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1、平面问题的极坐标解答现在学习的是第1页，共58页 圆形、楔形、扇形等，边界条件用直角坐标可能十分复杂，而用极坐标却十分简单。第六章 极坐标第一节 平衡微分方程 和直角坐标系类似，在仅考虑微分体时，微分体相对面上的应力可看成是大小相等，方向相反。考虑平面上的一个微分体，沿方向的正应力称为径向正应力，用表示，沿方向的正应力称为切向正应力，用 表示，切应力用表示，各应力分量的正负号的规定和直角坐标中一样。在考虑整体时，微分体各面上的差异就必须加以考虑，我们从方向和与之垂直的方向加以考虑。现在学习的是第2页，共58页第一节 平衡微分方程 考虑图示单元体半径方向的平衡，在面处，正应力记为,+d处应力为:
2、在面处,切应力记为 ,+d处切应力为:在面处，正应力记为,+d处正应力为:以上各应力和相应的面的面积相乘，就得到该面上的内力，以上各量加上体力分量总和得到：现在学习的是第3页，共58页第一节 平衡微分方程 同理考虑与垂直的 方向的平衡可得到:现在学习的是第4页，共58页 上述方程和直角坐标系下的平衡方程有所不同，直角坐标系中，应力分量仅以偏导数的形式出现，在极坐标系中，由于微元体垂直于半径的两面面积不等，而且半径愈小差值愈大，这些反映在方程里带下划线的项中。最后得到与 两个方向的平衡方程:这里应力分量仍然为三个，平衡方程二个。第一节 平衡微分方程现在学习的是第5页，共58页第二节 位移与应变
3、我们从物体中取出方向上长d的线段PA，变形后为P A ，P 点的位移为(u,0)，A 点方向的位移为:先假定只有径向位移而无环向位移：因此PA正应变为:方向上的位移为零。dd现在学习的是第6页，共58页因此PB正应变为:角APB的变化为PB的转角：第二节 位移与应变dd 从物体中取出方向上长d 的线段PB，变形后为P B ，B 点方向的位移为:现在学习的是第7页，共58页 再假定只有环向位移而无径向位移：线段PA，变形后为P A ，P 点的位移为(0,v)，A 点方向的位移为:方向的位移为零，因此PA正应变为第六章 极坐标 第二节 位移与应变ddv现在学习的是第8页，共58页因此PB正应变为第
4、六章 极坐标 第二节 位移与应变ddvB点方向的位移为:方向上长d的线段PB，变形后为PB，B点方向上的位移为零。12PB的方向用射线1表示，PB的方向用射线2表示，PB的转角为角POP：（向角外转为负）现在学习的是第9页，共58页线段PA的转角是线段PB的转角是于是，直角APB的改变量为:前面只有径向位移而无环向位移,角APB的变化为:第六章 极坐标 第二节 位移与应变ddv现在学习的是第10页，共58页 这就是极坐标中的应变分量的表达式。对于相同的位移，应变的大小和与极点的距离有关。总和上述两个方向的应变，得到：第六章 极坐标 第二节 位移与应变ddv现在学习的是第11页，共58页第三节
5、基本方程 极坐标问题的解法和平面问题类似，通常采用应力函数法，为此需要将应力函数的直角坐标表达式化为极坐标，将相容方程化为极坐标。物理方程 极坐标也是正交坐标，因此物理方程与直角坐标相同：平衡方程几何方程现在学习的是第12页，共58页 为了得到极坐标中用应力函数表示的应力和相容方程，利用极坐标和直角坐标的关系：得到 第三节 基本方程现在学习的是第13页，共58页 第三节 基本方程现在学习的是第14页，共58页 在=0时，极坐标的各分量和直角坐标各分量相同。将上面各式代入应力分量的表达式（常体力）得到 第三节 基本方程现在学习的是第15页，共58页 上式是极坐标中的重调和函数。现在的问题是求解上
6、述方程的边值问题。代入直角坐标应力函数在常体力情况下的表达式 和直角坐标系中类似，它的解答一般都不可能直接求出，在解决具体问题时，只能采用逆解法、半逆解法。第三节 基本方程得到极坐标中应力函数f应满足的相容方程现在学习的是第16页，共58页第四节 轴对称问题 这是一个四阶常微分方程，它的通解为:相容方程简化为:如果应力分量仅是半径的函数，如受内外压的圆环，称为轴对称问题。采用半逆解法，假定应力函数仅是径向坐标的函数:f=f()现在学习的是第17页，共58页 正应力分量仅是的函数，与无关，并且切应力为零，应力分量对称于通过z轴的任一平面，称为轴对称应力。这时，应力的表达式为:第四节 轴对称问题轴
7、对称时现在学习的是第18页，共58页 将上述应力的表达式代入应力应变关系式中，可以得到应变的表达式,再代入位移与应变的几何方程，积分后,得到位移的积分形式:第四节 轴对称问题现在学习的是第19页，共58页第五节 受均布压力的圆环由边界条件得到:内半径为a，外半径为b的圆环受内压力qa，外压力为qb的圆环，为轴对称问题，根据上节其解为:边界条件为:现在学习的是第20页，共58页第五节 受均布压力的圆环 在这里只有两个方程，而有三个待定常数，需要从多连体的位移单值条件补充一个方程。在环向表达式中，第一项是多值的，在同一处，=0和=0+2时，环向位移成为多值，这是不可能的，因此，从位移单值条件必须有
8、B=0。现在学习的是第21页，共58页 这样从上面两个方程中可解出A和C，代入应力分量表达式，得到拉密解答：第六章 极坐标 第五节 受均布压力的圆环于是:现在学习的是第22页，共58页1.单受内压时，径向受压，环向受拉，与半径的平方成反比，衰减快。2.单受外压时，径向、环向均受压，与半径的平方成反比，衰减快。现在学习的是第23页，共58页第六节 曲梁的纯弯曲 内半径为a，外半径为b的狭矩形截面的圆轴曲梁，在两端受大小相等方向相反的弯矩，为轴对称问题。边界切应力都为零。上述解满足该边界条件。在梁的内外两面，正应力要求:现在学习的是第24页，共58页在梁端的边界条件要求:第六章 极坐标 第六节 曲
9、梁的纯弯曲由边界条件得到:现在学习的是第25页，共58页将f的表达式第六章 极坐标 第六节 曲梁的纯弯曲代入，并由边界条件现在学习的是第26页，共58页 在这里有三个方程和三个待定常数，解出A、B和C，代入应力分量表达式，得到郭洛文解答:第六章 极坐标 第六节 曲梁的纯弯曲其中：现在学习的是第27页，共58页第七节 楔形体在楔顶或楔面受力 1 设在顶部受集中力F 楔形体内一点的应力分量决定于、F、，因此，应力分量的表达式中只包含这几个量。其中、是无量纲的量，因此根据应力分量的量纲，应力分量的表达式应取FN/的形式，其中N是、组成的无量纲的量。由应力函数的表达式可以看出应力函数中的幂次应当比各应
10、力分量的幂次高出两次，因此可设 现在学习的是第28页，共58页代入相容方程后得：求解这一微分方程，得：不影响应力，其中第六章 极坐标 第七节 楔形体在楔顶或楔面受力取:（按应力的表达式计算为零）现在学习的是第29页，共58页于是得：边界条件楔形体左右两面：第六章 极坐标 第七节 楔形体在楔顶或楔面受力现在学习的是第30页，共58页 上述应力分量满足该边界条件。集中力F按圣维南原理处理，取出任一圆柱面ab，则该截面上的应力和F成平衡力系：第六章 极坐标 第七节 楔形体在楔顶或楔面受力将的表达式代入，可求出C、D，最后得到解答：现在学习的是第31页，共58页当时成为弹性半平面受垂直集中力的问题，该
11、问题在建筑工程中有十分重要的意义。现在学习的是第32页，共58页hF1 沿极线方向是主方向，也就是主应力迹线，与之垂直的半园也是主应力迹线。2 如图，该园上各处的应力值相同，也就是成应力等值线（压力泡），并随h的大小成反比。3 应力值不仅随深度衰减，并且也向两侧减少。弹性半平面受垂直集中力现在学习的是第33页，共58页根据坐标变换公式和极坐标应力分量可得到直角坐标分量现在学习的是第34页，共58页Fxy从而得到现在学习的是第35页，共58页第六章 极坐标 第七节 楔形体在楔顶或楔面受力2 设在顶部受有力偶M作用 根据和前面相似的分析，应力分量应为MN/2的形式，而应力函数应与无关代入相容方程后
12、得求解这一微分方程，得现在学习的是第36页，共58页第六章 极坐标 第七节 楔形体在楔顶或楔面受力 以上应力函数的设定方法都是量纲分析，这是应力函数半逆解法的主要方法之一。2 设在顶部受有力偶M作用 力偶可看成反对称力，正应力和应力函数应当是的奇函数，从而A=D=0,于是现在学习的是第37页，共58页第六章 极坐标 第七节 楔形体在楔顶或楔面受力于是：边界条件楔形体左右两面上述应力分量自动满足第一式，根据第二式，可得现在学习的是第38页，共58页第六章 极坐标 第七节 楔形体在楔顶或楔面受力 集中力偶M按圣维南原理处理，取出任一圆柱面ab，则该截面上的应力M成平衡力系：最后得到解答：现在学习的
13、是第39页，共58页第六章 极坐标 第七节 楔形体在楔顶或楔面受力求解这一微分方程，得:3 一面受均布压力q 应力分量应为qN的形式，而应力函数应为qN2的形式代入相容方程后得现在学习的是第40页，共58页第六章 极坐标 第七节 楔形体在楔顶或楔面受力3 一面受均布压力q边界条件为:求解常数，最后的解答为：现在学习的是第41页，共58页第六章 极坐标 第八节 圆孔的孔边应力集中 板中开有小孔，孔边的应力远大于无孔时的应力，也大于距孔稍远处的应力，称为孔边应力集中。应力集中的程度与孔的形状有关，一般说来，圆孔孔边的集中程度最低。孔边应力集中圆孔在板边受力简单时，在这里进行分析，较为复杂的情况一般
14、用复变函数方法。现在学习的是第42页，共58页第六章 极坐标 第八节 圆孔的孔边应力集中1 矩形板四边受q的均布拉力 矩形板在离边界较远处有半径为a的小孔。直边的边界条件，宜用直角坐标，圆孔边界宜用极坐标，因此需要将直边的边界条件变为圆边的边界条件。为此，以远大于a的半径，以小孔中心为圆心作圆，根据直角坐标与极坐标的变换公式，大圆边界上的应力为:可见，问题与受外压力的圆环相同，其解可由拉密解答得出，现在学习的是第43页，共58页第六章 极坐标 第八节 圆孔的孔边应力集中 以远大于a的半径，以小孔中心为圆心作圆，根据直角坐标与极坐标的变换公式，得到大圆的边界条件2 矩形板一对边受集度为q的均布拉
15、力该边界条件比较复杂，难于找到合适的应力函数。设其为cos或cos2都不行。现在学习的是第44页，共58页第六章 极坐标 第八节 圆孔的孔边应力集中 根据观察，如果y方向有集度为q的压力，则边界上的应力将大大简化，于是我们转而考虑一对边受集度为q的均布拉力，一对边受集度为q的均布压力的问题，这时的边界条件为：3 一对边受集度为q的均布拉力，一对边受集度为q的均布压力因此可以假设应力函数为：现在学习的是第45页，共58页第六章 极坐标 第八节 圆孔的孔边应力集中代入相容方程得到于是:求解这一方程,得到现在学习的是第46页，共58页第六章 极坐标 第八节 圆孔的孔边应力集中根据边界条件可确定待定的
16、常数，最后得到应力分量为现在学习的是第47页，共58页第六章 极坐标 第八节 圆孔的孔边应力集中 矩形板一对边受集度为q的均布拉力的解答可由矩形板四边受集度为q/2的均布拉力与一对边受集度为q/2的均布拉力，一对边受集度为q/2的均布压力的解答叠加而得。=+现在学习的是第48页，共58页习 题6.1试用斜截面应力公式其中l,m为斜截面法线的方向余弦，导出应力分量的坐标变换式：现在学习的是第49页，共58页第六章 极坐标 习 题参看图(a)假设 为已知,方向余弦为:代入(*)式得出应力分量由极坐标向直角坐标的变换公式:6.1 提示:现在学习的是第50页，共58页第六章 极坐标 习 题 参看图(b
17、)假设 为已知,方向余弦为:代入(*)式得出应力分量由极坐标向直角坐标的变换公式:6.1 提示:(续）现在学习的是第51页，共58页提示：如图所示,第六章 极坐标 习 题 6.2试导出直角坐标的位移分量u,v与极坐标的位移分量u,u,之间的坐标变换式。它们在u，v方向的投影为：它们在，方向的投影为：现在学习的是第52页，共58页第六章 极坐标 习 题提示：1.检验相容条件:满足相容条件:2.应力分量:6.3图示的圆环,试证应力函数 能满足相容条件，并求出对应的应力分量。设在内半径为a，外半径为b的圆环中发生上述应力，试求出边界上的面力，并求出每一边界上的主矢量与主矩。现在学习的是第53页，共5
18、8页第六章 极坐标 习 题3.对应的面力及其合成的主矢量和主矩:在内边主矢量:主矩：面力:现在学习的是第54页，共58页第六章 极坐标 习 题6.3 提示：(续）在外边主矢量:主矩：现在学习的是第55页，共58页第六章 极坐标 习 题 6.4有一内半径为a，外半径为b(如图所示)，受内水压力q作用的压力隧洞埋在岩层中，设岩层对于隧洞的抗力可按文克勒假设计算即，p=k(u)=b,其中p是岩层对隧洞的弹性抗力，(u)=b是隧洞在外半径上的径向位移，k是弹性抗力系数，与岩层的性质有关，试求弹性抗力p。提示：请看Mcad。现在学习的是第56页，共58页第六章 极坐标 习 题 6.5设半平面体在直边界上受有集中力偶，单位宽度上力偶矩为M，如图所示，试求应力分量。提示：根据应力函数的边界性质选应力函数:把应力函数的边界分布规律推广到域内。以楔体为例，下图给出各种载荷下的一组楔体问题。根据应力函数的边界性质不难定出右边界上f=0，左边界上随的变化规律注在图的左边，将其推广到域内就得到图右边所设的应力函数形式。应该指出，当作这类推广时，所考虑的边界必须是坐标线。进一步的说明请看Mcad。现在学习的是第57页，共58页第六章 极坐标 习 题利用叠加法证明受集中力偶应力M 时应力分布是:6.6已知半平面体在直边界上受集中力P时应力分布是：提示：请看Mcad。现在学习的是第58页，共58页