《2023年新高考数学选填压轴题汇编（二十七）（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年新高考数学选填压轴题汇编（二十七）（解析版）.pdf（47页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023年新高考数学选填压轴题汇编(二十七)一、一、单选题单选题1.1.(20232023 广东广州广东广州 统考一模统考一模)已知a,b,c均为正实数，e为自然对数的底数，若a=bec,lna lnb，则下列不等式一定成立的是()A.a+babB.abbaC.cc+1【答案】D【解析】已知a,b,c均为正实数，a=bec,lna lnb,当b=1,c=1时，a=e，满足 lna=1 lnb=0成立，对于A，a+b=e+1ab=e，故A错误；对于B，ab=eba=1，故B错误；对于C，c=1a-ba+b=e-1e+1，故C错误，对于D，由已知a=becbe0=b，则，lna-lnb0.由 ln
2、a lnb 则 lna2-lnb20，所以lna+lnb0，即ab1，得b1a，a=bec1aec，即a2ec.下面证明ecc+1，c0.设 f(c)=ec-c-1，f(c)=ec-10，所以 f(c)在区间 0,+上单调递增，所以 f(c)=ec-c-1 f(0)=e0-1=0，即ecc+1.所以a2c+1，故D正确，故选：D.2.2.(20232023 广东湛江广东湛江 统考一模统考一模)已知函数 f x及其导函数 fx的定义域均为 R，且 f x-1为奇函数，f2-x+fx=2，f-1=2，则25i=1f2i-1=()A.13B.16C.25D.51【答案】C【解析】由 f2-x+fx=
3、2，令x=1，得2f1=2，所以 f1=1由 f x-1为奇函数，得 f x-1=-f-x-1，所以 fx-1=f-x-1，故 fx=f-x-2又 f2-x+fx=2，由和得 f2-x+f-x-2=2，即 f4-x-2+f-x-2=2，所以 fx+fx+4=2，令x=-1，得 f-1+f3=2，得 f3=0，令x=1，得 f1+f5=2，得 f5=1又 fx+4+fx+8=2，由-得 fx-fx+8=0，即 fx=fx+8，所以函数 fx是以8为周期的周期函数，故 f7=f-1=2，所以 f1+f3+f5+f7=1+0+1+2=4，所以25i=1f2i-1=f1+f3+f5+f7+f49=6
4、f1+f3+f5+f7+f1=24+1=25，故选：C3.3.(20232023 广东湛江广东湛江 统考一模统考一模)已知a=9110.1,b=log910,c=lg11，则()A.bcaB.cbaC.bacD.cab【答案】A【解析】根据指数函数和对数函数的性质，可得：a=9110.1log99=1，c=lg11lg10=1，又由2=lg100lg99=lg9+lg112 lg9lg11，所以1lg9lg11，故1lg9lg11又b=log910=1lg9，所以bc，所以bca故选：A4.4.(20232023 湖南张家界湖南张家界 统考二模统考二模)鲁班锁是我国传统的智力玩具，起源于中国古
5、代建筑中的榫卯结构，其内部的凹凸部分啮合十分精巧.图1是一种鲁班锁玩具，图2是其直观图.它的表面由八个正三角形和六个正八边形构成，其中每条棱长均为2.若该玩具可以在一个正方体内任意转动(忽略摩擦)，则此正方体表面积的最小值为()A.96+48 2B.120+72 2C.144+96 2D.168+96 2【答案】D【解析】将鲁班锁补成正方体ABCD-A1B1C1D1，然后以点A为坐标原点，AB、AD、AA1所在直线分別为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，在鲁班锁所在几何体上任取一个顶点P 0,2,2+2 2，观察图形可知，P到鲁班锁所在几何体上其他顶点的距离的最大值在PE、PF、PG
6、、PH、PM、PN、PR、PS中取得，结合图形可知E2,0,0、F 2+2,0,0，G 2+2 2,2,0，H 2+2 2,2+2,0、M 2+2,2+2 2,0，N2,2+2 2,0，R 0,2+2,0，S 0,2,0，则 PE2=4+2+2 22=16+8 2，PF2=2+22+2+2+2 22=20+12 2，PG2=2 2+2 22=24+16 2，PH2=2 2+2 22+4=28+16 2，PM2=2+2 22+2 2+22=24+16 2，|PN|2=2+(2+2)2+(2+2 2)2=20+12 2，PR2=4+2+2 22=16+8 2，PS2=2+2 22=12+8 2，所
7、以P到鲁班锁所在几何体上其他顶点的距离的最大值为28+16 2，所以，若该玩具可以在一个正方体内任意转动(忽略摩擦)，设该正方体的棱长的最小值为a，则a=28+16 2，该正方体的表面积为S=6a2=168+96 2.故选：D.5.5.(20232023 湖北湖北 校联考模拟预测校联考模拟预测)过点 M-1,y0作抛物线 y2=2px(p 0)的两条切线，切点分别是 A，B，若MAB面积的最小值为4，则p=()A.1B.2C.4D.16【答案】B【解析】设A x1,y1,B x2,y2(y10,y20)，以A为切点的切线斜率为k1，则以A x1,y1为切点的切线方程为y-y1=k1(x-x1)
8、，与抛物线y2=2px(p0)联立可得：k1y2-2py+2py1-2k1px1=0，由=0，即4p2-8k1py1+8k21px1=0，则4p2-8k1py1+8k21y21=0，即(2p-2k1y1)2=0，解得k1=py1，则以A x1,y1为切点的切线方程为y-y1=py1(x-x1)，即y1y-y21=p(x-x1)，所以y1y-2px1=p(x-x1)，整理可得y1y=p(x+x1)，同理B x2,y2为切点的切线方程为y2y=p(x+x2)，因为点M-1,y0在切线y1y=p(x+x1)和y2y=p(x+x2)，所以y0y1=p(x1-1)，y0y2=p(x2-1)，故直线AB的
9、方程为：y0y=p(x-1)，联立y0y=p x-1,y2=2px,消去x，得y2-2y0y-2p=0=4y20+8p0由韦达定理，得y1+y2=2y0,y1y2=-2p，于是|AB|=1+y20p24y20+8p点M到直线AB的距离：d=y20+2py20+p2，于是MAB的面积S=12d|AB|=12y20+2py20+p21+y20p24y20+8p=y20+2p3p，当y0=0时，MAB面积最小为2 2p=4,p=2，故选：B6.6.(20232023 湖北湖北 校联考模拟预测校联考模拟预测)设实数a,b,c满足1.001ea=e1.001,b-10001001=1.001-1.001
10、,c=1.001，则()A.bcaB.bacC.cbaD.ac0),f(x)=1x-121+1x2=-(x-1)2x21时，f(x)1时，lnx12x-1x，从而ln x 12x-1x，即lnx0，故ab；c-a=lnx0，故ca，于是bac，故选：B7.7.(20232023 山东聊城山东聊城 统考一模统考一模)设a=e14-54，b=e-14-34，c=e13-43，则()A.abcB.bacC.cbaD.bca【答案】B【解析】a=e14-54=e14-14-1b=e-14-14-1c=e13-13-1令 f(x)=ex-x-1，所以 f(x)=ex-1，令 f(x)=ex-1=0得x=
11、0，x0时，f(x)0时，f(x)0，f(x)单调递增，所以 f13 f14，所以ca，令g(x)=(ex-x)-(e-x+x)=ex-e-x-2x，所以g(x)=ex+e-x-22 exe-x-2=0，所以g(x)在(0,+)单调递增，g14g(0)=1-1-0=0，所以e14-14 e-14+14，所以e14-14-1e-14+14-1，所以ab，所以bac，故选：B.8.8.(20232023 山东山东 河北衡水中学统考一模河北衡水中学统考一模)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉函数 f x=x称为高斯函数，其中xR R，x表示不超过x的最大整数，例如：-
12、1.1=-2，2.5=2，则方程 2x+1+x=4x的所有解之和为()A.12B.34C.32D.74【答案】C【解析】xR R，kZ Z，使k2x+1k+1，则2x+1=k，可得k-12xk2，2k-24x2k，若k为奇数，则k-12Z Z，所以x=k-12，2x+1+x=k+k-12=4x，则2k-2k+k-122k，解得-1k3，k=1或k=3，当k=1时，0 x12，x=0，2x+1=1，1+0=4xx=14 0,12，当k=3时，1x32，x=1，2x+1=3，3+1=4xx=1 1,32，若k为偶数，则k2Z Z，所以x=k2-1，2x+1+x=k+k2-1=4x，则2k-2k+k
13、2-12k，解得-2k2，k=0或k=2，当k=0时，-12x0，x=-1，2x+1=0，-1+0=4xx=-14-12,0当k=2时，12xabB.bacC.abcD.bca【答案】C【解析】由指数函数的性质得：e-0.02e-12=1e130.01，设 f(x)=ex-1-x，则 f(x)=ex-10在x0时恒成立，所以 f(x)在(0,+)上是增函数，f(x)是连续函数，因此 f(x)在0,+)上是增函数，所以 f(0.01)f(0)，即e0.01-1-0.010，即e0.011.01，所以0.01ln1.01，所以abc故选：C10.10.(20232023 福建厦门福建厦门 厦门双十
14、中学校考模拟预测厦门双十中学校考模拟预测)已知 F1，F2分别是双曲线:x2a2-y2b2=1 a0,b0的左、右焦点，过F1的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，CB=3F2A，BF2平分F1BC，则双曲线的离心率为()A.7B.5C.3D.2【答案】A【解析】因为CB=3F2A，所以F1AF2F1BC，设 F1F2=2c，则 F2C=4c，设 AF1=t，则 BF1=3t，AB=2t因为BF2平分F1BC，由角平分线定理可知，BF1BC=F1F2F2C=2c4c=12，所以 BC=2 BF1=6t，所以 AF2=13BC=2t，由双曲线定义知 AF2-AF1=2a，即2t
15、-t=2a，t=2a，又由 BF1-BF2=2a得 BF2=3t-2a=2t，所以 BF2=AB=AF2=2t，即ABF2是等边三角形，所以F2BC=ABF2=60在F1BF2中，由余弦定理知cosF1BF2=BF12+BF22-F1F222 BF1 BF2，即12=4t2+9t2-4c222t3t，化简得7t2=4c2，把代入上式得e=ca=7，所以离心率为7故选：A11.11.(20232023 福建厦门福建厦门 厦门双十中学校考模拟预测厦门双十中学校考模拟预测)已知函数 f x=log33x-1+3-12x，若 f a-1f 2a+1成立，则实数a的取值范围为()A.-,-2B.-,-2
16、 0,+C.-2,43D.-,-243,+【答案】C【解析】因为g x=log33x+1-12x=log33x2+3-x2的定义域为R，又g-x=log33-x2+3x2=g x，故函数g x为偶函数，又x 0,+时，3x21，y=3x2单调递增，故由复合函数单调性可得函数y=3x2+3-x2在 0,+单调递增，函数y=log3x在定义域上单调递增，所以g x在 0,+单调递增，所以 f x=log33x-1+3-12x=1+log33x-2+1-12x=log33x-2+1-12x-2=g x-2，所以 f x关于直线x=2对称，且在 2,+单调递增所以 f a-1 f 2a+1 a-1-2
17、 2a+1-2，两边平方，化简得 a+23a-40，解得-2a43故选：C12.12.(20232023 福建漳州福建漳州 统考三模统考三模)已知函数 f x=2x+lnx+1-a 和函数 g x=x-ae2x，具有相同的零点x0，则e2x0lnx20的值为()A.2B.-eC.-4D.e2【答案】C【解析】由题意知：f x0=2x0+lnx0+1-a=0，g x0=x0-ae2x0=0，联立两式可得：x0e2x0-2x0-lnx0-1=0，令h x=xe2x-2x-lnx-1 x0，则hx=1+2xe2x-2x+1x=1+2xe2x-1x；令m x=e2x-1x，则m x在 0,+上单调递增
18、，又m14=e-40，m 1=e2-1，m x在 0,+上存在唯一零点t，且t14,1，e2t=1t，2t=-lnt；当x 0,t时，hx0；h x在 0,t上单调递减，在 t,+上单调递增，h xmin=h t=te2t-2t-lnt-1=1+lnt-lnt-1=0，又x0e2x0-2x0-lnx0-1=0，t=x0，e2x0lnx20=e2tlnt2=2e2tlnt=2t-2t=-4.故选：C.13.13.(20232023 福建漳州福建漳州 统考三模统考三模)已知正三棱锥P-ABC的侧面与底面所成的二面角为3，侧棱PA=212，则该正三棱锥的外接球的表面积为()A.74B.712C.49
19、4D.4912【答案】C【解析】由题意，作正三棱锥P-ABC，取AB中点D，连接PD,CD，取等边ABC的中心O，连接PO，如下图所示：在正三棱锥P-ABC中，易知AP=BP，PO平面ABC，D为AB中点，PDAB，在等边ABC中，D为AB中点，CDAB，CD平面ABC，PD平面APB，PDC=3，设AD=x，则在RtAPD中，PD=AP2-AD2=214-x2，在RtADC中，CD=ADtan3=3x，在PDC中，根据余弦定理，PD2+DC2-2PDDCcosPDC=PC2，则3x2+214-x2-23x214-x2cos3=214，化简可得：2x=634-3x2，解得x=32，则AD=32
20、，CD=3 32，在等边ABC中，O是中心，OCD，OD=13CD=32，CO=23CD=3PO平面ABC，CD平面ABC，POCD，在RtPOD中，PO=ODtan3=32，设正三棱锥P-ABC的外接球的半径为r，假设正三棱锥P-ABC的外接球球心在线段PO上，则 PO-r2+CO2=r2，可得32-r2+3=r2，解得r=7432，不符合题意；假设正三棱锥P-ABC的外接球球心在线段PO的延长线上，则 r-PO2+CO2=r2，可得 r-322+3=r2，解得r=7432，符合题意.故正三棱锥P-ABC的外接球表面积S=4r2=494.故选：C.14.14.(20232023 江苏江苏 二
21、模二模)记dAi为点Ai到平面的距离，给定四面体A1-A2A3A4，则满足dA1=2dAii=2,3,4的平面的个数为()A.1B.2C.5D.8【答案】D【解析】到点A2,A3和A4的距离相等的平面有两种类型，与平面A2A3A4平行或者经过A2A3A4的某一条中位线当平面与平面A2A3A4平行时，如下图1，设A1A2,A1A3,A1A4的三等分点分别为B2,B3,B4(靠近A1)，对于平面B2B3B4，利用三角形相似可知dA1dA2=A1B2A2B2=2，平面B2B3B4符合题意在线段A1Ai的延长线上取Ci使得A1Ai=AiCii=2,3,4，对于平面C2C3C4，利用三角形相似可知dA1
22、dA2=A1C2A2C2=2，平面C2C3C4符合题意，即平面与平面A2A3A4平行时，满足条件的平面有2个；设A2A3,A2A4,A3A4的中点分别为E,F,G，当平面经过A2A3A4的中位线EF时，如下图2：对于平面B2EF，B2在线段A1A2上且A1B2A2B2=2，利用三角形相似可知dA1dA2=A1B2A2B2=2，又EFA3A4，EF平面B2EF，A3A4平面B2EF，可得A3A4平面B2EF，且E、F分别为A2A3,A2A4的中点，则A2、A3、A4到平面B2EF的距离相等，因此平面B2EF符合题意如下图3：对于平面B3B4FE，B3在线段A1A3上，B4在线段A1A4上，且A1
23、B3A3B3=A1B4A4B4=2，利用三角形相似可知dA1dA3=A1B3A3B3=2，又EFA3A4，EF平面B3B4FE，A3A4平面B3B4FE，可得A3A4平面B3B4FE，且E、F分别为A2A3,A2A4的中点，则A2、A3、A4到平面B3B4FE的距离相等，因此平面B3B4FE符合题意对于中位线EG、GF，也有类似结论,即平面经过A2A3A4的某条中位线时，满足条件的平面有6个，综上所述，符合题意的平面共有8个故选：D15.15.(20232023 江苏常州江苏常州 校考一模校考一模)意大利数学家斐波那契于 1202年写成 计算之书，其中第 12章提出兔子问题，衍生出数列：1，1
24、，2，3，5，8，13，.记该数列为 Fn，则F1=F2=1，Fn+2=Fn+1+Fn，nN N*.如图，由三个图(1)中底角为60等腰梯形可组成一个轮廓为正三角形(图(2)的图形，根据改图所揭示的几何性质，计算F22025-F22021F2022F2023+F2023F2024=()A.1B.3C.5D.7【答案】B【解析】从图(2)可得到正三角形的面积等于三个等腰梯形的面积加上小正三角形的面积，所以12F4+F52sin60=312F3+F5F4sin60+12F22sin60，整理可得F26=3 F3+F5F4+F22，由此可推断出F2021,F2022,F2023,F2024也可构成以
25、下正三角形，所以12F2023+F20242sin60=312F2022+F2024F2023sin60+12F22021sin60，整理可得F22025=3 F2022+F2024F2023+F22021，所以F22025-F22021F2022F2023+F2023F2024=3 F2022+F2024F2023F2023(F2022+F2024)=3故选：B16.16.(20232023 江苏常州江苏常州 校考一模校考一模)已知不等式 f(x)0 的解集为 A，若 A 中只有唯一整数，则称 A 为“和谐解集”，若关于 x 的不等式 sinx+cosx 2mx+|sinx-cosx|在区间
26、(0,)上存在“和谐解集”，则实数 m的可能取值为()A.2cos23B.32C.cos23D.cos1【答案】C【解析】当sinxcosx时，原不等式可化为sinx+cosx2mx+sinx-cosx，整理可得cosxmx；当sinx2mx+cosx-sinx，整理可得sinxmx.所以不等式sinx+cosx2mx+|sinx-cosx|可化为min sinx,cosxmx.令g x=min sinx,cosx，x 0,，则g x=sinx,0 x4cosx,4xg 2g 3.因为x0，所以mg 22g 33.所以要使g xmx只有一个整数解，则唯一整数解只能是x=1.又因为点A 1,co
27、s1，B(2,cos2)是y=g x图象上的点，所以cos22mcos1.因为2cos23cos22,cos1，32cos22,cos1，cos23cos22,cos1，cos1cos22,cos1，所以实数m的可能取值为cos23.故选：C.17.17.(20232023 江苏常州江苏常州 校考一模校考一模)在信息时代，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.函数 f(x)=4i=1sin(2i-1)x2i-1的图象可以近似的模拟某种信号的波形，则下列判断中不正确的是()A.函数 f x为周期函数，且为其一个周期B.函数 f x的图象关于点 2,0对称C.函数 f
28、x的图象关于直线x=2对称D.函数 f x的导函数 fx的最大值为4.【答案】A【解析】依题意 f x=sinx+13sin3x+15sin5x+17sin7x，A选项，f x+=sin x+13sin 3 x+15sin 5 x+17sin 7 x+=-sinx-13sin3x-15sin5x-17sin7x=-f x，所以不是 f x的周期，A选项错误.B选项，f 2-x=sin 2-x+13sin 3 2-x+15sin 5 2-x+17sin 7 2-x=-sinx-13sin3x-15sin5x-17sin7x=-f x，f 2+x=sin 2+x+13sin 3 2+x+15sin
29、 5 2+x+17sin 7 2+x=sinx+13sin3x+15sin5x+17sin7x=f x，所以 f 2-x=-f 2+x，所以 f x的图象关于点 2,0对称，B选项正确.C选项，f2-x=sin2-x+13sin 32-x+15sin 52-x+17sin 72-x=cosx-13cos3x+15cos5x-17cos7x.f2+x=sin2+x+13sin 32+x+15sin 52+x+17sin 72+x=cosx-13cos3x+15cos5x-17cos7x.所以 f2-x=f2+x，所以 f x的图象关于直线x=2对称，C选项正确.D选项，fx=cosx+cos3x
30、+cos5x+cos7x，由于cosx1,cos3x1,cos5x1,cos7x1，所以 fx=cosx+cos3x+cos5x+cos7x4，且 f0=4，所以 fx的最大值是4，D选项正确.故选：A18.18.(20232023 江苏江苏 统考一模统考一模)设a,bR R，4b=6a-2a，5a=6b-2b，则()A.1abB.0baC.b0aD.ba0，所以3a1，所以a0，5a=6b-2b0，所以3b1，所以b0，若ab，则5a4a4b，设 f x=6x-2x=2x3x-1在 0,+上单调递增，所以6a-2a6b-2b，即4b5a，不合题意.故选：A.19.19.(20232023 江
31、苏南通江苏南通 海安高级中学校考一模海安高级中学校考一模)双曲线C:x2-y2=4的左，右焦点分别为F1,F2，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于A,B两点，AF1F2,BF1F2,F1AB的内切圆圆心分别为O1,O2,O3，则O1O2O3的面积是()A.6 2-8B.6 2-4C.8-4 2D.6-4 2【答案】A【解析】由题意如图所示：由双曲线C:x2-y2=4，知a2=b2=4，所以c2=a2+b2=8，所以F2(2 2,0)，F1F2=2c=4 2所以过F2作垂直于x轴的直线为x=2 2，代入C中，解出A 2 2,2,B 2 2,-2，由题知AF1F2,BF1F2的内切圆的半径相等，且
32、 AF1=BF1，AF1F2,BF1F2的内切圆圆心O1,O2的连线垂直于x轴于点P，设为r，在AF1F2中，由等面积法得：12AF1+AF2+F1F2r=12F1F2 AF2由双曲线的定义可知：AF1-AF2=2a=4由 AF2=2，所以 AF1=6，所以126+2+4 2r=124 2 2，解得：r=2 22+2=2 2 2-22=2 2-2，因为F1F2为F1AB的AF1B的角平分线，所以O3一定在F1F2上，即x轴上，令圆O3半径为R，在AF1B中，由等面积法得：12AF1+BF1+ABR=12F1F2 AB，又 AF1=BF1=F1F22+AF12=4 22+22=6所以12 6+6
33、+4R=124 2 4，所以R=2，所以 PF2=r=2 2-2，O3P=O3F2-PF2=R-r=2-2 2-2=2-2，所以SO1O2O3=12O1O2O3P=122r O3P=r O3P=2 2-2 2-2=6 2-8，故选：A.20.20.(20232023 江苏南通江苏南通 模拟预测模拟预测)函数 f x,g x的定义域均为 R，且 f x+g 4-x=4，g x-f x-8=8，g x关于x=4对称，g 4=8，则18m=1f 2m的值为()A.-24B.-32C.-34D.-40【答案】C【解析】因为 f x+g 4-x=4，g x-f x-8=8，对于式有：g x+8-f x=
34、8，由+有：g x+8+g 4-x=12，即g x+g 12-x=12，又g x关于x=4对称，所以g x=g 8-x，由有：g 8-x+g 12-x=12，即g 8+x+g 12+x=12，g x+4+g x+8=12，两式相减得：g x+12-g x+4=0，即g x+12=g x+4，即g x+8=g x，因为函数g x的定义域为R，所以g x的周期为8，又g 4=8，所以g 4=g 12=g 20=8，由式g x+g 12-x=12有：g 6=6，所以g 6=g 14=g 22=6，由g 4=8，g x+g 12-x=12有：g 8=4，所以g 8=g 16=g 24=4，由式g x=
35、g 8-x有：g 2=g 6=6，又g x+8=g x，所以g 10=g 2=6，由式g x-f x-8=8有：f x=g x+8-8，所以18m=1f 2m=f 2+f 4+f 36=g 10+g 12+g 44-818=6+8+6+44+6+8-818=-34，故A，B，D错误.故选：C.21.21.(20232023 江苏南通江苏南通 模拟预测模拟预测)双曲线C1:x2a2-y2b2=1(ab0)和椭圆C2:x2a2+y2b2=1的右焦点分别为F,F，A(-a,0)，B(a,0)，P,Q 分别为 C1,C2上第一象限内不同于 B 的点，若 PA+PB=QA+QB,R，PF=3QF，则四条
36、直线PA,PB,QA,QB的斜率之和为()A.1B.0C.-1D.不确定值【答案】B【解析】设O为原点，则PA+PB=2PO，QA+QB=2QO，而PA+PB=QA+QB，得PO=QO，所以O、P、Q三点共线.因为PF=3QF，所以PFQF，且 PF=3 QF，得=OPOQ=PFQF=OFOF=3，所以a2+b2a2-b2=3，即a2=2b2.设P x1,y1，Q x2,y2，分别代入双曲线C1和C2，则x212b2-y21b2=1x222b2+y22b2=1 ，即x21-2b2=2y21x22-2b2=-2y22，所以kPA+kPB=y1x1+a+y1x1-a=2x1y1x21-2b2=x1
37、y1，kQA+kQB=y2x2+a+y2x2-a=2x2y2x22-2b2=-x2y2，因为O、P、Q三点共线，所以x1y1=x2y2，即kPA+kPB+kQA+kQB=0.故选：B.二、二、多选题多选题22.22.(20232023 广东广州广东广州 统考一模统考一模)平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系 xOy 中，M(-2,0)，N(2,0)，动点P满足|PM|PN|=5，则下列结论正确的是()A.点P的横坐标的取值范围是-5,5B.OP的取值范围是 1,3C.PMN面积的最大值为52D.P
38、M+PN的取值范围是 2 5,5【答案】BC【解析】设点P(x,y)，依题意，(x+2)2+y2(x-2)2+y2=25，对于A，25=(x+2)2+y2(x-2)2+y2(x+2)2(x-2)2=(x2-4)2，当且仅当y=0时取等号，解不等式(x2-4)225得：-3x3，即点P的横坐标的取值范围是-3,3，A错误；对于B，(x2+y2+4)+4x(x2+y2+4)-4x=25，则x2+y2+4=25+16x2，显然0 x29，因此|OP|=x2+y2=25+16x2-4 1,3，B正确；对于C，PMN的面积S=12|PM|PN|sinMPN12|PM|PN|=52，当且仅当MPN=90时
39、取等号，当MPN=90时，点P在以线段MN为直径的圆x2+y2=4上，由x2+y2=4x2+y2+4=25+16x2 解得x=394y=54，所以PMN面积的最大值为52，C正确；对于D，因为点(3,0)在动点P的轨迹上，当点P为此点时，PM+PN=5+1=6，D错误.故选：BC23.23.(20232023 广东广州广东广州 统考一模统考一模)已知函数 f x=x2+2 x0,g x=ae-x(a 0)，点 P,Q 分別在函数 y=f x的y=g x的图像上，O为坐标原点，则下列命题正确的是()A.若关于x的方程 f x-g x=0在 0,1上无解，则a3eB.存在P,Q关于直线y=x对称C
40、.若存在P,Q关于y轴对称，则0a2D.若存在P,Q满足POQ=90，则00)，对于A，方程 f x-g x=0h(x)=x2+2-ae-x=0在 0,1上有解，显然函数h(x)在 0,1上单调递增，则有h(0)=2-a0h(1)=3-ae-10，解得2a3e，因此关于x的方程 f x-g x=0在 0,1上无解，则0a3e，A错误；对于B，设点Q(t,ae-t)，依题意，点Q关于直线y=x对称点(ae-t,t)在函数 f x=x2+2的图象上，即关于t的方程t=a2e-2t+2有解，即a2=(t-2)e2t有解，此时t2，令函数(t)=(t-2)e2t,t2，(t)=(2t-3)e2t0，即
41、函数(t)在(2,+)上单调递增，(t)(2)=0，而函数y=t-2,y=e2t在(2,+)上都单调递增，它们的取值集合分别为(0,+),(e4,+)，因此函数(t)的值域为(0,+)，又a20，于是a2=(t-2)e2t在(2,+)有解，所以存在P,Q关于直线y=x对称，B正确；对于C，设点P(u,u2+2),u0，则点P关于y轴对称点(-u,u2+2)在函数g(x)=ae-x(a0)的图象上，即aeu=u2+2a=u2+2eu，令F(u)=u2+2eu,u0，F(u)=-u2+2u-2eu=-(u-1)2+1eu0，因此00,x20，G(x)=1-xex，当0 x0，函数G(x)单调递增，
42、当x1时，G(x)0，函数G(x)单调递减，因此G(x)max=G(1)=1e，即有0G(x)1e，0-x2e-x21e，而0 x1x21+2x12 2x21=12 2，当且仅当x2=2 时取等号，所以0 x1x21+2-x2e-x212 2e，即00，函数 f x=cos x+3，下列选项正确的有()A.若 f x的最小正周期T=2，则=B.当=2时，函数 f x的图象向右平移3个单位长度后得到g x=cos2x的图象C.若 f x在区间23,上单调递增，则的取值范围是 1,53D.若 f x在区间 0,上只有一个零点，则的取值范围是16,76【答案】ACD【解析】由余弦函数图象与性质，可得
43、T=2=2，得=，所以A正确；当=2时，可得 f x=cos 2x+3，将函数 f x的图象向右平移3个单位长度后得f x-3=cos 2 x-3+3=cos 2x-3g x，所以B错误；若 f x在区间23,上单调递增，则23+3+2k+32+2k,kZ，解得1+3k53+2k,kZ，又因为0，所以只有当k=0时，此不等式有解，即153，所以C正确；若 f x在区间 0,上只有一个零点，则+32+332，解得160,b0的左、右焦点，点A x1,y1为双曲线 C 在第一象限的右支上一点，以 A 为切点作双曲线 C 的切线交 x 轴于点 B x2,0，则下列结论正确的有()A.0 x2a，所以
44、y=b2a2xb2a2x2-b2，则在点A x1,y1处的切线斜率为y=b2a2x1b2a2x21-b2=b2x1a2y1，所以在点A x1,y1处的切线方程为y-y1=b2x1a2y1x-x1，又有x21a2-y21b2=1，化简即可得切线方程为x1xa2-y1yb2=1，所以x1x2a2-y10b2=1，所以x1x2=a2，故C错误；由x1x2=a2，得x2=a2x1，又x1a，所以0 x2a，故A正确；由F1-c,0,F2c,0,Ba2x1,0，得 F1B=a2x1+c,BF2=c-a2x1，故F1BBF2=a2x1+cc-a2x1=cx1+a2cx1-a2，由x21a2-y21b2=1
45、，得y21=b2x21a2-b2所以 AF1=x1+c2+y21=x1+c2+b2x21a2-b2=c2a2x21+2cx1+a2=cax1+a，所以 AF2=AF1-2a=cax1-a，所以AF1AF2=cax1+acax1-a=cx1+a2cx1-a2=F1BBF2，设点A到x轴的距离为h，则SAF1B=12F1Bh=12AF1ABsinF1AB，SAF2B=12F2Bh=12AF2ABsinF2AB，SAF1BSAF2B=F1BF2B=AF1sinF1ABAF2sinF2AB，又AF1AF2=F1BBF2，所以F1AB=F2AB，故B正确；由上可得F1B=a2x1+c,0,BF2=c-a
46、2x1,0，因为F1B=3BF2，则a2x1+c=3 c-a2x1，得x1=2a2c，AF1=cax1+a=ca2a2c+a=3a，AF2=cax1-a=ca2a2c-a=a所以cosF1AF2=AF12+AF22-F1F222 AF1 AF2=9a2+a2-4c26a2=53-23e2=13，解得e=2，故D错误，故选:AB26.26.(20232023 湖南张家界湖南张家界 统考二模统考二模)已知函数 f x=sin x+4，则下列说法正确的有()A.若 f x1-f x2=2，则 x1-x2min=B.将 f x的图象向左平移4个单位长度后得到的图象关于y轴对称C.若 f x在 0,上有
47、且仅有4个零点，则的取值范围为154,194D.fx是 f x的导函数，令g x=f x fx.则g x在 0,4上的值域为 0,1【答案】ABC【解析】A选项，由 f x1-f x2=2，故 f x1，f x2必有一个最大值和一个最小值，则 x1-x2min为半个周期长度T2=，正确；B选项，由题意 f x+4=sin x+2=cosx的图象关于y轴对称，正确；C选项，f x=sin x+4，在x 0,上x+44,+4有且仅在4个零点，结合正弦函数的性质知：4+45，则1540的焦点 F 的直线 l 交抛物线 E 于 A，B 两点(点A在第一象限)，M为线段AB的中点.若 AF=2 BF=6
48、，则下列说法正确的是()A.抛物线E的准线方程为y=-4B.过A，B两点作抛物线的切线，两切线交于点N，则点N在以AB为直径的圆上C.若O为坐标原点，则 OM=332D.若过点F且与直线l垂直的直线m交抛物线于C，D两点，则 AB CD=144【答案】BC【解析】对于A项，方法一：由题意可设过点F 0,p2的直线l的方程为y=kx+p2，k0，设A x1,y1，B x2,y2，联立方程组x2=2py.y=kx+p2,消去x整理得y2-2k2+1py+p24=0，可得y1y2=p24.因为 AF=2 BF=6，所以y2+p2=3,y1+p2=6,则y1y2=3-p26-p2=p24，解得p=4，
49、所以抛物线E:x2=8y，故抛物线E的准线方程为y=-2，故A项错误；方法二：AF=2 BF=6，AF=6，BF=3，又1|AF|+1|BF|=2p，16+13=2p，解得：p=4，所以抛物线E：x2=8y，故抛物线E的准线方程为y=-2，故A项错误；对于B项，设A x1,y1，B x2,y2，抛物线E:x2=8y，y=18x2，y=14x，易得kNA=14x1，kNB=14x2，所以kNAkNB=116x1x2=-1164p2y1y2=-1，所以直线NA，NB垂直，所以点N在以AB为直径的圆上，故B项正确；对于C项，由A项知，抛物线E：x2=8y，则直线l的方程为y=kx+2，k0，设A x
50、1,y1，B x2,y2，x2=8yy=kx+2 y2-4 2k2+1y+4=0，所以y1y2=4，y1+y2=4(2k2+1)，又因为 AF=2 BF=6，所以 AF=6，BF=3，AB=9，所以|AF|+|BF|=p2+y1+p2+y2=p+y1+y2=4+4(2k2+1)=9，解得：k=24，所以y1+y2=5，所以x1+x2=y1-p2k+y2-p2k=y1+y2-pk=5-424=2 2，所以x1+x22=2，y1+y22=52，即：M2,52，所以 OM=2+254=332，故C项正确；对于D项，方法一：由C项知，|AB|=|AF|+|BF|=4+4(2k2+1)，k=24，又因为