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1、 初一数学有理数难题与提高练习和培优综合题压轴题 含解析 一选择题（共小题）纳米相当于根头发丝直径的六万分之一则利用科学记数法来表示，头 发丝的半径是（）万纳米 纳米 米 米 足球循环赛中，红队胜黄队：，黄队胜蓝队：，蓝队胜红队：，则 下列关于三个队净胜球数的说法正确的是（）红队，黄队，蓝队红队，黄队，蓝队 红队，黄队，蓝队红队，黄队，蓝队 要使为整数，只需为（）奇数偶数的倍数个位是的数 体育课上全班女生进行了百米测验，达标成绩为秒，下面是第一小组 名女生的成绩记录，其中“”表示成绩大于秒，“”表示成绩小于秒，“”表示刚好达标，这个小组的达标率是（）有一列数，从第二个数开始，每一个数都等于与它
2、 前面那个数的倒数的差，若，则值为（）有理数，都不为零，且，则（）计算机中常用的十六进制是逢进的计数制，采用数字和字母 共个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：进制 进制 例如，用十六进制表示，那么（）第页（共页）若，且，那么（），如图，在日历中任意圈出一个的正方形，则里面九个数不满足的关系式 是（）（）（）（）（）（）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知有一种密码，将英文个小写字母，依次对应，这个自然数（见表格），当明文中的字母对应的序 号为 时，将 除以后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明 文对应密文 字母 序号 字
3、母 序号 按上述规定，将明文“译”成密文后是（）设，则下面四个结论中正确的是（）没有最小值只有一个使取最小值 有限个（不止一个）取最小值有无穷多个使取最小值 若“！”是一种数学运算符号，并且！，！，！，！，且公式，则（）第页（共页）二填空题（共小题）万精确到位，有效数字有个 如图，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且，数对应的点在与之间，数对应的点在与之间，若，则原点是（填入 、中的一个或几个）为 了 求的 值，可 令，则 ，因 此，所 以，即 ，仿照以上推理计算：的值是 我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码和），它们两者之间可以互相换算，如将（），（
4、）换算成十进制数应为：；按此方式，将二进制（）换算成十进制数的结果是 请你规定一种适合任意非零实数，的新运算“a”，使得下列算式成立：，（）（）（）（），（）（），你规定的新运算（用，的一个代数式表示）我们定义，例如 若、均为整 数，且满足，则 的值 符号“表”示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（）（），（），（），（），（）（），（），（），（），利用以上规律计算：（）（）、两数在一条隐去原点的数轴上的位置如图所示，下列个式子：第页（共页）；中一定成立的是（只填序号，答案格式如：“”）若，且，则 王老师为调动学生参加班级活动的积极性，给每位学生设计了一个如图所示 的面积为的圆形纸片，若在
5、活动中表现优胜者，可依次用色彩纸片覆盖圆面积 的，请你根据数形结合的思想，依据图形的变化，推断当为整数 时，三解答题（共小题）计算：请你仔细阅读下列材料：计算：（）（）解法：按常规方法计算 原式（）（）（）（）（）解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为：（）（）（）（）故（）（）再根据你对所提供材料的理解，模仿以上两种方法分别进行计算：（）（第页（共页）已知、为有理数，现规定一种新运算，满足 （）求的值；（）求（）（）的值；（）任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列和中，并比较它们的运算结果：和；（）探索（）与 的关系，并用等式把它们表达出来 若 ，互为相反数，互为倒数，求 的
6、值 有理数、在数轴上的位置如图：（）判断正负，用“”或“”填空：，（）化简：（）阅读下面材料：点，在数轴上分别表示实数，两点之间的距离表示为 当，两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图（），；当，两点都不在原点时，如图（），点，都在原点的右边，；如图（），点，都在原点的左边，（）；如图（），点，在原点的两边，（）；综上，数轴上，两点之间的距离 （）回答下列问题：数轴上表示和的两点之间的距离是，数轴上表示 和 的两点之 间的距离是，数轴上表示和的两点之间的距离是；第页（共页）数轴上表示和的两点和之间的距离是，如果，那么 为；当代数式取最小值时，相应的的取值 X 围是 当时，请你参考黑板中老师
7、的讲解，用运算律简便计算：（）（）（）（）同学们都知道：（）表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离 请你借助数轴进行以下探索：（）数轴上表示与两点之间的距离是，（）数轴上表示与的两点之间的距离可以表示为 （）如果，则 （）同理表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的 距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数 是 （）由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由 阅读材料：求值 解：设，将等式两边同时乘以得 第页（共页）将得：，即 请你仿照此法计算：（）（）（其中为正整数）小红和小明在研究绝对值的问题时，
8、碰到了下面的问题：“当式子取最小值时，相应的的取值 X 围是，最小值是”小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了”小明说：“利用数轴可以解决这个问题”他们把数轴分为三段：，和，经研究发现，当 时，值最小为 请你根据他们的解题解决下面的问题：（）当式子取最小值时，相应的的取值 X 围 是，最小值是 （）已知，求相应的的取值 X 围及的最大值写出解答过程 （）阅读下面材料：点，在数轴上分别表示实数，两点之间的距离表示为 当，两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图（），；当，两点都不在原点时，如图（），点，都在原点的右边，；如图（），点，都在原点的左边，（）；如图（），点，在原点的两边，（）；综
9、上，数轴上，两点之间的距离 （）回答下列问题：数轴上表示和的两点之间的距离是，数轴上表示 和 的两点之 第页（共页）间的距离是，数轴上表示和的两点之间的距离是；数轴上表示和的两点和之间的距离是，如果，那么 为；当代数式取最小值时，相应的的取值 X 围是 解方程 计算：（）（）（）（）（）小明早晨跑步，他从自家向东跑了千米到达小彬家，继续向东跑了千米到达小红家，然后向西跑了千米到达中心广场，最后回到家 （）以小明家为原点，以向东的方向为正方向，用个单位长度表示千米，你能在数轴上表示出中心广场，小彬家和小红家的位置吗？（）小彬家距中心广场多远？（）小明一共跑了多少千米？已知：是最小的正整数，且、满
10、足（），请回答问题 （）请直接写出、的值，（）、所对应的点分别为、，点为易动点，其对应的数为，点 在到之间运动时（即 时），请化简式子：（请写出化简过程）（）在（）（）的条件下，点、开始在数轴上运动，若点以每秒 第页（共页）个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和 个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值 阅读材料：求 2 的值 解：设，将等式两边同时乘以得：，将下式减去上式得：，即，即2 请你仿照此法计算的值 计算：（）；（）；（）；（）；（）；（）；（
11、）；（）；（）；（）；（）；（）（）（）（）（）？经过研究，这个问题的一般性结论是，其中是正整数 现在我们来研究一个类似的问题：n（）？观察下面三个特殊的等式 第页（共页）（）（）（）将这三个等式的两边相加，可以得到 读完这段材料，请你思考后回答：（）直接写出下列各式的计算结果：n（）（）探究并计算：（）（）（）请利用（）的探究结果，直接写出下式的计算结果：如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，可以看到终点表示的数是，已知点、是数轴上的点，请参照图并思考，完成下列各题 （）如果点表示数，将点向右移动个单位长度，那么终点表示的 数是，、两点间的距离是；（
12、）如果点表示数，将点向左移动个单位长度，再向右移动个单位 长度，那么终点表示的数是，、两点间的距离为；（）如果点表示数，将点向右移动个单位长度，再向左移动个 单位长度，那么终点表示的数是，、两点间的距离是；（）一般地，如果点表示的数为，将点向右移动个单位长度，再向左 移动个单位长度，那么请你猜想终点表示什么数？、两点间的距离为多 少？第页（共页）初一数学有理数难题与提高练习和培优综合题压轴题 含解析 参考答案与试题解析 一选择题（共小题）（春 碑林区校级期末）纳米相当于根头发丝直径的六万分之一则 利用科学记数法来表示，头发丝的半径是（）万纳米 纳米 米 米 【分析】首先根据题意求出头发丝的半径
13、是（）纳米，然后根据纳 米 米的关系就可以用科学记数法表示头发丝的半径 【解答】解：头发丝的半径是米 故选 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为的 形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值 （秋 赛罕区校级期末）足球循环赛中，红队胜黄队：，黄队胜蓝队：，蓝队胜红队：，则下列关于三个队净胜球数的说法正确的是（）红队，黄队，蓝队 红队，黄队，蓝队 红队，黄队，蓝队 红队，黄队，蓝队 【分析】每个队的进球总数记为正数，失球总数记为负数，这两数的和为这队的净胜球数依此列出算式进行计算 【解答】解：由题意知，红队共进球，失球，净胜球数为：（），黄队共进球，失球，净胜球数
14、为（），蓝队共进球，失球，净胜球数为（）故选 【点评】每个队的进球总数记为正数，失球总数记为负数，这两数的和为这队的净胜球数 第页（共页）（春 XX 期末）要使为整数，只需为（）奇数偶数的倍数个位是的数 【分析】如果为整数，则（）为 的倍数，可确定 的取值 【解答】解：为整数，（）为的倍数，是偶数，则可取任意奇数 故选 【点评】本题考查了奇数、偶数、乘方的有关知识注意：奇数奇数偶数，任何一个偶数必定能够被整除，偶数的平方能够被整除 （秋 XX 期末）体育课上全班女生进行了百米测验，达标成绩为 秒，下面是第一小组名女生的成绩记录，其中“”表示成绩大于秒，“”表示成 绩小于秒，“表”示刚好达标，这
15、个小组的达标率是（）【分析】根据正数是大于标准的数，非负数是达标成绩，可得达标人数，达标人数除以总人数，可的达标率 【解答】解：，达标人数为人，达标率为，故选：【点评】本题考查拉正数和负数，注意非负数是达标人数，达标人数除以总人数的达标率 （新华区模拟）有一列数，从第二个数开始，每 一个数都等于与它前面那个数的倒数的差，若，则值为（）第页（共页）【分析】从所给出的资料中，可得到若，则这列数的 周期为，据此解题即可 【解答】解：根据题意可知：若，则，（），这列数的周期为，故选：【点评】考查有理数的运算方法和数学的综合能力 解此题的关键是能从所给出的资料中找到数据变化的规律，并直接利用规律求出得数
16、，代入后面的算式求解 （春沭阳县期末）有理数，都不为零，且，则 （）【分析】根据、是非零有理数，且，可知，为两正一负或 两负一正，按两种情况分别讨论，求得代数式的可能的取值即可 【解答】解解：、是非零有理数，且，为两正一负或两负一正，且，当 时：；当 时：；综上，的所有可能的值为 故选（）【点评】本题主要考查了代数式求值，关键是掌握绝对值的性质等知识点，注意分情况讨论字母的符号，不要漏解 （天桥区一模）计算机中常用的十六进制是逢进的计数制，采用数 字和字母共个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下 第页（共页）表：进制 进制 例如，用十六进制表示，那么（）【分析】首先把利用十进制表示，然
17、后化成进制即可 【解答】解：，则用进制表示是 故选 【点评】本题考查了有理数的运算，理解十六进制的含义是关键 （秋 祁阳县校级期中）若，且，那么（），【分析】两数之积大于，说明两数同号，两数之和小于，说明两数都是负数【解答】解：，同号；又，同为负数故本题选 【点评】本题考查的知识点为：两数相乘，同号得正；同号两数相加为负数，则这两个数都为负数 （秋 南海区期末）如图，在日历中任意圈出一个的正方形，则里 面九个数不满足的关系式是（）（）（）第页（共页）（）（）（）【分析】从表格中可看出在中间，上下相邻的数为依次大，左右相邻的数为 依次大，所以可得到代数式 【解答】解：、（）（）（），正确，不符合
18、题意；、（），正确，不符合题意；、，正确，不符合题意 、（）（），错误，符合题意 故选 【点评】本题考查有理数的加减混合运算，关键是从表格中看出各个数与的关系，从而得出结果 （XX）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知有一种密码，将英文个小写字母，依次对应，这个自然数（见表格），当明文中的字母对应的序号为 时，将 除以后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文对应密文 字母 序号 字母 序号 按上述规定，将明文“译”成密文后是（）【分析】对应的数字是，除以的余数仍然是，因此对应 的字母是；对应的数字是，除以的余数仍然是，因此对应 的字母
19、是；对应的数字是，除以的余数仍然是，因此对应 的字母是；，所以本题译成密文后是 【解答】解：、分别对应的数字为、，它们分别加 除以所得的余数为、，所对应的密文为 第页（共页）故选：【点评】本题是阅读理解题，解决本题的关键是读懂题意，理清题目中数字和字母的对应关系和运算规则，然后套用题目提供的对应关系解决问题，具有一定的区分度 （秋 和平区校级期中）设，则下面四个结论中正确的 是（）没有最小值只有一个使取最小值 有限个（不止一个）取最小值有无穷多个使取最小值 【分析】根据非负数的性质，分别讨论的取值 X 围，再判断的最值问题 【解答】解：方法一：由题意得：当 时，；当 时，；当 时，；故由上得当
20、 时，有最小值为；故选 方法二：由题意，表示数轴上一点，到，的距离和，这个距离和的最小值为，此时的 X 围为 ，故选 【点评】本题主要考查利用非负数的性质求代数式的最值问题，注意按未知数的取值分情况讨论 若“！”是一种数学运算符号，并且！，！，！，！，且公式，则（）【分析】根据题目信息，表示出与，然后通分整理计算即可 【解答】解：根据题意，有 ，第页（共页），故选 【点评】本题是信息给予题，读懂题目信息是解题的关键 二填空题（共小题）（秋 绥中县期末）万精确到百 位，有效数字有个 【分析】根据确定精确度，从左边第一个不是的数开始数起，到精确 到的数位为止共有个有效数字 【解答】解：万，精确到百
21、位，有效数字有个，分别是，【点评】从左边第一个不是的数开始数起，到精确到的数位为止，所有的数字都叫做这个数的有效数字；注意后面的单位不算入有效数字 （秋 余杭区期末）如图，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且，数对应的点在与之间，数对应的点在与之间，若，则原点是或（填入、中的一个或几个）【分析】根据数轴判断出、之间的距离小于，且大于，然后根据绝对值的性质解答即可 【解答】解：，；当原点在或点时，又因为，所以原点可能在或点；当原点在或点时，所以原点不可能在或点；综上所述，原点应是在或点 故答案为：或 第页（共页）【点评】此题考查了数轴的定义和绝对值的意义 解此类题的关键是：先利
22、用条 件判断出绝对值符号里代数式的正负性，再根据绝对值的性质把绝对值符号去掉，把式子化简后根据整点的特点求解 （XX）为了求的值，可令，则 ，因 此，所 以，即 ，仿照 以上 推理 计算：的 值是 【分析】根据题目信息，设，求出，然后相减计算即可得解 【解答】解：设，则，两式相减得：，则 故答案为 【点评】本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键 （天河区一模）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码和），它们两者之间可以互相换算，如将（），（）换算成十进制数应为：；按此方式，将二进制（）换算成十进制数的结果是 【分析】根据题目信息，利用有理数的
23、乘方列式进行计算即可得解 第页（共页）【解答】解：（）【点评】本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解二进制与十进制的数的转化方法是解题的关键 （XX）请你规定一种适合任意非零实数，的新运算“a”，使得 下列算式成立：，（）（）（）（），（）（），你规定的新运算（用，的一个代数式表示）【分析】由题中的新定义，将已知的等式结果变形后，总结出一般性的规律，即 可用与表示出新运算 【解答】解：根据题意可得：，（）（）（）（），（）（），则 故答案为：【点评】此题考查了有理数的混合运算，属于新定义的题型，其中弄清题意，找出一般性的规律是解本题得关键 （越秀区校级模拟）我们定义，例如 若、均为整数，且
24、满足，则 的值 或 【分析】首先把所求的式子转化成一般的不等式的形式，然后根据，是整数 即可确定，的值，从而求解 【解答】解：根据题意得：，第页（共页）则，因为、是整数，则时，；当 时，当 时，的值不存在；当 ，时，的值不存在；当 时，；当 时，则，或，或，或 故或 故答案是：或 【点评】本题考查了不等式的整数解，正确确定，的值是关键 （春 宿迁校级期末）符号“表”示一种运算，它对一些数的运算结果如 下：（）（），（），（），（），（）（），（），（），（），利用以上规律计算：（）（）【分析】此题是一道找规律的题目，通过观察可发现（）中等号后面的数为前面括号中的数的倍减，（）中等号后面的数为分
25、母减去再乘，计算即可 【解答】解：（）（）（）【点评】找到正确的规律是解答本题的关键 （XX）、两数在一条隐去原点的数轴上的位置如图所示，下列 个式子：；中一定成立的是 （只填序号，答案格式如：“”）【分析】首先能够根据数轴得到，之间的关系的正确信息，然后结合数的运 第页（共页）算法则进行分析 【解答】解：根据数轴得，中，故正确；中，故正确；中，由于的符号无法确定，所以不一定成立，故错误；中，（）（），故正确 所以一定成立的有 故答案为：【点评】此题综合考查了数轴、绝对值、有理数的运算法则的有关内容 特别注意中，能够运用因式分解的知识分解成积的形式，再分别判断两个因式的符号 （贺州）若，且，则
26、 【分析】根据绝对值的意义，知绝对值等于正数的数有个，且互为相反数 根据分式值的符号判断字母符号之间的关系：同号得正，异号得负 【解答】解：，又 ，异号，故，；或，（）或 故答案为：【点评】理解绝对值的意义，注意互为相反数的两个数的绝对值相同同时能够根据分式的值的符号判断两个字母符号之间的关系 （乌鲁木齐）王老师为调动学生参加班级活动的积极性，给每位学生设 计了一个如图所示的面积为的圆形纸片，若在活动中表现优胜者，可依次用色 第页（共页）彩纸片覆盖圆面积的，请你根据数形结合的思想，依据图形的变化，推断当为整数时，【分析】结合图形，知，推而广之即可 【解答】解：结合图形，得 【点评】此题注意运用
27、数形结合的思想进行分析 三解答题（共 小题）计算：【分析】把 变形为 ，再根据加法交换律和结合律计算即可求解 【解答】解：（）（）（）（）【点评】此题考查了有理数的混合运算，关键是把 变形为 计算 第页（共页）（秋 XX 月考）请你仔细阅读下列材料：计算：（）（）解法：按常规方法计算 原式（）（）（）（）（）解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为：（）（）（）（）故（）（）再根据你对所提供材料的理解，模仿以上两种方法分别进行计算：（）（）【分析】观察解法，用常规方法计算即可求解；观察解法，可让除数和被除数交换位置进行计算，最后的结果取计算结果的倒数即可 【解答】解：解法，（）（）（）；解法，
28、原式的倒数为：（）（）（）（）第页（共页），故（）（）【点评】此题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是读懂题意，理解第二种解法的思路：两个数相除，可先求这两个数相除的倒数 （秋 XX 市期末）已知、为有理数，现规定一种新运算，满足 （）求的值；（）求（）（）的值；（）任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列和中，并比较它们的运算结果：和；（）探索（）与 的关系，并用等式把它们表达出来【分析】读懂题意，掌握规律，按规律计算每个式子 【解答】解：（）；（）（）（）（）（）；（）（），（）（）；（）（）（），（）【点评】解答此类题目的关键是认真观察已知给出的式子的特点，找出其中的规律
29、 （秋XX 区期末）若，互为相反数，互为倒数，求 的值 【分析】根据互为相反数的两数之和为，互为倒数的两数之积为可得，代入可得出答案 第页（共页）【解答】解：由题意得：，原式 【点评】本题考查了倒数和相反数的知识，难度不大，注意细心运算 （秋 东台市期中）有理数、在数轴上的位置如图：（）判断正负，用“”或“”填空：，（）化简：【分析】（）根据数轴判断出、的正负情况，然后分别判断即可；（）去掉绝对值号，然后合并同类项即可 【解答】解：（）由图可知，且，所以，；故答案为：，；（）（）（）（）【点评】本题考查了绝对值的性质，数轴，熟记性质并准确识图观察出、的正负情况是解题的关键 （秋 镜湖区校级期中
30、）（）阅读下面材料：点，在数轴上分别表示实数，两点之间的距离表示为 当，两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图（），；当，两点都不在原点时，如图（），点，都在原点的右边，；第页（共页）如图（），点，都在原点的左边，（）；如图（），点，在原点的两边，（）；综上，数轴上，两点之间的距离 （）回答下列问题：数轴上表示和的两点之间的距离是，数轴上表示 和 的两点之 间的距离是，数轴上表示 和 的两点之间的距离是；数轴上表示和的两点和之间的距离是，如果，那 么为或；当代数式取最小值时，相应的的取值 X 围是 当或时，【分析】根据数轴上，两点之间的距离回答即可；根据数轴上，两点之间的距离回答即可；的最
31、小值，意思是到的距离与到的距离之和最小，那么应在和之间的线段上 分三种情况讨论即可求得 【解答】解：，（），（）；（），如果，则，解得或；若取最小值，那么表示的点在和之间的线段上，所以 若，则（）（），解得，若，则（）（），解得，第页（共页）若 和 异号，则等式不成立，所以当或时，故答案为：，；，或；或 【点评】本题主要考查了数轴和绝对值，掌握数轴上两点间的距离两个数之差 的绝对值 （XX）请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算：（）（）（）（）【分析】（）将式子变形为（）（），再根据乘法分配律计算即可求解；（）根据乘法分配律计算即可求解【解答】解：（）（）（）（）（）；（）（）（）【点评
32、】考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算（）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过 第页（共页）程得到简化 （秋古田县校级期末）同学们都知道：（）表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离 请你借助数轴进行以下探索：（）数轴上表示与两点之间的距离是，（）数轴上表示与的两点之间的距离可以表示为 （）如果，则或 （）同理表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的 距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数 是、（）由以上探索猜想对于任何
33、有理数，是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由 【分析】（）根据距离公式即可解答；（）利用距离公式求解即可；（）利用绝对值求解即可；（）利用绝对值及数轴求解即可；（）根据数轴及绝对值，即可解答 【解答】解：（）数轴上表示与两点之间的距离是（），故答案为：；（）数轴上表示与的两点之间的距离可以表示为，故答案为：；（），或 ，解得：或，故答案为：或；（）表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，第页（共页）这样的整数有、，故答案为：、；（）有最小值是 【点评】本题是一道去绝对值和数轴相联系的综合试题，考查了取绝对值的方法，取绝对值在数轴上的运用 难度较大去绝对的关键是确
34、定绝对值里面的数的正负性 （XX 模拟）阅读材料：求值 解：设，将等式两边同时乘以得 将得：，即 请你仿照此法计算：（）（）（其中为正整数）【分析】（）设，两边乘以后得到关系式，与已知等式 相减，变形即可求出所求式子的值；（）同理即可得到所求式子的值 【解答】解：（）设，将等式两边同时乘以得：，将下式减去上式得：，即，则 ；（）设，两边同时乘以得：，得：，即（），则（）【点评】此题考查了有理数的乘方，弄清题中的技巧是解本题的关键 （秋 延庆县期末）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的 问题：“当式子取最小值时，相应的的取值 X 围是 ，最小 第页（共页）值是”小红说：“如果去掉绝对值问
35、题就变得简单了”小明说：“利用数轴可以解决这 个问题”他们把数轴分为三段：，和，经研究发现，当 时，值最小为 请你根据他们的解题解决下面的问题：（）当式子取最小值时，相应的的取值 X 围是，最小值是 （）已知，求相应的的取值 X 围及的最大值写出解答过程 【分析】（）根据线段上的点与线段的端点的距离最小，可得答案；（）根据两个绝对值，可得分类的标准，根据每一段的 X 围，可得到答案 【解答】解：（）当式子取最小值时，相应的 的取值 X 围是 ，最小值是；（）当，时，当时，最大；当 时，当 时，最大；当，时，当时，最大，所以时，有最大值 【点评】本题考查了绝对值，线段上的点与线段的端点的距离最小
36、，（）分类讨论是解题关键 （香洲区校级二模）（）阅读下面材料：点，在数轴上分别表示实数，两点之间的距离表示为 当，两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图（），；当，两点都不在原点时，如图（），点，都在原点的右边，；如图（），点，都在原点的左边，（第页（共页）；如图（），点，在原点的两边，（）；综上，数轴上，两点之间的距离 （）回答下列问题：数轴上表示和的两点之间的距离是，数轴上表示 和 的两点之 间的距离是，数轴上表示 和 的两点之间的距离是；数轴上表示和的两点和之间的距离是，如果，那 么为或；当代数式取最小值时，相应的的取值 X 围是 解方程 【分析】直接根据数轴上、两点之间的距离代入数
37、值运用绝对值即可求任意两点间的距离 根据绝对值的性质，可得到一个一元一次不等式组，通过求解，就可得出的取值 X 围 根据题意分三种情况：当时，当 时，当 时，分别求出方程的解即可 【解答】解：数轴上表示和的两点之间的距离是；数轴上表示和的两点之间的距离是（）；数轴上表示和的两点之间的距离是（）数轴上表示和的两点和之间的距离是（），如果，那么为或 当代数式十取最小值时，第页（共页）当 时，解得；当 时，不成立；当 时，解得 故答案为：，或，【点评】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，体现了数形结合的优点 （秋 南江县校级期中）计算：（）（）（）（）（）【分析】利用去掉
38、括号找出算式的规律求解即可 【解答】解：（）（）（）（）（）【点评】本题主要考查了有理数的乘法，找出算式的规律是解题的关键 （秋XX 期末）小明早晨跑步，他从自家向东跑了千米到达小彬家，继续向东跑了千米到达小红家，然后向西跑了千米到达中心广场，最后回到家 （）以小明家为原点，以向东的方向为正方向，用个单位长度表示千米，你能在数轴上表示出中心广场，小彬家和小红家的位置吗？（）小彬家距中心广场多远？第页（共页）（）小明一共跑了多少千米？【分析】（）根据题意画出即可；（）计算即可求出答案；（）求出每个数的绝对值，相加即可求出答案 【解答】（）解：能，如图：（）解：，答：小彬家距中心广场千米 （）解：
39、，答：小明一共跑了千米 【点评】本题考查了有理数的加减运算，正数和负数，绝对值等知识点的应用，进而此题的关键是能根据题意列出算式，题目比较典型，难度适中，用的数学思想是转化思想，即把实际问题转化成数学问题，用数学知识来解决 （秋 浠水县期末）已知：是最小的正整数，且、满足（），请回答问题 （）请直接写出、的值 ，（）、所对应的点分别为、，点为易动点，其对应的数为，点在到之间运动时（即 时），请化简式子：（请写出化简过程）（）在（）（）的条件下，点、开始在数轴上运动，若点以每秒 第页（共页）个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和 个单位长度的速度向右运动，假设 秒钟过后，若
40、点 与点 之间的距离表示为 ，点与点之间的距离表示为请问：的值是否随着时间 的变 化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值 【分析】（）根据是最小的正整数，即可确定的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是，则每个数是，即可求得，的值；（）根据的 X 围，确定，的符号，然后根据绝对值的意义即可化简；（）根据，的运动情况即可确定，的变化情况，即可确定 的值 【解答】解：（）是最小的正整数，根据题意得：，；（）当 时，则：（）（）；当 时，（）（）；（）不变 点以每秒个单位长度的速度向左运动，点每秒个单位长度向右运动，每秒钟增加个单位长度；点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运
41、动，每秒钟增加个单位长度 ，的值不随着时间的变化而改变 第页（共页）【点评】本题考查了数轴与绝对值，正确理解，的变化情况是关键 （XX 三模）阅读材料：求2的值 解：设，将等式两边同时乘以得：，将下式减去上式得：，即，即2 请你仿照此法计算的值 【分析】设，则，先减即可求出答 案 【解答】解：设，则，【点评】本题考查了有理数的乘方、整式的混合运算的应用，主要考查学生的计算能力和理解能力，题目是一道比较好的题目，难度适中 计算：（）；（）；（）；（）；（）；（）；（）；（）；（）；（）；（）；第页（共页）（）（）（）（）（）【分析】（）（）（）（）可直接按照有理数的混合运算进行；（）（）（）（）
42、（）按照有理数混合运算的顺序，先乘方后乘除最后算加减，有括号的先算括号里面的；（）（）可利用分配律计算；（）可利用结合律进行运算，最后得出结果 【解答】解：（）原式 ；（）原式；（）原式 ；（）原式 ；（）原式 ；（）原式（）（）（）；（）原式（）（）（）；（）原式（）（）；（）原式 （）（）；（）原式 ；（）原式（）；（）原式（）（）【点评】本题考查的是有理数的运算注意：要正确掌握运算顺序，即乘方运算 （和以后学习的开方运算）叫做三级运算；乘法和除法叫做二级运算；加法和减 第页（共页）法叫做一级运算在混合运算中要特别注意运算顺序：先三级，后二级，再一级；有括号的先算括号里面的；同级运算按从左
43、到右的顺序 （秋 沙坪坝区期中）？经过研究，这个问题的一般性结 论是，其中 是正整数 现在我们来研究一个类似的问题：n（）？观察下面三个特殊的等式 （）（）（）将这三个等式的两边相加，可以得到 读完这段材料，请你思考后回答：（）直接写出下列各式的计算结果：n（）（）（）（）探究并计算：（）（）（）（）（）（）请利用（）的探究结果，直接写出下式的计算结果：【分析】（）观察已知的三个等式，得出一般性的规律即可，（）由（）总结出一般性规律，将各项变形后，去括号合并即可得到结果【解答】解：（）直接写出下列各式的计算结果：，n（）（）（），（）探究并计算：（）（）（）（）（）第页（共页）（）请利用（）的
44、探究结果，直接写出下式的计算结果：故答案为：，（）（），（）（）（），【点评】此题考查了规律型：数字的变化类，其中弄清题意，得出一般性的规律是解本题的关键 （秋 昌江县校级期中）如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向 右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，可以看到终点表示的数是，已知点、是数轴上的点，请参照图并思考，完成下列各题 （）如果点表示数，将点向右移动个单位长度，那么终点表示的数是，、两点间的距离是；（）如果点表示数，将点向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，那么终点表示的数是，、两点间的距离为；（）如果点表示数，将点向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，那么终点表示的数是
45、，、两点间的距离是；（）一般地，如果点表示的数为，将点向右移动个单位长度，再向左 移动个单位长度，那么请你猜想终点表示什么数？、两点间的距离为多 少？【分析】根据数轴得出终点表示的数，求出与的距离，归纳总结得到规律，得出一般结果即可 【解答】解：（）如果点表示数，将点向右移动个单位长度，那么终点表示的数是，、两点间的距离是；（）如果点表示数，将点向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，那么终点表示的数是，、两点间的距离为；（）如果点表示数，将点向右移动个单位长度，再向左移动个 单位长度，那么终点表示的数是，、两点间的距离是；（）一般地，如果点表示的数为，将点向右移动个单位长度，再向左 第页（共页）移动个单位长度，那么请你猜想终点表示，、两点间的距离为 故答案为：（），；（），；（），【点评】此题考查了数轴，弄清题中的规律是解本题的关键 第页（共页）