弹塑性力学复习提纲和考试习题.pdf

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1、弹塑性力学复习提纲 1.弹性力学和材料力学在求解的问题以及求解方法方面的主要区别是什么？研究对象的不同：材料力学，根本上只研究杆状构件，也就是长度远远大于高度和宽度的构件。非杆状构造那么在弹性力学里研究 研究方法的不同：材料力学大都引用一些关于构件的形变状态或应力分布的假定，得到的解答往往是近似的，弹性力学研究杆状构造一般不必引用那些假定，得到的结果比拟准确。并可用来校核材料力学得出的近似解。2.弹性力学有哪些根本假设？1连续性，2完全弹性，3均匀性，(4)各向同性，(5)假定位移和形变是微小的 3.弹性力学有哪几组根本方程？试写出这些方程。(1)平面问题的平衡微分方程:x x+yxy+x=0

2、 yy+xyx+y=0 平面问题的几何方程：x=ux y=vy xy=x+uy 平面应力问题的物理方程：x=1E（x y)y=1E（y x)xy=2(1+)Exy(在平面应力问题中的物理方程中将 E 换为E12 ，换为1就得到平面应变问题的物理方程)(2)空间问题的平衡微分方程;x x+yxy+zxz+x=0 y y+zyz+xyx+y=0 z z+xzx+yzy+z=0 空间问题的几何方程;x=ux y=vy z=z xy=x+uy zx=uz+z yz=z+y 空间问题的物理方程：x=1E(x（y+z)y=1E（y(x+z)z=1E（z(x+y)xy=2(1+)Exy yz=2(1+)Ey

3、z zx=2(1+)Ezx 4.按照应力求解和按照位移求解，其求解过程有哪些差异？(1)位移法是以位移分量为根本未知函数，从方程和边界条件中消去应力分量和形变分量，导出只含位移分量的方程和相应的边界条件，解出位移分量，然后再求形变分量和应力分量。要使得位移分量在区域里满足微分方程，并在边界上满足位移边界条件或应力边界条件。(2)应力法是以应力分量为根本未知函数，从方程和边界条件中消去位移分量和形变分量，导出只含应力分量的方程和边界条件，解出应力分量，然后再求出形变分量和位移分量。满足区域里的平衡微分方程，区域里的相容方程，在边界上的应力边界条件，其中假设只求解全部为应力边界条件的问题。5.掌握

4、以下概念：应力边界条件和位移边界条件；圣文南原理；平面应力及平面应变；逆解法及半逆解法。位移边界条件：假设在Su局部边界上给定了约束位移分量u(s)和v(s),那么对于此边界上的每一点，位移函数 u 和 v 和应满足条件（u）s=u(s)，（v）s=v(s)在Su上 应力边界条件：假设在S局部边界上给定了面力分量fx(s)和fy(s),那么可以由边界上任一点微分体的平衡条件，导出应力及面力之间的关系式。圣维南原理：如果把物体的一小局部边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力主矢量一样，对于同一点的主矩也一样，那么近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。平面应力问题：设所研

5、究的物体为等厚度的薄板，在 z 方向不受力，外力沿 z 方向无变化，可以认为在整个薄板里任何一点都有：z=0 zx0 zy0,注意到剪应力互等关系，可知xz=0 yz0,这样只剩下平行于面的三个应力分量，即x，y，xy=yx，它们是 x 和 y 的函数，不随 z 而变化 平面应变问题：设有很长的柱形体，以任一横截面为面，任一纵线为 z 轴，所受的荷载都垂直于 z 轴且沿 z 方向没有变化，那么所有一切应力分量，变形分量和位移分量都不沿 z 方向变化，而只是 x 和 y 的函数，如果近似的认为柱形体的两端受到平面的约束，使之在 z 方向无位移，那么任何一个横截面在 z 方向都没有位移，所有变形都

6、发生在面里。逆解法：就是先设定各种形式的，满足相容方程(4x4+24x2y2+4y4=0)的 应 力函 数的 ，并由 式(x=2y2 xx,y=2x2yy,xy=2xy 求的应力分量；然后再根据应力边界条件和弹性体的边界形状，看这些应力分量对应于边界上什么样的面力，从而得知所选取的应力函数可以解决的问题。半逆解法：就是针对所要求解的问题，根据弹性体的边界形状和受力情况，假设局部或全部应力分量的函数形式；并从而推出应力函数的形式；然后代入相容方程，求出应力函数的具体表达式；在按式(x=2y2 xx,y=2x2 yy,xy=2xy)由应力函数求的应力分量；并考察这些应力分量能负满足全部应力边界条件

7、 6.什么是各向同性体？横观各向同性体？正交各向异性体？极端各向异性体？他们各有多少弹性常数？弹性对称面：如果在弹性体中存在这么一个平面，该平面两边各点的弹性常数关于它对称，该平面就称为弹性对称面。各向同性体：如果在弹性体内任意一点沿任意两个方向的弹性性质都一样，那么称其为各向同性体。2 个弹性常数 横观各向同性体：如果弹性体内存在一个弹性对称面和一个旋转轴，那么称其为横观各向同性体。5 个弹性常数 正交各向异性体：如果弹性体内存在三个相互正交的弹性对称面，那么称其为正交各向异性体。9 个弹性常数 极端各向异性体：如果在弹性体内任意一点沿任意两个方向的弹性性质都一样，那么称其为各向同性体。21

8、 个弹性常数 7.什么是应力函数？双谐方程？如何推导出双谐方程？应力函数及应力分量间的关系？如何求解双谐方程？x=2y2 xx,y=2x2 yy,xy=2xy 称为平面问题的应力函数。4x4+24x2y2+4y4=0 是用应力函数表示的相容方程。8.由直角坐标下的多项式解可以获得哪些有意义的弹性力学解？如何计算应力、应变和位移？可以获得诸如：受集中荷载的悬臂梁、受分布荷载的简支梁以及受纯弯曲的简支梁的解 首先由逆解法或半逆解法求出相应的应力函数表达式，再根据应力函数求出相应的应力分量，再根据本构方程求得应变，然后再由几何方程求得位移。9.由弹性力学所获得的受集中荷载的悬臂梁、受分布荷载的简支梁

9、以及受纯弯曲的简支梁的解答，及材料力学所得到的解答有哪些共同之处和哪些不同之处？由此可以说明哪些问题？在弯应力x的表达式中，第一项为哪一项主要项，和材料力学的解答一样，第二项那么是弹性力学提出的修正项，对于通常的浅梁，修正项很小，可以不计，对于较深的梁，那么必须注意修正项。弹性力学和材料力学解答的差异，是由于各自的解法不同。简而言之，弹性力学的解答是严格考虑区域内的平衡微分方程，几何方程，物理方程，以及在边界上的边界条件而求解的，因而得出的解答是较准确的。而在材料力学的解法中，没严格考虑上述条件，因而得出的解答时近似的。一般来说，材料力学的解法只适用解决杆状构件的问题，这时他它的解答具有足够的

10、精度，对于非杆状构件的问题，不能用材料力学的解法来求解，只能用弹性力学的解法来求解。9.如何推导出极坐标下弹性力学的根本方程？极坐标下弹性力学的根本方程及直角坐标下的方程有哪些区别？只需将角码 x 和 y 分别换成为 和。区别：在直角坐标系中，都是直线，有固定的方向，坐标的量纲都是L，在极坐标中 和在不同的点有不同的方向，坐标线是直线，量纲是 L，是圆弧曲线，坐标为量纲一的量，这些都引起弹性力学根本方程的差异。10.极坐标下弹性力学根本方程的通解可以解答哪些问题？受均布压力的圆环、带圆孔的无限大板、半平面体在边界上受集中力、对径受压的圆盘，以及布辛捏斯克解，是如何获得的？这些解答可以解决哪些工

11、程问题？极坐标下弹性力学根本方程的通解可以解答由径向线和圆弧线围成的例如圆环、圆形、扇形等弹性体受力后的应力、应变及位移问题。解答获得：先由轴对称条件简化相应的应力函数求得相应的应力分量表达式，在联立简化后的相容方程，求出应力函数和应力分量的具体表达式，再根据各模型的特殊边界条件，求得最终解答。可以解决的工程问题：隧洞开挖问题、地基沉降问题等 11.什么是解析函数？复变函数的积分及实函数的积分有哪些共同之处和哪些不同之处？泰勒级数及罗伦级数有哪些共同之处和哪些不同之处？什么是保角映射？什么条件下一个映射是保角映射？假设函数w=f(z）在点Z0的某个领域|Z Z0|内可导，那么称它在点Z0解析。

12、复积分的根本思想是在一元实函数积分中，把实函数换成复函数，把实轴上的积分区间换成复平面内逐段光滑的有向曲线，偏得到复函数积分 凡在某区域内处处具有保角性和伸缩率不变形的映射都称为第一类保角映射 对于相交于Z0的任意两条有向曲线，其夹角大小和方向经过w=f(z）映射后都保持不变，这时，称映射w=f(z）在点Z0具有保角性。14.空间3 维问题弹性力学的根本方程及平面2 维问题的根本方程有哪些区别？空间3 维问题弹性力学的根本方程中含有 15 个未知函数：6 个应力分量，6 个应变分量，3 个位移分量。平面2 维问题的根本方程中只含有 8 个未知函数：3 个应力分量，3 个应变分量，2 个位移分量

13、。15.什么是轴对称问题？轴对称问题有哪些特点？轴对称问题弹性力学的根本方程及空间问题相比有哪些不同之处？所谓轴对称：是指物体的形状或某物理量是绕一轴对称的，凡通过对称轴的任何面都是对称面。相对于非轴对称，轴对称问题的求解过程更为简单，也有希望得到有实际意义的解。轴对称问题弹性力学的根本方程及空间问题相比，轴对称的方程更为简单。16.什么塑性？塑性力学研究的内容及弹性力学有哪些不同？为什么在塑性状态下应力及应变间不再有一一对应关系？塑性力学的特点和根本假设各是什么？塑性：是材料的一种变形性质或变形的一个阶段，材料进入塑性的特征是当荷载卸载后以后存在不可恢复的永久变形。塑性力学研究问题可以分为两

14、个方面：一是根据实验观察所得结果为出发点，建立塑性状态下变形的根本规律既本构关系，二是应用这些理论和关系求解具体问题，既求物体在荷载等外来因素作用下的应力和变形的分布。塑性力学远比弹性力学来的复杂，首先塑性力学没有统一的本构方程，因为塑性变形是一个非常复杂的过程，它是随不同的材料和外界条件而改变的啊，其次是方程是非线性的啊，变形是和加载的历史有关，再此是求解问题是，在物体中弹性区和塑性区往往是共存的，需要决定这两个区域的交界面。塑性力学的特点：1应力应变关系的多值性2本构关系的复杂性 塑性力学的假设：1材料是均匀的啊，连续的。2各向均匀的应力状态，既静水应力状态不影响塑性变形而产生弹性的体积变

15、化。3在温度不高，时间不长时，可以忽略蠕变和松弛的效应，在应变率不大的情况下，可以忽略应变率对塑性变形的影响。17.金属材料的应力应变曲线有哪些类型？岩石的应力应变曲线有哪些类型？这些应力应变曲线之间有哪些共同之处和哪些不同之处？根据这些应力应变曲线可以总结出哪些力学模型？金属材料的应力应变曲线有两种类型，弹塑性和弹脆性。岩石的应力应变曲线有5 种类型：单一弹性、弹塑性、塑弹性、塑弹塑性、弹粘性。18.什么是求和约定？求和约定有什么意义？用什么方法表示导数？如何根据求和约定来简化公式的书写？求和约定;在同一项中，重复出现两次的字母标号为求和标号，它表示将该标号依次取为 1,2,3,时所得各项取

16、和。例如：aibi=a1b1+a2b2+a3b3;求和约定的意义;因为求和标号不再是区分分量的标号，而只是一种约定求和的标志，所以不管选用哪一个字母都不会改变其含意，即求和标号可以任意变换字母都不会改变其含意。例如：aibi=ajbj 导数表示方法：,并用表示，这里的逗号表示逗号后的字母标号所代表的变量求导。用求和约定简化公式的书写;例如：=表示一线性代数方程组 +=+=+=19.什么是张量？张量是如何定义的？什么是零阶张量？一阶张量？二阶张量？张量：在数学上，如果某些量依赖于坐标抽的选择，并在坐标变换时，其变换具有某种指定形式，那么这些量的总称为张量。零阶张量：由定义可知绝对标量及坐标系选择

17、无关是零阶张量。标量：指完全由一个正值或负值的数量所确定的物理量 一阶张量：矢量是一阶张量，矢量是指由三个分量所确定的物理量或几何量，它是和坐标系的选择有关，当坐标变换时，服从一定的规律 二阶张量：设在给定的坐标系xi内有具有两个标注的九个分量aij,当坐标变换时，它们在新坐标系xi 内的九个分量变为amn,假设这些量满足变换关系式 aij=amnlmilnj amn=aijlmjlnj 那么由此九个量的集构成二阶张量。20.什么是效应？对于强化材料，正向加载屈服极限提高后再反向加载，会出现什么现象？由效应可以获得哪些结论？效应：如果在完全卸载后施加相反方向的应力，比方由拉改为压，那么曲线沿D

18、O 的延长线下降，即开场是成直线关系弹性变形，但至一定程度D点又开场进入屈服，并有反方向应力的屈服极限降低的现象(s)_(s)+，这种现象称为效应。结论：即使是初始各向同性的材料，在出现塑性变形后，就带各向异性。21.什么是 试验？由 试验可以获得哪些结论？试验：试验结果指出，弹簧钢在 10000 个大气压体积缩小约 2.2%，而且这种体积变化是可以恢复的在各向均匀压缩的情况下，他又用各种钢试件作出轴向拉伸时的应力应变曲线及轴向拉伸及静水压力同时作用下的应力_应变曲线。两者加以比拟，发现各向均压对初始屈服的影响很小，可以忽略不计。结论:在静水应力状态不影响塑性变形而只产生弹性的体积变化。22.

19、什么是理想弹塑性？应变硬化？应变软化？理想弹塑性、弹性-线形应变硬化和弹性-应变软化模型各可以代表哪些不同类型的材料？理想弹塑性体：忽略硬化。应变硬化：材料在屈服以后，必须继续增大应力才能使它产生新的塑性变形，这种现象称为应变硬化。应变软化：应力降低，应变增加的现象称为应变软化。23.什么是应力张量？应力球张量？应力偏张量？主应力偏张量？把表示一点应力状态的应力张量分解为应力球张量和应力偏张量，有什么意义？应力张量：九个应力分量的整体是一个二阶张量，并写成下面的形式 ij =xyxzxxyyzyxzyzz ij =xyxzxxyyzyxzyzzm000m000mxmyxzxxyymzyxzyz

20、zm m=(x+y+z)3 应力球张量：它代表的应力状态为三个主应力相等且等于m的应力状态，既表 示各个方向受一样的压应力或拉应力,上式右边第一个局部。应力偏张量：反映一个实际的应力状态偏离均匀应力状态的程度，上式右边第二局部。，那 么 应 力 偏 张 量 可 表 示 为：xmyxzxxyymzyxzyzzm=SxyxzxxySyzyxzyzSz 意义：由于应力球张量主要是和单元体的体积变化有关，至于应力偏张量那么主要是和单元体的形状改变有关，既主要是和物体的塑性变形有关。24.什么是应力张量的第一不变量？第二不变量？第三不变量？什么是应力偏张量的第一不变量？第二不变量？第三不变量？I1(ij

21、)=x+y+z I2(ij)=(xy+yz+zx)+(2xy+2yz+2zx)I3(ij)=|xyxzxxyyzyxzyzz|那么此三次方程的3N I1(ij)2N I2(ij)N I3(ij)=0系数应及坐标轴选择无关，所以I1(ij），I2(ij），I3(ij）是三个不变量，分别称为应力张量的第一，第二，第三不变量。I1(Sij)=0 I2(Sij)=16(X y)2+(y z)2+(z x)2+6(2xy+2yz+2zx I3(Sij)=|xmyxzxxyymzyxzyzzm|如果取主轴为坐标轴，上式可用主应力表示为 I1(Sij)=0 I2(Sij)=16(1 2)2+(2 3)2+(

22、3 1)2 I3(Sij)=1m)(2m)(3m)=S1S2S3 这里I1(Sij），I2(Sij)，I3(Sij），就分别称为应力偏张量的第一，第二，第三不变量。25.什么是等倾面上的应力？八面体剪应力？应力强度？等效应力？设物体内某点的主应力及主方向，通过该点作一特殊平面，使此平面的外法线 N 及三个主方向成相等的夹角。取主方向为坐标轴，这时从物体内取出的四面体，每个象限有一个，他们形成一个封闭的正八面体，这些面上的应力就称为八面体应力，即八面体正应力为oct=13(1+2+3)=m 八面体剪应力为oct=13(12)2+(2 3)2+(31)2 八面体剪应力oct为了使用方便将它乘以32

23、，并称之为应力强度，用符号来表示，即=32oct 在某种意义上来说，就将原来的一个复杂应力状态化作成一个具有一样“效应的单向应力状态，所以又称为有效应力。26.什么是屈服准那么？为什么需要有屈服准那么？金属材料常用的屈服准那么有哪几个？准那么和准那么的主要差异是什么？岩土材料常用的屈服准那么有哪几个？判断材料是否处于弹性阶段还是已进入塑性阶段的判断式，即屈服条件准那么。金属材料常用的屈服准那么：准那么和准那么 准那么和准那么的主要差异是：准那么是指当最大剪应力到达材料所固有的某一值时，材料开场屈服。准那么是指当应力强度到达一定数值是材料开场屈服。应力空间内，条件表示的屈服曲面是一个以L 为轴线

24、的正六棱柱体，其在平面上的投影即屈服曲面为一个正六边形，而条件表示的屈服曲面是一外接于上述正六棱柱体的圆柱体，在平面上的屈服曲线是一外接于前述的正六变形的圆。岩土材料常用的屈服准那么：条件，广义条件和广义条件。27.什么是主应力空间？什么是屈服面？金属材料和岩土材料常用屈服准那么的屈服面各有什么样的几何形状？准那么和准那么屈服面的形状有哪些差异？准那么和准那么屈服面的形状有哪些差异？主应力空间：如果我们将1，2，3取为三个相互垂直的直角坐标轴而构成一空间直角坐标系，那么该空间中任一点的三个坐标值就相应于物体中某点应力状态的三个主应力的数值，也就是说，该空间中的一点对应于物体中某点的应力状态，我

25、们把这个空间称为应力空间。屈服面：屈服函数在应力空间中表示一个曲面。准那么和准那么屈服面的形状主要差异是：应力空间内，条件表示的屈服曲面是一个以L 为轴线的正六棱柱体，其在平面上的投影即屈服曲面为一个正六边形，而条件表示的屈服曲面是一外接于上述正六棱柱体的圆柱体，在平面上的屈服曲线是一外接于前述的正六变形的圆。28.在塑性状态下区分加载及卸载有什么意义？如何区分加载及卸载？理想弹塑性材料和应变硬化材料的加载及卸载有什么差异？什么是中性变载？1理想塑性材料(（ij=0的加载和卸载准那么：在荷载改变的过程中，应力点如保持在屈服面上，那么d=0,此时塑性变形可以任意增长，就称为加载。当应力点从屈服面

26、移动到屈服面内，那么 d0，10.得：v-1。由于到目前为止还没有v0。3-16给定单向拉伸曲线如下图，s、E、E均为，当知道 B点的应变为时，试求该点的塑性应变。解：由该材料的曲线图可知，该种材料为线性强化弹塑性材料。由于B点的应变已进入弹塑性阶段，故该点的应变应为：=p 故：-e 11eessEEEEEE 111sssEEEEEEEEEE 1sEE；BACOtgE-1tgE-1stgE-1s 3-19 藻壁圆筒承受拉应力2sz及扭矩的作用，假设使用条件，试求屈服时扭转应力应为多大？并求出此时塑性应变增量的比值。解：由于是藻壁圆筒，所可认圆筒上各点的应力状态是均匀分布的。据题意圆筒内任意一点

27、的应力状态为：采用柱坐标表示 0，0r，2sz；0r，z；0zr；于是据屈服条件知，当该藻壁圆筒在轴向拉力固定不变及扭矩M遂渐增大，直到材料产生屈服的作用下，产生屈服时，有：12222222162srzzrrzzr 112222222116622222sss 解出得：2s；就是当圆筒屈服时其横截面上的扭转应力。任意一点的球应力分量m为：36rzsm 应 力 偏 量 为：6sms；6srrms；263ssszzms；0rrzrrzss；2szzs；由增量理论知：pijijds d 于是得：6psdd sd；6psrrdd sd；3pszzdd sd；0prrdd s；0przrzdd s；2ps

28、zzdd sd 所以此时的塑性应变增量的比值为：pd：prd：pzd：prd：przd：pzd6s：6s：3s：0：0：2s 也即：pd：prd：pzd：prd：przd：pzd-1：-1：2：0：0：6；3-20一藻壁圆筒平均半径为r，壁厚为t，承受内压力p作用，且材料是不可压缩的，12v；讨论以下三种情况：1：管的两端是自由的；2：管的两端是固定的；3：管的两端是封闭的；分别用和两种屈服条件讨论p多大时，管子开场屈服，如单向拉伸试验r值。解：由于是藻壁圆筒，假设采用柱坐标时，r0，据题意首先分析三种情况下，圆筒内任意一点的应力状态：1：1prt；2300rz 2：1prt；30r；22zv

29、prprvtt；3：1prt；30r；22zprt；显然知，假设采用条件讨论时，1、2、3三种情况所得结果一样，也即：13max2222ssprkt；解出得：stpr；假设采用屈服条件讨论时，那么2 3两种情况所得结论一样。于是得：1：22222212233122sprprtt 解出得：stpr；2、3：222220022sprprprprtttt 解出得：23stpr；3-22给出以下问题的最大剪应力条件及畸变能条件：1：受内压作用的封闭藻壁圆管。设内压q，平均半径为r，壁厚为t，材料为理想弹塑性。2：受拉力p和旁矩作用的杆。杆为矩形截面，面积bh，材料为理想弹塑性。解1：由于是藻壁圆管且t

30、r1。所以可以认为管壁上任意一点的应力状态为平面应力状态，即0,且应力均匀分布。那么任意一点的三个主应力为：1qrt；30r；22zqrt；假设采用 屈服条件，那么有：13max2222srsqrt；故得：sqrt；或：2sqrt；假设采用屈服条件，那么有：2222212233126ss 222zzrr 2222223222qrqrqrqrq rttttt；故得：32sqrt；或：2sqrt；解2：该杆内任意一点的应力状态为单向应力状态，受力如图示 1xzPMyFJ 230yz yzh2h2bMpoyxh2h2Mp且知，当杆件产生屈服时，首先在杆件顶面各点屈服，故知2hy 得：126xPMbh

31、bh；230 假设采用屈服条件，那么有：13max261222ssPMbhbh；故得：16sMPbhh；或：162sMPbhh；假设采用屈服条件，那么有：22222221223311262622ssPMbhbh 故得：16sMPbhh；或：163sMPhbh；一般以s为准拉伸讨验 第五章 平面问题直角坐标解答 5-2：给出axy；1：捡查是否可作为应力函数。2：如以为应力函数，求出应力分量的表达式。3：指出在图示矩形板边界上对应着什么样的边界力。坐标如下图 解：将axy代入40式 得：220 满足。故知axy可作为应力函数。yloxxy=-ayz=-ah2h2求出相应的应力分量为：220 xy

32、；220yx；2xyax y ；上述应力分量0 xy；xya 在图示矩形板的边界上对应着如下图边界面力，该板处于纯剪切应力状态。5-4：试分析以下应力函数对一端固定的直杆可解出什么样的平面问题。3223432Fxyqxyycc；解：首先将函数式代入20式知，满足。故该函数可做为应力函数求得应力分量为：222332342xFxFyqqxyyccc；220yx；22222223312142424xyzFyFhFhyyx ycchJ ；显然上述应力分量在边界及边界上对应的面力分量均为零，而在边界上那么切向面力分量呈对称于原点o的抛物线型分布，指向都朝下，法向面力为均布分布的载荷q。显然法向均布载荷q

33、在该面上可合成为一轴向拉力p且 2；而切向面力分量在该面上那么可合成为一切向集中力：PabyFlcccdx2222222322333222222332336664342638842222hhhhhhxyhhhhhhFhFFhFFdydydyy dyyyhhhFhhFhhhFFFhh 而边界那么为位移边界条件要求，0，0，0 以及转角条件。由以上分析可知，该应力函数对于一端固定的直杆 坐标系如图示，可解决在自由端受轴向拉伸拉力为 2和横向集中力 F 作用下的弯曲问题。如图示 5-6：已求得三角形坝体的应力 为：0 xyxyyxxzxzzyyzzaxbycxdydxayx 其中为坝体的材料容重，1

34、为水的容重，试据边界条件求出常数a、b、c、d的值。xonAB1yy 解：据图示列出水坝边界和边界面上的应力边界条件：边：0,(180)1 ，0,y,0 故得：10 xxxyyTyaTb 边：，,(90+),0 故有：cossin0cossin0 xxyyxycd 将0 xxaxbyby代入a式得：1b；将：0 xyxay 代入b式得：0ay 得 0；将x、xy代入c式得：21dctg；将y、yx代入d式得：312cctgctg；5-7：很长的直角六面体，在均匀压力q的作用下，放置在绝对刚性和光滑和根底上，不计体力。试确定其应力分量和位移分量。解：由题意知，该问题为一平面应变问题。由于不计体力

35、所以平面应力及平面应变的变形协调方程是一样的，故可取一单位长度的直角六面体来研究其应力状态。当求知应力分量函数后，再由平面应变的本构关系求得应变分量，进一步积分再利用有关位移边界条件确定积分常数后求得位移分量。这里我们采用逆解法，首先据题目设应力函数2ay显然式满足双调和方程式40。相应应力分量为：2xa，0y，0 xy 显然直角六面体左右两面的应力边界条件自动满足。bbohxqy对于项边：,10,0 那么可定出：2qa；对于底边：0,10,0 同样定出：2qa ；因此满足该问题所有应力边界条件的解为：xq，0y，0 xyyx 应这分量为：2211xxvvqEE，1yv vqE，0 xy 积分

36、得：21110vuqxfyAEv vvqyfxBEw 利用位移边界条件确定积分常数：（1）当 0,0 时，0 那么：0（2）当 0,0 时，0 那么：0（3）当 0 时，0 那么：f(y)=0（4）当 0 时，0 那么：f1(x)=0 因此知该问题的位移分量为：21vuqxE；1v vvqyE；0w 5-10:设图中的三角形悬臂梁只受重力作用。而梁的比重为p，试用纯三次式：3223axbx ycxydy的应力函数求解应力分量 解:显然式满足20式,可做为应力函数,相应的应力分量为:22266222xyxycxbypyaxbypyxbxcyx y a 边界条件：边：0,0 1,0 那么：20 得

37、：0-60 得：0 边：,cos 90sin;cos;0 xyyxtglmFF 那么：26sin2cos02sincos0cxdxtgcxtgacxtgpxtgb 由c 式得：2pcctg；oynax90+代入(b)式得：23pdctg；所以a式变为：22xyxypxctgpyctgpypyctga 第六章 平面问题的极坐标解 6-3:在极坐标中取,ln2CrrA式中 A 及 C 都是常数。i：检查是否可作应力函数？：写出应力分量表达式？：在和的边界上对应着怎样的边界条件？解：首先将式代入04式，其中：.0,0;2;21;21222222CrArCrArrCrrAr故：;00221122222

38、24CrACrArrrr 故：式可作为应力函数。应力分量为：crrrbCrAraCrArrrrr;011;2;211222222222 对于右图所示圆环，上述应力分量对应着如下边界条件：abAa2+2CAa2+2C当时内环：1,0.;0;22arrarrrFCaAF 当 b时外环：1，0.;0;22brrbrrrFCbAF 6-5：试确定应力函数2cos2cos2 cr中的常数 c 值。使满足题6-5图中的条件：1 在,面上0;sr2在,面上0;sr并证明楔顶不有集中力及力偶作用。解：首先将式代入04式，知其满足,故可做为应力函数。相应的应力分量为：:;2sin4;2cos4;2cos2cos

39、2;2sin2;2cos2cos22222222则得crrcrcrcrcrrsnysn ox ccrrrbcracrrrrr2sin2112cos2cos22cos2cos2112222222 边 界 条 件：当时，;.0sr那 么：.0002cos2cos2得c自动满足;2sin2:.2sin2scsc得.02cos2cos2;,0.csr当时;2sin22sin22sin200,coscosscscc,得则因故得：esr;2cos2cos2sin22 fsssrr2sin2sin;2cos2cos2sin;2cos2cos2sin 由e式可知，该应力函数在0 处并不适用，所以f式也不反映o

40、点处的应力状态。如果我们以a为半径截取一局部物体为研究对象见右图示，并假设在o点处存在集中力、及集中力偶,那么这局部物体在、以及s、r和r这一力系的作用下应保持平衡状态。但事实上，由于s及r力的作用线都通过o点，r及r、s 的分布又都对称为 x 轴，所以当考虑 0,0yoFFM及两平衡条件时，要求0yoRM否那么该物体将不平衡。0cossin;0cossin2drMrdRrrorry ssrrRxMooyRyax如果存在，那么由楔形尖项处承受集中载荷的应力的讨论知8-25式，在楔形体内就一定存在有随 r 和而变化的应力分量r。然而我们在上述讨论中所得结果f中第一式中，并不存在随 r 而变化的这

41、局部r应力，所以要求0 xR。因此知，在楔顶 就题 8-5 图所示问题 不存在集中力及集中力偶的作用。平衡与边界力ssrrdRrrxcos2sincos F=0 和大小等于2ac的负的切向面力分量2acF.以逆时针转向为正。如果将内圆环上的切向面力分量F对中心点0 取矩，那么得：.2222MaacaaF故：2Mc；于是上式得：arMrr22;0;0 那么当时，对于内环边界对应着面力分量：22 aMF；0rF；当时，对于外环边界对应着面力分量：22 bMF；0rF；如果：内环，.那么为一无限大平板上挖有一半径为a的圆孔。在孔壁上作用有切向面力分量：22 aMF；如果：0，那么为一无限大平板，在o

42、点作用有一集中力偶 M。第七章 柱体的扭转 7-1：试用半逆解法求圆截面柱体的扭转问题的解。解：圆截面柱体，设其半径为a，那么圆截面的边界的方程为：aaryx2222 设柱端作用有扭矩TM。采用半逆解法。据材料力学的有关理论知，该问题的应力解为：;0;0ArAyAxzzrrrzzrzrzxzyxyyxzyx或所 以 由 边 界 方 程、上 述 应 力 分 解 以 及并或;:;rnxyzzyzx设满足:0的应力函数为设边界arc bayxByxaarBr22222,上(a)、(b)式中的 B 为待定常数。将(a)(b)分别代入应满足的应变协调方程得：cGrrryx212222222 得：;21G

43、B故 dayxGarG2222221;21 将(d)式代入dxdyMT2式得：dxdyadxdyydxdyxGMT222212 因：44242422:;2;4;4GaMaGMadxdyadxdyyadxdyxTT得 eayxaMaraMTT2224224 由(e)式求得应力分量如下：;2;2;24212244raMrxaMxyaMyTzyzxzTzyTzx全位移分量为：;0;2;244wzxGaMzxvzyaGMzyuTT 或：;0;242122wzrGaMvuST 由式:0,0:;1;1ywxwvuxGywzvyGxwyuyzxy式得、及上。积分得：xfwyfw1,只能等于一常数0w，而0w

44、就是圆柱体在z方向的刚性位移，略去刚性位移，那么0w。0,00wyww则方向的刚性位移略去就是圆体在而只能等于一常数 7-10：求边长为 2a 的等边三角形截面柱体的极限扭矩。ofeagcbd解：做出边长为 2a 的等边三角形的三棱锥体如右图。显然：,2agacgfcbfebaeacabcab;3330aatggofoeo 设,那么:aheohtg33 令:Ktg，那么:aKh33 故:KaaKaShVMs323233243323122;上式中K为纯剪屈服应力。弹性力学-学习指南 一、单项选择题：每题 2 分，共 40 分 1.以下对象不属于弹性力学研究对象的是 A 杆件 B 板壳 C 块体

45、D 质点 2.所谓“完全弹性体是指 。A.材料应力应变关系满足胡克定律 B.材料的应力应变关系及加载时间历史无关 C.物理关系为非线性弹性关系 D.应力应变关系满足线性弹性关系 3.以下哪种材料可视为各向同性材料 A 木材 B 竹材 C 混凝土 D 夹层板 4.按弹性力学规定，图示单元体上的剪应力 A 均为正 B1、4 为正，2、3 为负 C 均为负 D1、3 为正，2、4 为负 5在平面应变问题中，z如何计算？A0z不需要计算 B 由Eyxzz/直接求 C 由)(yxz求 D Zz 6在平面应变问题中取纵向作 z 轴 A 0,0,0zzw B 0,0,0zzw C 0,0,0wz D 0,0

46、,0zzw 7图示构造腹板和翼缘厚度远远小于截面的高度和宽度，产生的效应具有局部性的力和力矩是P2 A P1 一对力 B P2 一对力 C P3 一对力 D P4 一对力构成的力系和 P2 一对力及 M 组成的力系 8.在常体力情况下，用应力函数表示的相容方程等价于 A 平衡微分方程 B几何方程 C 物理关系 D平衡微分方程、几何方程和物理关系 9对图示两种截面一样的拉杆，应力分布有差异的局部是 A B C D 和 10.图示承受均布荷载作用的简支梁，材料力学解答:22334)2(3,0,6yhhxlqyxlhqxxyyx A 满足平衡微分方程 B 满足应力边界条件 C 满足相容方程 D 不是

47、弹性力学准确解 11平面应力问题的外力特征是 A 只作用在板边且平行于板中面 B 垂直作用在板面 C 平行中面作用在板边和板面上 D 作用在板面且平行于板中面 12 设有平面应力状态,dycxbyaxyxxaydxxy，其中 a，b，c，d 均为常数，为容重。该应力状态满足平衡微分方程，其体力是 A 0,0YX B 0,0YX C 0,0YX D 0,0YX 13.圆环仅受均布外压力作用时 A r为压应力，为压应力 B r为压应力，为拉应力 C r为拉应力，为压应力 D r为拉应力，为拉应力 14某一平面应力状态，0,xyyx，那么及面垂直的任意斜截面上的正应力和剪应力为 ,22,20,DCB

48、A 15.弹性力学及材料力学的主要不同之处在于 。A.任务 B.研究对象 C.研究方法 D.根本假设 16以下问题可简化为平面应变问题的是 A 墙梁 B 高压管道 C 楼板 D 高速旋转的薄圆盘 17.图示开孔薄板的厚度为 t，宽度为 h，孔的半径为 r，那么 b点的 A q B (2r)C 2q D 3q 18.用应变分量表示的相容方程等价于 A平衡微分方程 B几何方程 C物理方程 D 几何方程和物理方程 19.如果必须在弹性体上挖空，那么孔的形状应尽可能采用 A 正方形 B 菱形 C 圆形 D 椭圆形 20.图示物体不为单连域的是 二、填空题：每题 3 分，共 60 分 1.弹性力学是研究

49、物体在外力作用下，处于弹性阶段的 、和 。2.物体的均匀性假定是指物体的 一样。3 平 面 应 力 问 题 有3个 独 立 的 未 知 函 数，分 别是 。4平面应变问题的几何形状特征是 。5一平面应变问题内某一点的正应力分量为MPaMPayx25,35，3.0，那么z 。6 对 于 多 连 体 变 形 连 续 的 充 分 和 必 要 条 件 是 和 。7某物体处在平面应力状态下，其外表上某点作用着面力为0,YaX，该点附近的物体内部有xxy则：,0 ，y 。8将平面应力问题下的物理方程中的,E分别换成 和 就可得到平面应变问题下相应的物理方程。9.校核应力边界条件时，应首先校核 ，其次校核

50、条件。10.孔边应力集中的程度及孔的形状 ，及孔的大小 。11在常体力情况下，不管应力函数是什么形式的函数，由确定的应力分量恒能满足 。12对于两类平面问题，从物体内取出的单元体的受力情况 差异，所建立的平衡微分方程 差异。13.对于平面应力问题：z ，z ；对于平面应变问题：z ，z 。14设有周边为任意形状的薄板，其外表自由并及坐标面平行。假设各点的位移分量为yEpvxEpu1,1，那么板内的应力分量为 。15.圣维南原理是把物体小边界上的面力，变换为 不同但 的面力。16 在 情况下，平面问题最后归结为在满足边界条件的前提下求解四阶偏微分方程04。17.平面曲梁纯弯时 横向的挤压应力，平