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1、弹塑性力学复习提纲1. 弹性力学和材料力学在求解的问题以及求解方法方面的主要区别是什么？研究对象的不同：材料力学，根本上只研究杆状构件，也就是长度远远大于高度和宽度的构件。非杆状构造那么在弹性力学里研究研究方法的不同：材料力学大都引用一些关于构件的形变状态或应力分布的假定，得到的解答往往是近似的，弹性力学研究杆状构造一般不必引用那些假定，得到的结果比拟准确。并可用来校核材料力学得出的近似解。2. 弹性力学有哪些根本假设？ 1连续性，2完全弹性，3均匀性，(4)各向同性，(5)假定位移和形变是微小的3. 弹性力学有哪几组根本方程？试写出这些方程。(1)平面问题的平衡微分方程: x x+yxy+x
2、=0 yy+xyx+y=0平面问题的几何方程：x=ux y=vy xy=x+uy平面应力问题的物理方程： x=1E（x-y) y=1E（y-x) xy=2(1+)Exy(在平面应力问题中的物理方程中将E换为E1-2 ，换为1-就得到平面应变问题的物理方程)(2)空间问题的平衡微分方程; x x+yxy+zxz+x=0 y y+zyz+xyx+y=0 z z+xzx+yzy+z=0空间问题的几何方程; x=ux y=vy z=z xy=x+uy zx=uz+z yz=z+y 空间问题的物理方程： x=1E(x-（y+z) y=1E（y-(x+z)z=1E（z-(x+y) xy=2(1+)Exy
3、yz=2(1+)Eyz zx=2(1+)Ezx4. 按照应力求解和按照位移求解，其求解过程有哪些差异？(1)位移法是以位移分量为根本未知函数，从方程和边界条件中消去应力分量和形变分量，导出只含位移分量的方程和相应的边界条件，解出位移分量，然后再求形变分量和应力分量。要使得位移分量在区域里满足微分方程，并在边界上满足位移边界条件或应力边界条件。(2)应力法是以应力分量为根本未知函数，从方程和边界条件中消去位移分量和形变分量，导出只含应力分量的方程和边界条件，解出应力分量，然后再求出形变分量和位移分量。满足区域里的平衡微分方程，区域里的相容方程，在边界上的应力边界条件，其中假设只求解全部为应力边界
4、条件的问题。5. 掌握以下概念：应力边界条件和位移边界条件；圣文南原理；平面应力及平面应变；逆解法及半逆解法。位移边界条件：假设在Su局部边界上给定了约束位移分量u(s)和v(s),那么对于此边界上的每一点，位移函数u和v和应满足条件（u）s=u(s)，（v）s=v(s) 在Su上应力边界条件：假设在S局部边界上给定了面力分量fx(s)和fy(s),那么可以由边界上任一点微分体的平衡条件，导出应力及面力之间的关系式。圣维南原理：如果把物体的一小局部边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力主矢量一样，对于同一点的主矩也一样，那么近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。平面应
5、力问题：设所研究的物体为等厚度的薄板，在z方向不受力，外力沿z方向无变化，可以认为在整个薄板里任何一点都有：z=0 zx0 zy0,注意到剪应力互等关系，可知xz=0 yz0,这样只剩下平行于面的三个应力分量，即x，y ，xy=yx ，它们是x和y的函数，不随z而变化平面应变问题：设有很长的柱形体，以任一横截面为面，任一纵线为z轴，所受的荷载都垂直于z轴且沿z方向没有变化，那么所有一切应力分量，变形分量和位移分量都不沿z方向变化，而只是x和y的函数，如果近似的认为柱形体的两端受到平面的约束，使之在z方向无位移，那么任何一个横截面在z方向都没有位移，所有变形都发生在面里。逆解法：就是先设定各种形
6、式的，满足相容方程(4x4+24x2y2+4y4=0)的应力函数的，并由式(x=2y2-xx, y=2x2-yy, xy=-2xy 求的应力分量；然后再根据应力边界条件和弹性体的边界形状，看这些应力分量对应于边界上什么样的面力，从而得知所选取的应力函数可以解决的问题。半逆解法：就是针对所要求解的问题，根据弹性体的边界形状和受力情况，假设局部或全部应力分量的函数形式；并从而推出应力函数的形式；然后代入相容方程，求出应力函数的具体表达式；在按式(x=2y2-xx, y=2x2-yy, xy=-2xy)由应力函数求的应力分量；并考察这些应力分量能负满足全部应力边界条件6. 什么是各向同性体？横观各向
7、同性体？正交各向异性体？极端各向异性体？他们各有多少弹性常数？弹性对称面：如果在弹性体中存在这么一个平面，该平面两边各点的弹性常数关于它对称，该平面就称为弹性对称面。各向同性体：如果在弹性体内任意一点沿任意两个方向的弹性性质都一样，那么称其为各向同性体。2个弹性常数横观各向同性体：如果弹性体内存在一个弹性对称面和一个旋转轴，那么称其为横观各向同性体。5个弹性常数正交各向异性体：如果弹性体内存在三个相互正交的弹性对称面，那么称其为正交各向异性体。 9个弹性常数极端各向异性体：如果在弹性体内任意一点沿任意两个方向的弹性性质都一样，那么称其为各向同性体。21个弹性常数7. 什么是应力函数？双谐方程？
8、如何推导出双谐方程？应力函数及应力分量间的关系？如何求解双谐方程？ x=2y2-xx, y=2x2-yy, xy=-2xy称为平面问题的应力函数。4x4+24x2y2+4y4=0 是用应力函数表示的相容方程。8. 由直角坐标下的多项式解可以获得哪些有意义的弹性力学解？如何计算应力、应变和位移？ 可以获得诸如：受集中荷载的悬臂梁、受分布荷载的简支梁以及受纯弯曲的简支梁的解首先由逆解法或半逆解法求出相应的应力函数表达式，再根据应力函数求出相应的应力分量，再根据本构方程求得应变，然后再由几何方程求得位移。9. 由弹性力学所获得的受集中荷载的悬臂梁、受分布荷载的简支梁以及受纯弯曲的简支梁的解答，及材料
9、力学所得到的解答有哪些共同之处和哪些不同之处？由此可以说明哪些问题？在弯应力x的表达式中，第一项为哪一项主要项，和材料力学的解答一样，第二项那么是弹性力学提出的修正项，对于通常的浅梁，修正项很小，可以不计，对于较深的梁，那么必须注意修正项。弹性力学和材料力学解答的差异，是由于各自的解法不同。简而言之，弹性力学的解答是严格考虑区域内的平衡微分方程，几何方程，物理方程，以及在边界上的边界条件而求解的，因而得出的解答是较准确的。而在材料力学的解法中，没严格考虑上述条件，因而得出的解答时近似的。一般来说，材料力学的解法只适用解决杆状构件的问题，这时他它的解答具有足够的精度，对于非杆状构件的问题，不能用
10、材料力学的解法来求解，只能用弹性力学的解法来求解。9. 如何推导出极坐标下弹性力学的根本方程？极坐标下弹性力学的根本方程及直角坐标下的方程有哪些区别？只需将角码x和y分别换成为和。区别：在直角坐标系中，都是直线，有固定的方向，坐标的量纲都是L，在极坐标中和在不同的点有不同的方向，坐标线是直线，量纲是L，是圆弧曲线，坐标为量纲一的量，这些都引起弹性力学根本方程的差异。10. 极坐标下弹性力学根本方程的通解可以解答哪些问题？受均布压力的圆环、带圆孔的无限大板、半平面体在边界上受集中力、对径受压的圆盘，以及布辛捏斯克解，是如何获得的？这些解答可以解决哪些工程问题？极坐标下弹性力学根本方程的通解可以解
11、答由径向线和圆弧线围成的例如圆环、圆形、扇形等弹性体受力后的应力、应变及位移问题。解答获得：先由轴对称条件简化相应的应力函数求得相应的应力分量表达式，在联立简化后的相容方程，求出应力函数和应力分量的具体表达式，再根据各模型的特殊边界条件，求得最终解答。可以解决的工程问题：隧洞开挖问题、地基沉降问题等11. 什么是解析函数？复变函数的积分及实函数的积分有哪些共同之处和哪些不同之处？泰勒级数及罗伦级数有哪些共同之处和哪些不同之处？什么是保角映射？什么条件下一个映射是保角映射？ 假设函数w=f(z）在点Z0的某个领域Z-Z0内可导，那么称它在点Z0解析。复积分的根本思想是在一元实函数积分中，把实函数
12、换成复函数，把实轴上的积分区间换成复平面内逐段光滑的有向曲线，偏得到复函数积分 凡在某区域内处处具有保角性和伸缩率不变形的映射都称为第一类保角映射 对于相交于Z0的任意两条有向曲线，其夹角大小和方向经过w=f(z）映射后都保持不变，这时，称映射w=f(z）在点Z0具有保角性。14. 空间3维问题弹性力学的根本方程及平面2维问题的根本方程有哪些区别？ 空间3维问题弹性力学的根本方程中含有15个未知函数：6个应力分量，6个应变分量，3个位移分量。平面2维问题的根本方程中只含有8个未知函数：3个应力分量，3个应变分量，2个位移分量。15. 什么是轴对称问题？轴对称问题有哪些特点？轴对称问题弹性力学的
13、根本方程及空间问题相比有哪些不同之处？所谓轴对称：是指物体的形状或某物理量是绕一轴对称的，凡通过对称轴的任何面都是对称面。相对于非轴对称，轴对称问题的求解过程更为简单，也有希望得到有实际意义的解。轴对称问题弹性力学的根本方程及空间问题相比，轴对称的方程更为简单。16. 什么塑性？塑性力学研究的内容及弹性力学有哪些不同？为什么在塑性状态下应力及应变间不再有一一对应关系？塑性力学的特点和根本假设各是什么？ 塑性：是材料的一种变形性质或变形的一个阶段，材料进入塑性的特征是当荷载卸载后以后存在不可恢复的永久变形。塑性力学研究问题可以分为两个方面：一是根据实验观察所得结果为出发点，建立塑性状态下变形的根
14、本规律既本构关系，二是应用这些理论和关系求解具体问题，既求物体在荷载等外来因素作用下的应力和变形的分布。塑性力学远比弹性力学来的复杂，首先塑性力学没有统一的本构方程，因为塑性变形是一个非常复杂的过程，它是随不同的材料和外界条件而改变的啊，其次是方程是非线性的啊，变形是和加载的历史有关，再此是求解问题是，在物体中弹性区和塑性区往往是共存的，需要决定这两个区域的交界面。塑性力学的特点：1应力应变关系的多值性2本构关系的复杂性塑性力学的假设：1材料是均匀的啊，连续的。2各向均匀的应力状态，既静水应力状态不影响塑性变形而产生弹性的体积变化。3在温度不高，时间不长时，可以忽略蠕变和松弛的效应，在应变率不
15、大的情况下，可以忽略应变率对塑性变形的影响。17. 金属材料的应力应变曲线有哪些类型？岩石的应力应变曲线有哪些类型？这些应力应变曲线之间有哪些共同之处和哪些不同之处？根据这些应力应变曲线可以总结出哪些力学模型？金属材料的应力应变曲线有两种类型，弹塑性和弹脆性。岩石的应力应变曲线有5种类型：单一弹性、弹塑性、塑弹性、塑弹塑性、弹粘性。18. 什么是求和约定？求和约定有什么意义？用什么方法表示导数？如何根据求和约定来简化公式的书写？求和约定;在同一项中，重复出现两次的字母标号为求和标号，它表示将该标号依次取为1,2,3,时所得各项取和。例如：aibi=a1b1+a2b2+a3b3 ;求和约定的意义
16、;因为求和标号不再是区分分量的标号，而只是一种约定求和的标志，所以不管选用哪一个字母都不会改变其含意，即求和标号可以任意变换字母都不会改变其含意。例如：aibi=ajbj导数表示方法：x1 , x1 , x1 并用表示，这里的逗号表示逗号后的字母标号所代表的变量求导。用求和约定简化公式的书写;例如：Aijxj=Bi表示一线性代数方程组 A11x1+A12x2+A13x3=B1 A21x1+A22x2+A23x3=B2 A31x1+A32x2+A33x3=B319. 什么是张量？张量是如何定义的？什么是零阶张量？一阶张量？二阶张量？张量：在数学上，如果某些量依赖于坐标抽的选择，并在坐标变换时，其
17、变换具有某种指定形式，那么这些量的总称为张量。零阶张量：由定义可知绝对标量及坐标系选择无关是零阶张量。标量：指完全由一个正值或负值的数量所确定的物理量一阶张量：矢量是一阶张量，矢量是指由三个分量所确定的物理量或几何量，它是和坐标系的选择有关，当坐标变换时，服从一定的规律二阶张量：设在给定的坐标系xi内有具有两个标注的九个分量aij,当坐标变换时，它们在新坐标系xi 内的九个分量变为amn ,假设这些量满足变换关系式aij=amnlmilnjamn=aijlmjlnj那么由此九个量的集构成二阶张量。20. 什么是效应？对于强化材料，正向加载屈服极限提高后再反向加载，会出现什么现象？由效应可以获得
18、哪些结论？效应：如果在完全卸载后施加相反方向的应力，比方由拉改为压，那么曲线沿DO的延长线下降，即开场是成直线关系弹性变形，但至一定程度D点又开场进入屈服，并有反方向应力的屈服极限降低的现象(s)_(s)+ ， 这种现象称为效应。结论：即使是初始各向同性的材料，在出现塑性变形后，就带各向异性。21. 什么是 试验？由 试验可以获得哪些结论？ 试验： 试验结果指出，弹簧钢在10000个大气压体积缩小约2.2% ，而且这种体积变化是可以恢复的在各向均匀压缩的情况下，他又用各种钢试件作出轴向拉伸时的应力应变曲线及轴向拉伸及静水压力同时作用下的应力_应变曲线。两者加以比拟，发现各向均压对初始屈服的影响
19、很小，可以忽略不计。结论:在静水应力状态不影响塑性变形而只产生弹性的体积变化。22. 什么是理想弹塑性？应变硬化？应变软化？理想弹塑性、弹性-线形应变硬化和弹性-应变软化模型各可以代表哪些不同类型的材料？理想弹塑性体：忽略硬化。应变硬化：材料在屈服以后，必须继续增大应力才能使它产生新的塑性变形，这种现象称为应变硬化。应变软化：应力降低，应变增加的现象称为应变软化。23. 什么是应力张量？应力球张量？应力偏张量？主应力偏张量？把表示一点应力状态的应力张量分解为应力球张量和应力偏张量，有什么意义？应力张量：九个应力分量的整体是一个二阶张量，并写成下面的形式 ij =xyxzxxyyzyxzyzz
20、ij =xyxzxxyyzyxzyzzm000m000mx-myxzxxyy-mzyxzyzz-mm=(x+y+z)3应力球张量：它代表的应力状态为三个主应力相等且等于m的应力状态，既表示各个方向受一样的压应力或拉应力,上式右边第一个局部。应力偏张量：反映一个实际的应力状态偏离均匀应力状态的程度，上式右边第二局部。，那么应力偏张量可表示为：x-myxzxxyy-mzyxzyzz-m=SxyxzxxySyzyxzyzSz意义：由于应力球张量主要是和单元体的体积变化有关，至于应力偏张量那么主要是和单元体的形状改变有关，既主要是和物体的塑性变形有关。24. 什么是应力张量的第一不变量？第二不变量？第
21、三不变量？什么是应力偏张量的第一不变量？第二不变量？第三不变量？I1(ij)=x+y+z I2(ij)=-(xy+yz+zx)+(2xy+2yz+2zx)I3(ij)=xyxzxxyyzyxzyzz那么此三次方程的3N-I1ij2N-I2ijN-I3ij=0系数应及坐标轴选择无关，所以I1(ij）， I2(ij），I3(ij）是三个不变量，分别称为应力张量的第一，第二，第三不变量。I1(Sij)=0I2(Sij)=16(X-y)2+y-z2+z-x2 +6(2xy+2yz + 2zx I3(Sij)= x-myxzxxyy-mzyxzyzz-m如果取主轴为坐标轴，上式可用主应力表示为I1(Si
22、j)=0I2(Sij)=16(1-2)2+2-32+3-12 I3(Sij)=1-m)(2-m)(3-m)=S1S2S3这里I1(Sij），I2(Sij)， I3(Sij），就分别称为应力偏张量的第一，第二，第三不变量。25. 什么是等倾面上的应力？八面体剪应力？应力强度？等效应力？设物体内某点的主应力及主方向，通过该点作一特殊平面，使此平面的外法线N及三个主方向成相等的夹角。取主方向为坐标轴，这时从物体内取出的四面体，每个象限有一个，他们形成一个封闭的正八面体，这些面上的应力就称为八面体应力，即八面体正应力为oct=13(1+2+3)=m八面体剪应力为oct=13(1-2)2+(2 -3)2
23、+(3-1)2 八面体剪应力oct为了使用方便将它乘以32，并称之为应力强度，用符号i来表示，即i=32oct在某种意义上来说，就将原来的一个复杂应力状态化作成一个具有一样“效应的单向应力状态，所以i又称为有效应力。26. 什么是屈服准那么？为什么需要有屈服准那么？金属材料常用的屈服准那么有哪几个？准那么和准那么的主要差异是什么？岩土材料常用的屈服准那么有哪几个？判断材料是否处于弹性阶段还是已进入塑性阶段的判断式，即屈服条件准那么。金属材料常用的屈服准那么：准那么和准那么准那么和准那么的主要差异是：准那么是指当最大剪应力到达材料所固有的某一值时，材料开场屈服。准那么是指当应力强度到达一定数值是
24、材料开场屈服。应力空间内，条件表示的屈服曲面是一个以L为轴线的正六棱柱体，其在平面上的投影即屈服曲面为一个正六边形 ，而条件表示的屈服曲面是一外接于上述正六棱柱体的圆柱体，在平面上的屈服曲线是一外接于前述的正六变形的圆。岩土材料常用的屈服准那么：条件，广义条件和广义条件。27. 什么是主应力空间？什么是屈服面？金属材料和岩土材料常用屈服准那么的屈服面各有什么样的几何形状？准那么和准那么屈服面的形状有哪些差异？ 准那么和准那么屈服面的形状有哪些差异？主应力空间：如果我们将1 ，2，3取为三个相互垂直的直角坐标轴而构成一空间直角坐标系，那么该空间中任一点的三个坐标值就相应于物体中某点应力状态的三个
25、主应力的数值，也就是说，该空间中的一点对应于物体中某点的应力状态，我们把这个空间称为应力空间。屈服面：屈服函数在应力空间中表示一个曲面。准那么和准那么屈服面的形状主要差异是：应力空间内，条件表示的屈服曲面是一个以L为轴线的正六棱柱体，其在平面上的投影即屈服曲面为一个正六边形 ，而条件表示的屈服曲面是一外接于上述正六棱柱体的圆柱体，在平面上的屈服曲线是一外接于前述的正六变形的圆。28. 在塑性状态下区分加载及卸载有什么意义？如何区分加载及卸载？理想弹塑性材料和应变硬化材料的加载及卸载有什么差异？什么是中性变载？1理想塑性材料(（ij =0的加载和卸载准那么：在荷载改变的过程中，应力点如保持在屈服
26、面上，那么d=0,此时塑性变形可以任意增长，就称为加载。当应力点从屈服面移动到屈服面内，那么d0，10.得：v-1。由于到目前为止还没有v0。3-16给定单向拉伸曲线如下图，s、E、E均为，当知道B点的应变为时，试求该点的塑性应变。解：由该材料的曲线图可知，该种材料为线性强化弹塑性材料。由于B点的应变已进入弹塑性阶段，故该点的应变应为：=p故：-e；3-19藻壁圆筒承受拉应力及扭矩的作用，假设使用条件，试求屈服时扭转应力应为多大？并求出此时塑性应变增量的比值。解：由于是藻壁圆筒，所可认圆筒上各点的应力状态是均匀分布的。据题意圆筒内任意一点的应力状态为：采用柱坐标表示，；，；于是据屈服条件知，当该藻壁圆筒在轴向拉力固定不变及扭矩M遂渐增大，直到材料产生屈服的作用下，产生屈服时，有：解出得：；就是当圆筒屈服时其横截面上的扭转应力。任意一点的球应力分量m为：应力偏量为：；由增量理论知：于是得：；所以此时的塑性应变增量的比值为：0：0：也即：-1：-1：2：0：0：6；3-20一藻壁圆筒平均半