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1、 1 2018年初中数学联赛试题 说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.设二次函数2222ayxax的图象的顶点为A，与x轴的交点为B,C.当ABC为等边三角形时，其边长为()A.6 B.22 C.23 D.32 2.如图，在矩形ABCD中，BAD的平分线交BD于点E，AB=1，CAE=15，则BE=()A.33 B.22 C.2-1 D.3-
2、1 3.设p,q均为大于3的素数，则使p2+5pq+4q2为完全平方数的素数对(p,q)的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4 4.若实数a,b满足a-b=2,22114abba,则a5-b5=()A.46 B.64 C.82 D.128 5.对任意的整数x,y，定义xy=x+y-xy，则使得(xy)z+(yz)x+(zx)y=0的整数组(x,y,z)的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4 6.设11112018201920202050M，则1M的整数部分是()A.60 B.61 C.62 D.63 2 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1.如图，在平行四边形ABCD中，BC=
3、2AB，CEAB于E，F为AD的中点，若AEF=48，则B=_.2.若实数x,y满足3311542xyxy，则x+y的最大值为_.3.没有重复数字且不为5的倍数的五位数的个数为_.4.已知实数a,b,c满足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，则555abcabc=_.第一试(B)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.满足(x2+x-1)x+2的整数x的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知x1,x2,x3(x1x2x3)为关于x的方程x3-3x2+(a+2)x-a=0的三个实数根，则22211234xxxx=()A.5 B.6 C.7 D.8 3.已知点E，F分别在正方形
4、ABCD的边CD，AD上，CD=4CE，EFB=FBC，则tanABF()A.12 B.35 C.22 D.32 4.方程339xx的实数根的个数为()A.0 B.1 C.2 D.3 5.设a,b,c为三个实数，它们中任何一个数加上其余两数之积的2017倍都等于2018，则这样的三元数组(a,b,c)的个数为()A.4 B.5 C.6 D.7 3 6.已知实数a,b满足a3-3a2+5a=1，b3-3b2+5b=5，则a+b=()A.2 B.3 C.4 D.5 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1.已知p,q,r为素数，且pqr整除pq+qr+rp-1，则p+q+r=_.2.已知两个正
5、整数的和比它们的积小1000，若其中较大的数是完全平方数，则较小的数为_.3.已知D是ABC内一点，E是AC的中点，AB=6，BC=10，BAD=BCD，EDC=ABD，则DE=_.4.已知二次函数y=x2+2(m+2n+1)x+(m2+4n2+50)的图象在x轴的上方，则满足条件的正整数对(m,n)的个数为_.第二试（A）一、（本题满分20分）设a,b,c,d为四个不同的实数，若a,b为方程x2-10cx-11d=0的根，c,d为方程x2-10ax-b=0的根，求a+b+c+d的值.二、（本题满分25分）如图，在扇形OAB中，AOB=90，OA=12，点C在OA上，AC=4，点D为OB的中点
6、，点E为弧AB上的动点，OE与CD的交点为F.（1）当四边形ODEC的面积S最大时，求EF；（2）求CE+2DE的最小值.4 三、（本题满分25分）求所有的正整数m,n，使得33222mnm nmn是非负整数.第二试（B）一、（本题满分20分）若实数a,b,c满足(a+b+c)11195555abcbcacab，求(a+b+c)111abc的值.二、（本题满分25分）如图，点E在四边形ABCD的边AB上，ABC和CDE都是等腰直角三角形，AB=AC，DE=DC.（1）证明：AD/BC；（2）设AC与DE交于点P，如果ACE=30，求DPPE.三、（本题满分25分）设x是一个四位数，x的各位数字之和为m，x+1的各位数字之和为n，并且m与n的最大公约数是一个大于2的素数.求x.