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1、 数学试题 2019.12 1已知集合 U1，3，5，9，A1，3，9，B1，9，则U（AB）2若复数 zi（32i）（i 是虚数单位），则 z 的模为 3直线 l1：x10 和直线 l2：xy0 的夹角大小是 4我国古代庄周所著的庄子天下篇中引用过一句话：“一尺之棰日取其半，万世不竭”其含义是：一根 尺长的木棒，每天截下其一半，这样的过程可以无限地进行下去，若把“一尺之棰”的长度记为 1 个单位，则 第 n 天“日取其半”后，记木棒剩下部分的长度为 an，则 an 5已知角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，角 的终边与单位圆的交点坐标是（，），则 sin2 6已知正四棱柱底面边
2、长为 2，体积为 32，则此四棱柱的表面积为 7设 x，yR+，若 4x1则 的最大值为 8已知数列an中，a11，anan1（nN*），则an 9 某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到 A、B、C 三个不同的乡镇中学，现要求甲乙两位名优老师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名优教师，则不同的分配方案共有 种 10已知对于任意给定的正实数 k，函数 f（x）2x+k2x的图象都关于直线 xm 成轴对称图形，则 m 11如图，一矩形 ABCD 的一边 AB 在 x 轴上，另两个顶点 C、D 在函数 f（x），x0的图象上，则此矩形绕 x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值是
3、12 已知点 P 在双曲线1 上，点 A 满足（t1）（tR），且60，（0，1），则|的最大值为 13使得（3x）n（nN*）的展开式中含有常数项的最小的 n 为（）A4 B5 C6 D7 14对于两条不同的直线 m，n 和两个不同的平面，以下结论正确的是（）A若 m，n，m，n 是异面直线，则，相交 B若 m，m，n，则 n C若 m，n，m，n 共面于，则 mn D若 m，n，不平行，则 m，n 为异面直线 15 过抛物线y22px（p0）的焦点作两条相互垂直的弦AB和CD，则的值为（）A B C2p D 16设等比数列an的公比为 q，其前 n 项之积为 Tn，并且满足条件：a11，a
4、2019a20201，0，给出下 列结论：0q1；a2019a202110；T2019是数列Tn中的最大项；使 Tn1 成立的最大自然数等于 4039，其中正确结论的序号为（）A B C D 17（14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA底面 ABCD，E 是 PC的中点，已知 AB2，AD2，PA2，求：（1）三角形 PCD 的面积；（2）异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小 18（14 分）已知向量（cosx，sinx），（cosx，cosx）其中 0，记 f（x）（1）若函数 f（x）的最小正周期为，求 的值；（2）在（1）的条件下，已知ABC 的内角
5、A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，若 f（），且 a4，b+c5求ABC 的面积 19（14 分）某企业生产的产品具有 60 个月的时效性，在时效期内，企业投入 50 万元经销该产品，为了获得更多的利润，企业将每月获得利润的 10%再投入到次月的经营中，市场调研表明，该企业在经销这个产品的第 n 个月的利润是 f（n）（单位：万元）记第 n 个月的当月利润率为 g（n），例 g（3）（1）求第 n 个月的当月利润率；（2）求该企业在经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率 20（16 分）已知焦点在 x 轴上的椭圆 C 上的点到两个焦点的距离和为 10，椭圆 C
6、经过点（3，）（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）过椭圆 C 的右焦点 F 作与 x 轴垂直的直线 l1，直线 l1上存在 M、N 两点满足 OMON，求OMN 面积的最小值 （3）若与 x 轴不垂直的直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点，交 x 轴于定点 M，线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N，且为定值，求点 M 的坐标 21（18 分）已知函数 f（x）的定义域为0，2且 f（x）的图象连续不间断，若函数 f（x）满足：对于给定的实数 m 且 0m2存在 x00，2m，使得 f（x0）f（x0+m），则称f（x）具有性质 P（m）（1）已知函数 f（x），判断 f（x）是否具有性
7、质 P（），并说明理由；（2）求证：任取 m（0，2）函数 f（x）（x1）2，x0，2具有性质 P（m）；（3）已知函数 f（x）sinx，x0，2，若 f（x）具有性质 P（m），求 m 的取值范围 1集合 U1，3，5，9，A1，3，9，B1，9 AB1，3，9 U（AB）5，答案5 2复数 zi（32i）3i+2，则|z|答案：13 3直线 l1：x10 的倾斜角为，直线 l2：xy0 的斜率为倾斜角为，故直线 l1：x10 和直线 l2：xy0 的夹角大小为，答案：6 4依题意，第 1 天“日取其半”后 a1；第 2 天“日取其半”后 a2；第 3 天“日取其半”后 a3；、第 n
8、天“日取其半”后 an，答案：5角 的终边与单位圆的交点坐标是（，），所以，所以 答案：6设正四棱柱的高为 h，由底面边长为 a2，体积为 V32，则 Va2h，即 h4；所以此四棱柱的表面积为：SS侧面积+2S底面积 442222 3216 答案：16+322 74x1，x，yR+，即，当 且 仅 当“”时取等号，答案：116 8数列an中，a11，anan1（nN*），可得 a2a1，a3a2，a4a3，anan1，累加可得：an1，则an1 答案：54答案 9根据题意，分 2 步进行分析：，在三个中学中任选 1 个，安排甲乙两人，有 C313 种情况，对于剩下的三人，每人都可以安排在 A
9、、B、C 三个不同的乡镇中学中任意 1 个，则剩下三人有 33327 种不同的选法，则有 32781 种不同的分配方法；答案：81 10由题意可知，k0，函数 f（x）2x+k2x的图象都关于直线 xm 成轴对称图形，则 f（m+x）为偶函数，关于 y 轴对称，故 f（mx）f（m+x）恒成立，2mx+k2（mx）2m+x+k2（m+x），对于任意 xR 成立，故 2mk2m0，m 答案：11由 yf（x）=1+2，当且仅当 x1 时取等号，得 x；又矩形绕 x 轴旋转得到的旋转体是圆柱，设 A 点的坐标为（x1，y），B 点的坐标为（x2，y），则圆柱的底面圆半径为 y，高为 hx2x1，且
10、 f（x1），f（x2），所以，即（x2x1）（x2x11）0，所以 x2x11，所以 h2（x2+x1）24x2x1（x1）244，所以 h，所以 V圆柱y2hy （），当且仅当 y时取等号，故此矩形绕 x 轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为 答案：12（t1），则，设 A（xA，yA），P（xP，yP），（xA，yA）t（xP，yP），则，即，将点（）代入双曲线中得：，60，|t|60，由得 60|t|t|，|yA|8，|yA|8 则|的最大值为 8 答案：8 13（3x）n的展开式的通项公式为：Tr+1，令 n，可得 n，当 r2 时，n 取得最小值为 5，答案：B 14若 m，n，m，
11、n 是异面直线，则，相交或平行，故 A 错误；若 m，m，则，由 n，则 n 或 n，故 B 错误；若 m，n，m，n 共面于，则 mn，故 C 正确；若 m，n，不平行，则 m，n 为异面直线或相交，故 D 错误 答案：C 15抛物线 y22px（p0）的焦点坐标为（），所以设经过焦点直线 AB 的方程为 yk（x），所以，整理得，设点 A（x1，y1），B（x2，y2），所以，所以，同理设经过焦点直线 CD 的方程为 y（x），所以，整理得，所以：|CD|p+（p+2k2p），所以，则则 答案：D 16a11，a2019a20201，0，a20191，a20201 0q1，故正确；a201
12、9a20211，a2019a202110，故不正确；a20201，T2019是数列Tn中的最大项，故正确；T4039a1a2a4038a40391，T4038a1a2a4037a40381，使 Tn1 成立的最大自然数等于 4038，故不正确 正确结论的序号是 答案：B 17（1）PA底面 ABCD，CD底面 ABCD，CDPA 矩形 ABCD 中，CDAD，而 PA、AD 是平面 PAD 的交线 CD平面 PDA，PD平面 PDA，CDPD，三角形 PCD 是以 D 为直角顶点的直角三角形 RtPAD 中，AD2，PA2，PD2 三角形 PCD 的面积 SPDDC2 （2）解法一 如图所示，
13、建立空间直角坐标系，可得 B（2，0，0），C（2，2，0），E（1，1）（1，1），（0，2，0），设与夹角为，则 cos，由此可得异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小为 解法二 取 PB 的中点 F，连接 AF、EF、AC，PBC 中，E、F 分别是 PC、PB 的中点，EFBC，AEF 或其补角就是异面直线 BC 与 AE 所成的角 RtPAC 中，PC4 AEPC2，在AEF 中，EFBC，AFPB AF2+EF2AE2，AEF 是以 F 为直角顶点的等腰直角三角形，AEF，可得异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小为 18（1），f（x）的最小正周期为，且 0，解得 1；（2）
14、由（1）得，由 0A 得，解得，由余弦定理知：a2b2+c22bccosA，即 16b2+c2bc（b+c）23bc，且 b+c5，16253bc，bc3，19（1）依题意得 f（1）f（2）f（3）f（9）f（10）10，当 n1 时，g（1），当 1n10，nN*时，f（1）f（2）f（n1）10，则 g（n），n1 也符合上式，故当 1n10，nN*，g（n），当 11n60，nN*时，g（n），所以第 n 个月的当月利润率为 g（n）；（2）当 1n10，nN*，g（n）是减函数，此时 g（n）的最大值为 g（1），当 11n60，nN*时，g（n），g（n）在 11n33，nN*单调
15、递增，g（n）在 34n60，nN*单调递减，当且仅当 n，即 n时，g（n）有最大值，又 nN*，g（33），g（34），因为，所以当 n33 时，g（n）有最大值，即该企业经销此产品期间，第 33 个月利润最大，其当月利润率为 20（1）设椭圆的方程为，椭圆 C 上的点到两个焦点的距离和为 10，所以 2a10，a5，又椭圆 C 经过点（3，），代入椭圆方程，求得 b4，所以椭圆的方程为：；（2）设 M（3，yM），N（3，yN），F（3，0），由 OMON，所以，故OMN 面积的最小值为 9；（3）设直线 l 的方程为：ykx+m，则点 M（），联立，消去 y 得（25k2+16）x2+
16、50kmx+25m24000，所以|AB|，则 AB 的中点 P 的坐标为（），又 PNAB，得，则直线 PN 的方程为：ym，令 y0，得 N 点的坐标为（），则|MN|，所以，当且仅当时，比值为定值，此时点 M（），为 M（3，0），故 M（3，0）或（3，0）21（1）f（x）具有性质 P（），设 x00，令 f（x0）f（x0），则（x01）2（x0）2，解得 x0，又0，所以 f（x）具有性质 P（）；（2）任取 x00，2m，令 f（x0）f（x0+m），则（x01）2（x0+m1）2，因为 m0，解得 x01，又 0m2，所以 011，当 0m2，x01 时，（2m）x0（2m）
17、（1）110，即 012m，即任取实数 m（0，2），f（x）都具有性质 P（m）；（3）若 m（0，1，取 x0，则0 且 2m0，故 x00，2m，又 f（x0）sin（），f（x0+m）sin（）sin（）f（x0），所以 f（x）具有性质 P（m）；假设存在 m（1，2）使得 f（x）具有性质 P（m），即存在 x00，2m，使得 f（x0）f（x0+m），若 x00，则 x0+m（1，2），f（x0）0，f（x0+m）0，f（x0）f（x0+m），若 x0（0，2m，则 x0+m（m，2，进而 x0（0，1），x0+m（1，2，f（x0）0，f（x0+m）0，f（x0）f（x0+m），所以假设不成立，所以 m（0，1