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1、一、二次函数常考点汇总221、两点间的距离公式2、中点坐标：线段AB的中点C的坐标为：AByA yBxA xBxAxByA yB，2k2且 b1b22（2）两直线相交k1 k2直线 yk1 x b1（k1 0）与 yk2 x b2（k20）的位置关系：（1）两直线平行k1（3）两直线重合k1 k2且 b1 b2，解题步骤如下：（4）两直线垂直k1k213、一元二次方程有整数根问题 用和参数的其他要求确定参数的取值范围；解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式）分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。x例：关于 x的一元二次方程2 m1 xm20有两个整
2、数根，m5且m为整数，求m的值。m24、二次函数与x轴的交点为整数点问题例：若抛物线y2mx。（方法同上）xmx此抛物线的解析式。313与轴交于两个不同的整数点，且为正整数，试确定5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：已知关于 x的方程 mx2有一个固定的根。解：当 m当 m3(m 1)x 2m30（m为实数），求证：无论m为何值，方程总0时，x0时，1；m 320，x3 m 1，x1 23、x2 1；2mm1。综上所述：无论6、函数过固定点问题已知抛物线ym为何值，方程总有一个固定的根是，举例如下：x2mxm 2（m是常数），求证：不论 m为何值，该抛物线总经过
3、一个固定的点，并求出固定点的坐标。解：把原解析式变形为关于m的方程 yyx22 m 1 x；yx1x220，解得：1；抛物线总经过一个固定的点（1，1）。0 x 1（题目要求等价于：关于x小结：关于的方程 axm的方程 yx22m 1x不论 m为何值，方程恒成立）b有无数解a0b017、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）（1）如图，直线l1、l2，点A在l2上，分别在l1、l2上确定两点M、N，使得AM MN之和最小。（2）如图，直线l1、l2相交，两个固定点A、B，分别在l1、l2上确定两点M、N，使得BMMNAN之和最小。3（）如图，A、B是直线 l同旁的两个定点，线段左侧），使
4、得四边形AEFB的周长最小。a，在直线 l上确定两点E、F（E在F的8、在平面直角坐标系中求面积的方法：三角形的面积求解常用方法：如右图，直接用公式、割补法S PAB=1/2 PM x=1/2 AN y9、函数的交点问题：二次函数（yax2bx c）与一次函数（y kx h）（1）解方程组y ax2 bx c可求出两个图象交点的坐标。y kx hy ax2 bx c（2）解方程组2y kx h，即 ax bk xch0，通过可判断两个图象的交点的个数有两个交点仅有一个交点没有交点00010、方程法（1）设：设主动点的坐标或基本线段的长度2（2）表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量（3）
5、列方程或关系式11、几何分析法特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。几何要求跟平行有关的图形几何分析平移涉及公式l1 l2k1k2、k应用图形y1y2平行四边形矩形梯形直角三角形x1x2勾股定理逆定理跟直角有关的利用相似、全等、平22图形行、对顶角、互余、互补等利用几何中的全等、AByA yBxA xB直角梯形矩形跟线段有关的等腰三角形22图形跟角有关的图形中垂线的性质等。利用相似、全等、平行、对顶角、互余、AByA yBxA xB全等等腰梯形互补等【例题精讲】一 基础构图：yy=x22 x3（以下几种分类的
6、函数解析式就是这个）和最小，差最大1 在对称轴上找一点2 在对称轴上找一点P，使得 PB+PC 的和最小，求出P，使得 PB-PC 的差最大，求出P 点坐标P 点坐标B OACDxy求面积最大连接 AC,在第四象限找一点P，使得ACP面积最大，求出P 坐标B OAxCDy讨论直角三角连接 AC,在对称轴上找一点 P，使得求出 P 坐标或者在抛物线上求点ACP为直角三角形，P，使 ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形讨论等腰三角求出 P 坐标连接 AC,在对称轴上找一点P，使得ACP为等腰三角形，B OAx3CDy讨论平行四边形1、点 E 在抛物线的对称轴上，点 F 在抛物线上，且以 B，A
7、，F，E 四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F 的坐标BOC二 综合题型例 1(中考变式）如图，抛物线DAxyx2bxc与 x 轴交与 A(1,0),B(-3，0)两点，顶点为D。交 Y轴于 C(1)求该抛物线的解析式与 ABC 的面积。(2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点 M，使 MBC 是以 BCM 为直角的直角三角形，若存在，求出点 P 的坐标。若没有，请说明理由(3)若 E 为抛物线B、C 两点间图象上的一个动点(不与 A、B 重合)，过 E 作 EF与 X轴垂直，交BC 于 F，设 E 点横坐标为x.EF 的长度为 L，求 L 关于 X 的函数关系式？关写出X 的取值范围？当
8、E 点运动到什么位置时，线段EF 的值最大，并求此时E 点的坐标？(4)在（5）的情况下直线BC 与抛物线的对称轴交于点D 为顶点的四边形为平行四边形？H。当 E 点运动到什么位置时,以点 E、F、H、(5)在（5）的情况下点E 运动到什么位置时，使三角形BCE 的面积最大？4例 2考点：关于面积最值如图，在平面直角坐标系中，点二次函数的图象经过象上的一个动点（点A、C 的坐标分别为 (1，0)、(0，3)，点 B 在 x 轴上已知某x1，点 P 为直线 BC 下方的二次函数图A、B、C 三点，且它的对称轴为直线P 与 B、C 不重合），过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 F（1）求该
9、二次函数的解析式；yPF 的长；（2）若设点 P 的横坐标为 m，试用含 m 的代数式表示线段（3）求 PBC 面积的最大值，并求此时点P 的坐标A OFBxC2Px 1例 3考点：讨论等腰y1如图，已知抛物线2x bxc 与 y 轴相交于 C，与 x 轴相交于 A、B，点 A的坐标为（2，0），点 C 的坐标为（0，1）（1）求抛物线的解析式；（2）点 E 是线段 AC 上一动点，过点 E 作 DE x 轴于点 D，连结 DC，当 DCE 的面积最大时，求点 D 的坐标；（3）在直线 BC 上是否存在一点P，使 ACP 为等腰三角形，若存在，求点说明理由P 的坐标，若不存在，yyBBOCDA
10、ExOCAx备用图例 4 考点：讨论直角三角 如图，已知点A（一 1，0）和点 B（1，2），在坐标轴上确定点 P，使得 ABP 为直角三角形，则满足这样条件的点P 共有（）(A）2 个（B）4 个（C）6 个（D）7 个5 已知：如图一次函数yx 1 的图象与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B；二次函数21 x1 的图象交于 B、C 两点，与 x 轴交于 D、E 两点且 D 点坐标为（1，bx c 的图象与一次函数y21y 1x220）（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形 BDEC 的面积 S；（3）在 x 轴上是否存在点P，使得 PBC 是以 P 为直角顶点的直角三角形？若存在，
11、P，若不存在，请说明理由求出所有的点yC2BAODEx例 5考点：讨论四边形已知：如图所示，关于与 y 轴交于点 Cx 的抛物线y ax2 x c（a 0）与 x 轴交于点A（2，0），点 B（6，0），（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）在抛物线上有一点D，使四边形ABDC 为等腰梯形，写出点D 的坐标，并求出直线AD 的解析式；（3）在（2）中的直线有一动点P，x 轴上有一动点AD 交抛物线的对称轴于点Q是M，抛物线上Q 的坐标；如果不否存在以 A、M、P、Q 为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点存在，请说明理由yCxAOB6综合练习：1、平面直角坐标系xOy 中，抛物
12、线yax24ax4ac与 x 轴交于点 A、点 B，与 y 轴的正半轴交于点 C，点A 的坐标为(1,0)，OB OC，抛物线的顶点为D。(1)(2)求此抛物线的解析式；若此抛物线的对称轴上的点 P 满足 APB ACB，求点P的坐标；(3)Q 为线段 BD 上一点，点 A 关于 AQB 的平分线的对称点为 A，若QA QB 2，求点 Q 的坐 标和此时 QAA的面积。2、在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y轴交于 A、B 两点，点 B 的坐标为ax2+2ax c的图像与y轴交于点 C 0，3，与 x3，0。（1）求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；（2）点 M 是第二象限内抛物线上的一动
13、点，若直线两部分，求出此时点 M的坐标；OM 把四边形 ACDB 分成面积为 1：2 的（3）点 P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点是多少？并求出此时点P 在何处时 CPB的面积最大？最大面积P 的坐标。3、如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2x22x与x轴负半轴交于点A，顶点为B，m且对称轴与 x轴交于点C。（1）求点B的坐标（用含m的代数式表示）；（2）D为OB中点，直线AD交y轴于E，若E（0，2），求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点M在直线 OB上，且使得AMC的周长最小，P在抛物线上，Q在直P的坐标。线 BC上，若以 A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求
14、点4、已知关于x的方程(1m)x2(4m)x30。（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；7（2）若正整数m满足8 2m2，设二次函数y(1 m)x2(4 m)x 3的图象与 x轴交于x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一3与此图象恰好有三个公共点时，个新的图象；请你结合这个新的图象回答：当直线 y kx求出 k 的值（只需要求出两个满足题意的A、B两点，将此图象在k 值即可）。5 如图，抛物线 y=ax2+2ax+c（a0）与 y 轴交于点 C（0，4），与 x 轴交于点 A（4，0）和B（1）求该抛物线的解析式；（2）点 Q 是线段 AB 上的动点，过点连接
15、 CQ当 CEQ 的面积最大时，求点点 D 的坐标为（2，0）问是否有直线若存在，请求出点Q 作 QE AC，交 BC 于点 E，Q 的坐标；P，与直线 AC 交于点 F，明理由l，使 ODF 是等腰三角形？（3）平行于 x 轴的动直线 l 与该抛物线交于点F 的坐标；若不存在，请说三、中考二次函数代数型综合题题型一、抛物线与例 1已知二次函数且x轴的两个交点分别位于某定点的两侧y x(m 1)x m 2 的图象与2x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点，x1 x2（1）若x1x2 0，且m为正整数，求该二次函数的表达式；（2）若x1 1，x2 1，求m的取值范围；m的值；（3）是否存在
16、实数m，使得过A、B两点的圆与y轴相切于点C（0，2），若存在，求出 若不存在，请说明理由；1（4）若过点D（0，2）的直线与（1）中的二次函数图象相交于线的表达式MDM、N两点，且1DN3，求该直题型二、抛物线与 x 轴两交点之间的距离问题2例 2 已知二次函数y=x +mx+m-5，（1）求证：不论 m 取何值时，抛物线总与 x 轴有两个交点；（2）求当 m 取何值时，抛物线与 x 轴两交点之间的距离最短8题型三、抛物线方程的整数解问题例 1已知抛物线yx22(m1)xm20与 x 轴的两个交点的横坐标均为整数，且m 5，则整数 m 的值为 _例 2已知二次函数 yx22mx 4m8（1）
17、当 x 2 时，函数值y 随 x 的增大而减小，求m 的取值范围；（2）以抛物线 y x22mx4m8 的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正AMN（M，N 两点在拋物线上），请问：AMN的面积是与 m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；y（3）若抛物线 y x22mx 4m8 与x轴交点的横坐标均为整数，求整数 m 的值O题型四、抛物线与对称，包括：点与点关于原点对称、抛物线的对称性、数形结合xA例 1已知抛物线yx2bxc（其中 b0，c 0）与 y 轴的交点为 A，点 A 关于抛物线对称轴的对称点为 B(m,n)，且 AB=2.(1)求 m,b 的值(2)如果抛物线的
18、顶点位于 x 轴的下方，且 BO=20。求抛物线所对应的函数关系式（友情提醒：请画图思考）题型五、抛物线中韦达定理的广泛应用（线段长、定点两侧、点点关于原点对称、等等）例 1已知：二次函数yx24x m的图象与 x 轴交于不同的两点A（x1，0）、B（x2，0）（x1x2），其顶点是点 C，对称轴与 x 轴的交于点 D（1）求实数 m 的取值范围；（2）如果（x1+1）（x2+1）=8，求二次函数的解析式；（3）把（2）中所得的二次函数的图象沿y 轴上下平移，如果平移后的函数图象与x 轴交于点A1、B1，顶点为点 C1，且 A1 B1C1是等边三角形，求平移后所得图象的函数解析式综合提升1已知
19、二次函数的图象与对称轴为 x1（1）求二次函数的表达式；轴交于点（0，4），且|23，图象的轴交于，两点，与xyA BCAB（2）若二次函数的图象都在直线y x m的下方，求 m的取值范围922已知二次函数y x mx m 2（1）若该二次函数图象与（2）设该二次函数图象与 27，求的值x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB5，求m的值；y轴的交点为 C，二次函数图象上存在关于原点对称的两点M、N，且 SMNCm223.已知关于x的一元二次方程x2(k 1)xk 0 有两个整数根，k 5 且k为整数（1）求k的值；22（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数 y x 2(
20、k 1)x k的图象沿 x轴向左平移 4 个单位，求平移后的二次函数图象的解析式；（3）根据直线与（2）中的两个函数图象交点的总个数，求y xb的取值范围b4已知二次函数的图象经过点A（1，0）和点 B（2，1），且与 y轴交点的纵坐标为 m（1）若为定值，求此二次函数的解析式；m（2）若二次函数的图象与x轴还有异于点 A的另一个交点，求m的取值范围；（3）若二次函数的图象截直线y x 1 所得线段的长为22，求m的值四、中考二次函数定值问题1.（2012 江西南昌 8 分）如图，已知二次函数 L1：y=x2 4x+3 与 x 轴交于 A B 两点（点 A 在点 B左边），与 y 轴交于点C（
21、1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）研究二次函数L2：y=kx2 4kx+3k（k0）写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；若直线 y=8k 与抛物线L2交于 E、F 两点，问线段EF 的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由102.（2012 山东潍坊 11 分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(2，O)、B(2，0)、C(0，l)三点，过坐标原点直线 l1、l2(1)(2)(3)O 的直线 y=kx 与抛物线交于M、N 两点分别过点C、D(0，2)作平行于 x 轴的求抛物线对应二次函数的解析式；求证以 ON 为直径的圆与直线
22、l1相切；求线段 MN 的长(用 k 表示)，并证明 M、N 两点到直线l2的距离之和等于线段MN的长3.（2012 浙江义乌 12 分）如图 1，已知直线y=kx 与抛物线y=4（1）求直线 y=kx 的解析式和线段 OA 的长度；27x+x交于点A（3，6）2223（2）点 P 为抛物线第一象限内的动点，过点 P 作直线 PM，交 x 轴于点 M（点 M、O 不重合），交直线OA 于点 Q，再过点 Q 作直线 PM 的垂线，交 y 轴于点 N试探究：线段QM 与线段 QN 的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；（3）如图 2，若点 B 为抛物线上对称轴右侧的点，点
23、E 在线段 OA 上（与点 O、A 不重合），点 D（m，0）是 x 轴正半轴上的动点，且满足BAE=BED=AOD继续探究：m 在什么范围时，符合条件的点的个数分别是1 个、2 个？E4（2011?株洲）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点A、B 两点，请解答以下问题：（1）若测得 OA=OB=22（如图 1），求 a 的值；y=ax2(a 0)O，两直角边与该抛物线交于（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转到如图2 所示位置时，过B 作 BF x 轴于点F，测得 OF=1，写出此时点B 的坐标，并求点A 的横坐标；（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B 的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标yEOFBxA11