非预期损失的公式，一定要分清楚哪些量是常量，哪些量是变量。大部分资料关于这一点都没有写清楚，包括这个 doc 的文档。这里的常量有四个：EAD，PD，EL，UL，变量有三个：D，LGD，Loss。