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1、 1 2018 二次函数压轴题题型归纳 一、二次函数常考点汇总 1、两点间的距离公式：22BABAxxyyAB 2、中点坐标：线段AB的中点C的坐标为：22BABAyyxx，直线11bxky（01k）与22bxky（02k）的位置关系：（1）两直线平行21kk 且21bb （2）两直线相交21kk （3）两直线重合21kk 且21bb （4）两直线垂直121kk 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下：用和参数的其他要求确定参数的取值范围；解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式）分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。例：关于x的一元二次方程01
2、222mxmx有两个整数根，5m且m为整数，求m的值。4、二次函数与x轴的交点为整数点问题。（方法同上）例：若抛物线3132xmmxy与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式。5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：已知关于x的方程23(1)230mxmxm（m为实数），求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根。解：当0m时，1x；当0m时，032m，mmx213，mx321、12x；综上所述：无论m为何值，方程总有一个固定的根是1。6、函数过固定点问题，举例如下：已知抛物线22mmxxy（m是常数），求证：不论m为何值，该抛物线总经过一个固
3、定的点，并求出固定点的坐标。解：把原解析式变形为关于m的方程xmxy122；01 02 2xxy，解得：1 1 xy；抛物线总经过一个固定的点（1，1）。（题目要求等价于：关于m的方程xmxy122不论m为何值，方程恒成立）2 小结：关于x的方程bax 有无数解0 0 ba 7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）（1）如图，直线1l、2l，点A在2l上，分别在1l、2l上确定两点M、N，使得MNAM 之和最小。（2）如图，直线1l、2l相交，两个固定点A、B，分别在1l、2l上确定两点M、N，使得ANMNBM之和最小。8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法 三角形的面
4、积求解常用方法：如上图，S PAB=1/2 PMx=1/2 ANy 9、函数的交点问题：二次函数（cbxaxy2）与一次函数（hkxy）（1）解方程组hkxycbxaxy 2可求出两个图象交点的坐标。（2）解方程组hkxycbxaxy 2即02hcxkbax，通过可判断两个图象的交点的个数 有两个交点 0 仅有一个交点 0 没有交点0 10、方程法 （1）设：设主动点的坐标或基本线段的长度 （2）表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量 （3）列方程或关系式 11、几何分析法 特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时，利用几何分析法能给解题
5、带来方便。几何要求 几何分析 涉及公式 应用图形 跟平行有关的图形 平移 2121kkll、2121xxyyk 平行四边形 矩形 梯形 跟直角有关的图形 勾股定理逆定理 利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等 22BABAxxyyAB 直角三角形 直角梯形 矩形 跟线段有关的图形 利 用 几 何 中 的 全等、中垂线的性质等。22BABAxxyyAB 等腰三角形 全等 等腰梯形 跟角有关的图形 利用相似、全等、平行、对顶角、互 3 余、互补等【例题精讲】一 基础构图：y=322 xx（以下几种分类的函数解析式就是这个）和最小，差最大 1 在对称轴上找一点P，使得PB+PC 的和最小，求出P
6、 点坐标 2 在对称轴上找一点P，使得PB-PC 的差最大，求出P 点坐标 讨论直角三角 连接AC,在对称轴上找一点P，使得ACP为直角三角形，求出P 坐标或者在抛物线上求点P，使ACP是以AC为直角边的直角三角形 讨论等腰三角 连接AC,在对称轴上找一点P，使得ACP为等腰三角形，求出P 坐标 讨论平行四边形 1、点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，且以B，A，F，E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标 O x y A B C D O x y A B C D O x y A B C D 4 二 综合题型 例 1 (中考变式）如图，抛物线cbxxy2与 x 轴交与A(1,0),B(
7、-3，0)两点，顶点为D。交 Y 轴于C(1)求该抛物线的解析式与ABC 的面积。(2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点M，使MBC是以BCM 为直角的直角三角形，若存在，求出点P 的坐标。若没有，请说明理由 (3)若E为抛物线B、C两点间图象上的一个动点(不与A、B 重合)，过E作EF 与 X 轴垂直，交BC于F，设E 点横坐标为x.EF 的长度为L，求 L 关于X 的函数关系式？关写出X 的取值范围？当E点运动到什么位置时，线段EF的值最大，并求此时E点的坐标？(4)在（5）的情况下直线BC 与抛物线的对称轴交于点H。当E 点运动到什么位置时,以点E、F、H、D 为顶点的四边形为平行四边
8、形？(5)在（5）的情况下点E 运动到什么位置时，使三角形BCE 的面积最大？5 例 2 考点：关于面积最值 如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为(1，0)、(0，3)，点B在x轴上已知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x 1，点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F （1）求该二次函数的解析式；（2）若设点P的横坐标为m，试用含m的代数式表示线段PF的长；（3）求PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标 例 3 考点：讨论等腰 如图，已知抛物线y21x 2bxc与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐
9、标为（2，0），点C的坐标为（0，1）（1）求抛物线的解析式；（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DEx轴于点D，连结DC，当DCE的面积最大时，求点D的坐标；（3）在直线BC上是否存在一点P，使ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由 D B C O A y x E B C O A 备用图 y x y x B A F P x1 C O y x B A F P x1 C O 6 例 4 考点：讨论直角三角 如图，已知点A（一1，0）和点B（1，2），在坐标轴上 确定点P，使得ABP为直角三角形，则满足这样条件的点P共有（）(A）2个 （B）4个 （C）6个（D）7个 已知
10、：如图一次函数y21x 1 的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y21x 2bxc的图象与一次函数y21x 1 的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1，0）（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形BDEC的面积S；（3）在x轴上是否存在点P，使得PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由 例 5 考点：讨论四边形 已知：如图所示，关于x的抛物线yax 2xc（a 0）与x轴交于点A（2，0），点B（6，0），与y轴交于点C（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）在抛物线上有一点D，使四边形ABDC为等腰梯形，写出点D
11、的坐标，求出直线AD的解析式；（3）在（2）中的直线AD交抛物线的对称轴于点M，抛物线上有一动点P，x轴上有一动点Q 是否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由 O A B y C x D E 2 O A B y C x D E 2 B A y O C x 7 综合练习：1、平面直角坐标系xOy中，抛物线244yaxaxac与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴交于点C，点 A的坐标为(1,0)，OBOC，抛物线的顶点为D。(1)求此抛物线的解析式；(2)若此抛物线的对称轴上的点P满足APBACB，求点P的坐标；(3)Q为线段BD上一点，点
12、A关于AQB的平分线的对称点为A，若2QBQA，求点Q的坐 标和此时QAA的面积。2、在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数2+2yaxaxc的图像与y轴交于点3 0，C，与x轴交于A、B两点，点B的坐标为0 3，。（1）求二次函数的解析式及顶点D的坐标；（2）点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM把四边形ACDB分成面积为1：2 的两部分，求出此时点M的坐标；（3）点P是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P在何处时CPB的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P的坐标。8 3、如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线xxmy222与x轴负半轴交于点A，顶点为B，且对称轴与x轴交于点C。（
13、1）求点B的坐标（用含m的代数式表示）；（2）D为OB中点，直线AD交y轴于E，若E（0，2），求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点M在直线OB上，且使得AMC的周长最小，P在抛物线上，Q在直线BC上，若以QPMA、为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标。4、已知关于x的方程2(1)(4)30m xm x。（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）若正整数m满足822m，设二次函数2(1)(4)3ym xm x的图象与x轴交于AB、两点，将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象；请你结合这个新的图象回答：当直线3ykx与此图象恰好有三
14、个公共点时，求出k的值（只需要求出两个满足题意的k值即可）。9 5 如图，抛物线y=ax2+2ax+c（a0）与y 轴交于点C（0，4），与x 轴交于点A（4，0）和B （1）求该抛物线的解析式；（2）点 Q 是线段AB 上的动点，过点Q 作 QEAC，交 BC 于点E，连接CQ 当CEQ的面积最大时，求点Q 的坐标；（3）平行于x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P，与直线AC 交于点F，点 D 的坐标为（2，0）问是否有直线l，使ODF是等腰三角形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由 三、中考二次函数代数型综合题 题型一、抛物线与x轴的两个交点分别位于某定点的两侧 例 1已知二
15、次函数yx 2(m 1)xm 2 的图象与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1x2 （1）若x1x2 0，且m为正整数，求该二次函数的表达式；（2）若x1 1，x2 1，求m的取值范围；（3）是否存在实数m，使得过A、B两点的圆与y轴相切于点C（0，2），若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；（4）若过点D（0，1 2）的直线与（1）中的二次函数图象相交于M、N两点，且 MD DN 1 3 ，求该直线的表达式 10 题型二、抛物线与x 轴两交点之间的距离问题 例 2 已知二次函数y=x 2+mx+m-5，（1）求证：不论m 取何值时，抛物线总与x 轴有两个交点；（2）求当m
16、 取何值时，抛物线与x 轴两交点之间的距离最短 题型三、抛物线方程的整数解问题 例 1 已知抛物线222(1)0yxmxm与 x 轴的两个交点的横坐标均为整数，且m 5，则整数 m 的值为_ 例 2已知二次函数y x 2 2mx4m 8 （1）当x 2 时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围；（2）以抛物线y x 2 2mx4m 8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正AMN（M，N两点在拋物线上），请问：AMN的面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）若抛物线y x 2 2mx4m 8与x轴交点的横坐标均为整数，求整数m的值 A O x y 11 题型四、
17、抛物线与对称，包括：点与点关于原点对称、抛物线的对称性、数形结合 例 1已知抛物线2yxbxc（其中b0，c 0）与y轴的交点为A，点A关于抛物线对称轴的对称点为B(m,n)，且AB=2.(1)求m,b的值(2)如果抛物线的顶点位于x轴的下方，且BO=20。求抛物线所对应的函数关系式（友情提醒：请画图思考）题型五、抛物线中韦达定理的广泛应用（线段长、定点两侧、点点关于原点对称、等等）例 1已知：二次函数2y4xxm的图象与x 轴交于不同的两点A（1x，0）、B（2x，0）（1x2x），其顶点是点C，对称轴与x 轴的交于点D （1）求实数m 的取值范围；（2）如果（1x+1）（2x+1）=8，求
18、二次函数的解析式；（3）把（2）中所得的二次函数的图象沿y 轴上下平移，如果平移后的函数图象与x 轴交于点1A、1B，顶点为点C1，且111ABC是等边三角形，求平移后所得图象的函数解析式 12 综合提升 1已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，4），且|AB|2 3，图象的对称轴为x 1 （1）求二次函数的表达式；（2）若二次函数的图象都在直线yxm的下方，求m的取值范围 2已知二次函数y x 2mxm 2 （1）若该二次函数图象与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB 5，求m的值；（2）设该二次函数图象与y轴的交点为C，二次函数图象上存在关于原点对称的两点M
19、、N，且SMNC 27，求m的值 3.已知关于x的一元二次方程x 2 2(k 1)xk 2 0 有两个整数根，k 5 且k为整数（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数yx 2 2(k 1)xk 2的图象沿x 13 轴向左平移4 个单位，求平移后的二次函数图象的解析式；（3）根据直线yxb与（2）中的两个函数图象交点的总个数，求b的取值范围 4已知二次函数的图象经过点A（1，0）和点B（2，1），且与y轴交点的纵坐标为m （1）若m为定值，求此二次函数的解析式；（2）若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围；（3）若二次函数的图象截直线y x
20、 1 所得线段的长为2 2，求m的值 四、中考二次函数定值问题 1.如图，已知二次函数L1：y=x2 4x+3 与 x 轴交于A B 两点（点A 在点B 左边），与y 轴交于点C （1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）研究二次函数L2：y=kx2 4kx+3k（k0）写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；若直线y=8k 与抛物线L2交于E、F 两点，问线段EF 的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF 的长度；如果会，请说明理由 2.如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(2，O)、B(2，0)、C(0，l)三点，过坐标原点O 的直线y=kx 与抛物线交于M、
21、N 两点分别过点C、D(0，2)作平行于x 轴的直线1l、2l (1)求抛物线对应二次函数的解析式；(2)求证以ON 为直径的圆与直线1l相切；(3)求线段MN 的长(用 k 表示)，并证明M、N 两点到直线2l的距离之和等于线段MN 的长 14 3.图 1，已知直线y=kx 与抛物线2422y=x+x273交于点 A（3，6）（1）求直线y=kx 的解析式和线段OA 的长度；（2）点P 为抛物线第一象限内的动点，过点P 作直线PM，交x 轴于点M（点M、O 不重合），交直线 OA 于点Q，再过点Q 作直线PM 的垂线，交y 轴于点N试探究：线段QM 与线段QN 的长度之比是否为定值？如果是，
22、求出这个定值；如果不是，说明理由；（3）如图2，若点B 为抛物线上对称轴右侧的点，点E 在线段OA 上（与点O、A 不重合），点D（m，0）是x 轴正半轴上的动点，且满足BAE=BED=AOD继续探究：m 在什么范围时，符合条件的E 点的个数分别是1 个、2 个？4孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2(a 0)的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：（1）若测得OA=OB=2 2（如图1），求a的值；（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2 所示位置时，过B作BFx轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标；（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标 15 FEyxBAO