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1、第 1 页 导数的几何意义教案 1 教学目的 1 使学生理解导数的几何意义；并会用求导数的方法求切线的斜率和切线方程；利用导数求法线方程 2通过揭示割线及切线之间的内在联系对学生进行辩证唯物主义的教育 教学重点 理解导数的几何意义是本节的重点 教学过程 一、复习提问 1导数的定义是什么？求导数的三个步骤是什么？求函数yx2在 x2 处的导数 2怎样定义曲线 C 在点 P 的切线？(即切线的定义)在学生回答基础上教师重点讲评第 2 题，然后逐步引入导数的几何意义 如图 21，设曲线 C 是函数 y=f(x)的图象，点 P(x0，y0)是曲线 C 上一点点 Q(x0 x，y0y)是曲线 C 上及点
2、 P 邻近的任一点，作割线 PQ，当点 Q 沿着曲线 C 无限地趋近于点 P，割线 PQ 便无限地趋近于某一极限位置 PT，我们就把极限位置上的直线 PT，叫做曲线 C 在点 P 处的切线 追问：怎样确定曲线 C 在点 P 的切线呢？因为 P 是给定的，根据平面解析几何中直线的点斜式方程的知识，只要求出切线的斜率就够了设割线 PQ 的倾斜角为 由上式可知：曲线 f(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率就是 yf(x)在点 x0处的导数 f(x0)二、新课 1导数的几何意义：函数 yf(x)在点 x0处的导数 f(x0)的几何意义，就是曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处切线的斜率 口答
3、练习：(2)已知函数 yf(x)的图象(如图 22)，分别为以下三种情况的直线，通过观察确定函数在各点的导数 2利用导数求曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程 例 1 求曲线 yx2在点 M(2，4)处的切线方程 第 2 页 y|x=2=22=4 点 M(2，4)处的切线方程为 y44(x2)，即 4xy4=0 由上例可归纳出求切线方程的两个步骤：(1)先求出函数 yf(x)在点 x0处的导数 f(x0)(2)根据直线方程的点斜式，得切线方程为 yy0=f(x0)(xx0)3利用导数求曲线 y=f(x)在点(x0，f(x0)处的法线方程 (先由学生来回答，教师再讲评总结)我们由已
4、学平面解析几何可知：(1)经过点 P 和切线 PT 垂直的直线叫做曲线 C 在点 P 处的法线(2)如果两条有斜率的直线互相垂直，那么，它们的斜率互为负倒数 利用导数求法线方程可归纳为两步：(1)求出函数 yf(x)在点 x0处的导数即求出切线在(x0，f(x0)处的斜率(2)求出曲线 y=f(x)在点(x0，f(x0)处的法线方程应分三种情况：f(x0)0 时，由直线方程的点斜式得法线方程 f(x0)0 时，过点(x0，f(x0)的切线平行于 x 轴，所以过点(x0，f(x0)的法线垂直于 x 轴，即平行于y 轴，得法线方程为 xx0 当过点(x0，f(x0)的切线(存在)平行于 y 轴(x
5、x0时的导数不存在)，所以过点(x0，f(x0)的法线垂直于 y 轴，即平行于 x 轴，得法线方程为 yf(x0)的切线的方程；(3)过 P 点的法线方程 y|x=2=22=4 在点 P 处的切线的斜率等于 4 即 12x3y160 即 3x12y880 练习：求抛物线 yx22 在点 M(2，6)处的切线方程和法线方程 (答案：y2x，y|x=24 切线方程为 4xy2=0：法线方程为 x4y220)第 3 页 三、小结 1导数的几何意义 2利用导数求曲线 y=f(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程和法线方程的步骤 四、布置作业 1求抛物线 y=4xx2在点 A(4，0)和点 B(2，4)处的切线的斜率，切线的方程 3求曲线 y2xx3在点(1，1)处的切线的倾斜角 *5已知抛物线 y=x24 及直线 yx2，求：直线及抛物线交点的坐标；(2)抛物线在交点处的切线方程；(3)直线及抛物线在交点处的切线的交角