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1、关于平面问题的极坐标解答弹性力学平面问题的极坐标解答1第一页，讲稿共七十页哦弹性力学2第四章平面问题的极坐标解答本章要点弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)要点：（1）极坐标中平面问题的基本方程：平衡方程、几何方程、物理方程、相容方程、边界条件。（2）极坐标中平面问题的求解方法及应用应用：圆盘、圆环、厚壁圆筒、楔形体、半无限平面体等的应力与变形分析。第二页，讲稿共七十页哦弹性力学3一、极坐标中的平衡微分方程二、极坐标中的几何方程与物理方程三、极坐标中的应力函数与相容方程四、应力分量的坐标变换式五、轴对称应力与相应的位移六、圆环或圆筒受均布压力七、压力隧洞八、圆孔的孔边应力
2、集中九、半平面体在边界上受集中力十、半平面体在边界上受分布力弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)第四章平面问题的极坐标解答内容提要第三页，讲稿共七十页哦弹性力学平面问题的极坐标解答4极坐标中的微元体xyOdrdrPABCrrrfrfddrr)(rddrrrrdrrrrddrrd体力：ffr,应力：PA面rr,PB面r,BC面drr极坐标中的平衡微分方程一drrrrdrrrrAC面r、的正面上，与坐标方向一致时为正；r、的负面上，与坐标方向相反时为正。应力正向规定：第四页，讲稿共七十页哦弹性力学平面问题的极坐标解答5考虑微元体平衡（取厚度为1）：0rFrdrcos2rddr
3、()cos2rrdddrddrrdrrrr)(sin2dddrsin2ddr0rdrdfrxyOdrdrPABCrrrfrfddrr)(rddrrrrdrrrrdrrd极坐标中的平衡微分方程一01rrrrfrrrrdrd展开，两边并除以第五页，讲稿共七十页哦弹性力学平面问题的极坐标解答6：0Fdrdrdrdrddrrdrrrr)(2ddrdrr2ddrr0rdrdf两边同除以 ，并略去高阶小量：rdrd021frrrrr极坐标中的平衡微分方程一xyOdrdrPABCrrrfrfddrr)(rddrrrrdrrrrdrrd第六页，讲稿共七十页哦弹性力学平面问题的极坐标解答7,0Mrr 剪应力互等
4、定理于是，极坐标下的平衡方程为：（41）两方程三个未知量，是一次超静定问题，须应用几何学和物理学方面的条件才能求解。02101frrrfrrrrrrrrr极坐标中的平衡微分方程一xyOdrdrPABCrrrfrfddrr)(rddrrrrdrrrrdrrd方程说明：第七页，讲稿共七十页哦弹性力学8一、极坐标中的平衡微分方程二、极坐标中的几何方程与物理方程三、极坐标中的应力函数与相容方程四、应力分量的坐标变换式五、轴对称应力与相应的位移六、圆环或圆筒受均布压力七、压力隧洞八、圆孔的孔边应力集中九、半平面体在边界上受集中力十、半平面体在边界上受分布力弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-
5、1999)第四章平面问题的极坐标解答内容提要第八页，讲稿共七十页哦弹性力学平面问题的极坐标解答91.几何方程dxyOrPPABdrruAB1drruurrdurr)(duurr(1)只有径向变形，无环向变形。径向线段PA的相对伸长：rudrudrruurrrrPAPPAAPAPAAPr1（a）径向线段PA的转角：01（b）线段PB的相对伸长：PBPBBPrdrddurr)(rur（c）1极坐标中的几何方程与物理方程二环向线段PB的转角：PBPPBBrduduurrr)(rur111tan（d）第九页，讲稿共七十页哦弹性力学平面问题的极坐标解答10径向线段PA的相对伸长：rur1r（a）径向线段
6、PA的转角：01（b）环向线段PB的相对伸长：（c）rur1环向线段PB的转角：rur11（d）剪应变为：rrur1111（e）dxyOrPPABdrruAB1drruurrdurr)(duurr极坐标中的几何方程与物理方程二第十页，讲稿共七十页哦弹性力学平面问题的极坐标解答11dyxOrPBdrAP A B uduudrruu(2)只有环向变形，无径向变形。径向线段PA的相对伸长：PAPAAP 0drdrdr2r（f）径向线段PA的转角：2rudrudrruu2（g）环向线段PB的相对伸长：PBPBBP PBPPBB rduduuur12（h）2ru2（i）环向线段PB的转角：剪应变为：22
7、2rruru（j）极坐标中的几何方程与物理方程二第十一页，讲稿共七十页哦弹性力学平面问题的极坐标解答12(3)总应变21rrr0rurrur21urrur121rrrruruurr1rurrurrur1ruruurrr1（42）极坐标中的几何方程与物理方程二第十二页，讲稿共七十页哦弹性力学平面问题的极坐标解答132.物理方程平面应力情形：)(1rrE)(1rErrrEG)1(21平面应变情形：)1(12rrErrrEG)1(21)1(12rE（43）（44）极坐标中的几何方程与物理方程二第十三页，讲稿共七十页哦弹性力学14一、极坐标中的平衡微分方程二、极坐标中的几何方程与物理方程三、极坐标中的
8、应力函数与相容方程四、应力分量的坐标变换式五、轴对称应力与相应的位移六、圆环或圆筒受均布压力七、压力隧洞八、圆孔的孔边应力集中九、半平面体在边界上受集中力十、半平面体在边界上受分布力弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)第四章平面问题的极坐标解答内容提要第十四页，讲稿共七十页哦弹性力学平面问题的极坐标解答15xyOrPxy（1）极坐标与直角坐标间的关系222yxrxyarctancosrx sinry cosrxxrsinryyrrryxsin2rrxycos2（2）应力分量与应力函数关系),(rxyxxrrxrrsincosyyrryrrcossinrrsincosrrc
9、ossin极坐标中的应力函数与相容方程三第十五页，讲稿共七十页哦弹性力学平面问题的极坐标解答16rrrrxsincossincos22rrrrr22222sincossin2cos22222sincossin2rrrrrrycossincossin22rrrrr22222coscossin2sin(a)xxyy22222coscossin2rr(b)极坐标中的应力函数与相容方程三第十六页，讲稿共七十页哦弹性力学平面问题的极坐标解答17rrrryxcossinsincos2rrrrrcossinsincoscossin22222222222cossinsincosrr(c)xyOrPxy由直角坐
10、标下应力函数与应力的关系：222022011rrryxr220220rxyyrx,0时当rrrryxxyr111222020极坐标中的应力函数与相容方程三第十七页，讲稿共七十页哦弹性力学平面问题的极坐标解答18（3）极坐标中的相容方程rrrrrx2222222sincossin2cos22222sincossin2rrrrrrry2222222coscossin2sin22222coscossin2rr(a)(b)将式(a)与(b)相加22222222211rrrryx222222222211rrrryx极坐标中的应力函数与相容方程三第十八页，讲稿共七十页哦弹性力学平面问题的极坐标解答19极坐
11、标下的 Laplace 微分算子：22222211rrrr极坐标下的相容方程为：01111222222222222rrrrrrrr011222222224rrrr（46）说明：方程（46）为常体力情形的相容方程。极坐标中的应力函数与相容方程三第十九页，讲稿共七十页哦弹性力学20一、极坐标中的平衡微分方程二、极坐标中的几何方程与物理方程三、极坐标中的应力函数与相容方程四、应力分量的坐标变换式五、轴对称应力与相应的位移六、圆环或圆筒受均布压力七、压力隧洞八、圆孔的孔边应力集中九、半平面体在边界上受集中力十、半平面体在边界上受分布力弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)第四章平面
12、问题的极坐标解答内容提要第二十页，讲稿共七十页哦弹性力学平面问题的极坐标解答21 设已知极坐标中的应力分量 、。试求直角坐标中的应力分量 、。rrxyxy在弹性体中取微小三角板A，各边上的应力如图所示。三角板的厚度取为一个单位。令bc边的长度为ds，则ab边及ac边的长度分别为 及 。bcsindscosdsrryyxrrrrxyxcaboyxAB应力分量的坐标变换式四在一定的应力状态下，如果已知极坐标中的应力分量，就可以利用简单的关系式求得直角坐标中的应力分量。反之，如果已知直角坐标中的应力分量，也可以利用简单的关系式求得极坐标中的应力分量。第二十一页，讲稿共七十页哦弹性力学平面问题的极坐标
13、解答2222sincosdsdsdsrxcossin2sincos22rrx 0yF)sin(coscossin)(22rrxy另取微小三角板Bcossin2cossin22rry 0 xFrryyxrrrrxyxcaboyxAB应力分量的坐标变换式四0cossinsincosdsdsrr剪应力互等 0yF第二十二页，讲稿共七十页哦弹性力学平面问题的极坐标解答23(1)用极坐标下的应力分量表示直角坐标下的应力分量(2)用直角坐标下的应力分量表示极坐标下的应力分量)sin(coscossin)(cossin2cossincossin2sincos222222rrxyrryrrx)sin(cosc
14、ossin)(cossin2cossincossin2sincos222222xyxyrxyyxxyyxr应力分量的坐标变换式四综上，得出应力分量由极坐标向直角坐标的变换式为：第二十三页，讲稿共七十页哦弹性力学24一、极坐标中的平衡微分方程二、极坐标中的几何方程与物理方程三、极坐标中的应力函数与相容方程四、应力分量的坐标变换式五、轴对称应力与相应的位移六、圆环或圆筒受均布压力七、压力隧洞八、圆孔的孔边应力集中九、半平面体在边界上受集中力十、半平面体在边界上受分布力弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)第四章平面问题的极坐标解答内容提要第二十四页，讲稿共七十页哦弹性力学平面问
15、题的极坐标解答25求解方法：逆解法1.轴对称问题应力分量与相容方程（2）应力分量22drd drdrr10r（3）相容方程012224drdrdrd2.相容方程的求解将相容方程表示为：011122222224drdrdrddrdrdrddrdrdrd)(r轴对称应力与相应的位移五（1）应力函数极坐标平面内仅为 r 的函数第二十五页，讲稿共七十页哦弹性力学平面问题的极坐标解答26轴对称问题拉普拉斯算子drdrdrdrdrdrdrd11222代入相容方程成为011drdrdrdrdrdrdrdr为四阶常微分方程，其全部通解只有4项。积分得轴对称应力函数通解：DCrrBrrA22lnln（A、B、C
16、、D 为待定常数）3.应力分量将应力函数通解代入应力分量表达式，得轴对称应力的一般性解答CrBrAdrdrr2)ln21(12CrBrAdrd2)ln23(2220rr轴对称应力与相应的位移五第二十六页，讲稿共七十页哦弹性力学平面问题的极坐标解答274.位移分量),(uur对于平面应力问题，将应力分量代入物理方程，得相应的形变分量ruErrr)(1CrBBrAE)1(2ln)1(2)31()1(12ruurErr1)(1CrBBrAE)1(2ln)1(2)3()1(12(a)0112ruruurErrr由式（a）的第一式积分，得轴对称应力与相应的位移五第二十七页，讲稿共七十页哦弹性力学平面问题
17、的极坐标解答28)1(ln)1(2)31()1(1rBrBrrAEur将式（b）代入式（a）中第二式，得ruCrBBrAEru)1(2ln)1(2)3()1(2)(4fEBr将上式积分，得:将式（b）、（c）代入式（a）中第三式，得01ruruurrr或写成：dfddfdrrdfrrf)()()()(11)()1(2fCr（b）)(f 是任意的待定函数)()(41rfdfEBru（c）)(1rf 是 r 任意函数0)()(1)()(111rrfdfrdrrdfddfr要使该式成立，两边须为同一常数。轴对称应力与相应的位移五第二十八页，讲稿共七十页哦弹性力学平面问题的极坐标解答29Fdrrdfr
18、rf)()(11Fdfddf)()(（d）（e）式中F 为常数。对（d）积分有：FHrrf)(1（f）其中 H 为常数。对式（e）两边求导0)()(22fdfd其解为：sincos)(KIf（g）cossin)()(KIFddfFdf（h）将式（f）（g）（h）代入式（b）（c），得（4-12）cossin4KIHrEBrusincos)1(2KICrBrrBrrAEur)31()1(ln)1(2)1(1轴对称应力与相应的位移五第二十九页，讲稿共七十页哦弹性力学30一、极坐标中的平衡微分方程二、极坐标中的几何方程与物理方程三、极坐标中的应力函数与相容方程四、应力分量的坐标变换式五、轴对称应力与
19、相应的位移六、圆环或圆筒受均布压力七、压力隧洞八、圆孔的孔边应力集中九、半平面体在边界上受集中力十、半平面体在边界上受分布力弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)第四章平面问题的极坐标解答内容提要第三十页，讲稿共七十页哦弹性力学平面问题的极坐标解答31已知：baqqba,求：圆环应力分布。确定应力分量的表达式：CrBrAr2)ln21(2CrBrA2)ln23(20rr（411）边界条件：0arr0brraarrqbbrrq（a）将式（a）代入应力分量，有：aqCaBaA2)ln21(2bqCbBbA2)ln21(2（b）圆环或圆筒受均布压力六第三十一页，讲稿共七十页哦弹性
20、力学平面问题的极坐标解答32式(b)中有三个未知常数，二个方程无法完全确定。对于多连体问题，位移须满足位移单值条件。sincos)1(2KICrBrrBrrAEur)31()1(ln)1(2)1(1cossin4KIHrEBru位移多值项要使单值，须有：B=0 ，由式（b）得),(2222abqqabbaA2222)(2abbqaqCba将其代回应力分量式，有：圆环或圆筒受均布压力六第三十二页，讲稿共七十页哦弹性力学平面问题的极坐标解答33barqbaraqabrb222222221111baqbaraqabrb222222221111（4-13）（1）若：0,0aqa,brqbq(二向等压情
21、况)（2）若：)0(0abqq而（压应力）（拉应力）arqabrb112222aqabrb112222)0()0(r圆环或圆筒受均布压力六第三十三页，讲稿共七十页哦弹性力学平面问题的极坐标解答34 具有圆形孔道的无限大弹性体。r（3）若：)0(,0baqqbrqbara222211bqbara222211)0()0(（压应力）（压应力）（4）若：)0(aqbarqabrb112222aqabrb112222arqra22aqra22圆环或圆筒受均布压力六第三十四页，讲稿共七十页哦弹性力学35一、极坐标中的平衡微分方程二、极坐标中的几何方程与物理方程三、极坐标中的应力函数与相容方程四、应力分量的
22、坐标变换式五、轴对称应力与相应的位移六、圆环或圆筒受均布压力七、压力隧洞八、圆孔的孔边应力集中九、半平面体在边界上受集中力十、半平面体在边界上受分布力弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)第四章平面问题的极坐标解答内容提要第三十五页，讲稿共七十页哦弹性力学平面问题的极坐标解答36,E,E问题：厚壁圆筒埋在无限大弹性体内，受内压 q 作用，求圆筒的应力。1.分析与以前相比较，相当于两个轴对称问题：(a)受内外压力作用的厚壁圆筒；(b)仅受内压作用的无限大弹性体。确定外压 p 的两个条件：径向变形连续：brrbrruu径向应力连续：brrbrr,E,E压力隧洞七第三十六页，讲稿
23、共七十页哦弹性力学平面问题的极坐标解答372.求解(1)圆筒的应力与边界条件CrAr22CrA22应力：（a）边界条件：(2)无限大弹性体的应力与边界条件应力：CrAr22CrA22（b）pbrr,E,E,E,Eqarrpbrr边界条件：0rr将式（a）、（b）代入相应的边界条件，得到如下方程：压力隧洞七第三十七页，讲稿共七十页哦弹性力学平面问题的极坐标解答38,EpCbAqCaA22220222CpCbA4个方程不能解5个未知量，需由位移连续条件确定。brrbrruusincosKICrrAEur)11(2)11(12(c)(d)由轴对称应力状态下对应的位移分量公式，平面应变问题的圆筒和无限
24、大弹性体的径向位移为：rCrAEur)11(2)11(12sincosKI,E压力隧洞七第三十八页，讲稿共七十页哦弹性力学平面问题的极坐标解答39sincos)21(21KIrACrEursincos)21(21KIrArCEur利用：brrbrruusincos)21(21KIbACbEsincos)21(21KIbAbCE(e)要使对任意的 成立，须有bACbE)21(21bAbCE)21(21IIKK(f)0压力隧洞七第三十九页，讲稿共七十页哦弹性力学平面问题的极坐标解答400)21(222bAbACn(g)其中：)1()1(EEn式（g）与式（c）（d）联立求解（4-16）pCbAqC
25、aA22220222CpCbA(c)(d)1()21(1)1()21(12222nabnnrbnqr)1()21(1)1()21(12222nabnnrbnq)1()21(1)1(22222nabnrbnqr圆筒及无限大弹性体应力分量式(f)压力隧洞七第四十页，讲稿共七十页哦弹性力学平面问题的极坐标解答41,E,Err讨论：（1）完全接触压力隧洞问题为最简单的接触问题（面接触）。接触面间既不互相脱离，也不互相滑动。接触条件为应力：brrbrrbrrbrr（2）非完全接触（光滑接触）接触条件：当 n a），圆孔半径为 a，在无限远处受有均匀拉应力 q 作用。求：孔边附近的应力。圆孔的孔边应力集中
26、八第四十三页，讲稿共七十页哦弹性力学平面问题的极坐标解答44),(rAOxybAqxArrrA原问题转化为：无限大圆板中间开有一圆孔的新问题。rrb（2）问题的求解 问题分析坐标系：就外边界（直线），宜用直角坐标；就内边界（圆孔），宜用极坐标。取一半径为 r=b(ba），在其上取一点 A 的应力，有：由应力转换公式：2cos22cos2qqq2sin2cossinqqcossin2sincos22xyyxr)sin(coscossin)(22xyxyr0,0,xyxxq圆孔的孔边应力集中八第四十四页，讲稿共七十页哦弹性力学平面问题的极坐标解答45新问题的边界条件可表示为：xyba内边界0arr
27、0arr外边界2cos22qqbrr2sin2qbrr（a）rr问题12qbrr0brr2cos2qbrr2sin2qbrr（b）2qrba将外边界条件（a）分解为两部分：2cos2qr2sin2qr（c）ba问题2圆孔的孔边应力集中八第四十五页，讲稿共七十页哦弹性力学平面问题的极坐标解答46 问题1的解：内边界0arr0arr外边界2qbrr0brr（b 该问题为轴对称问题，其解为2112222qbarar2112222qbara0r 当 ba 时，有2122qrar2122qra0r（d）问题12qrba圆孔的孔边应力集中八第四十六页，讲稿共七十页哦弹性力学平面问题的极坐标解答47 问题2
28、的解：（非轴对称问题）内边界0arr0arr外边界2cos2qbrr2sin2qbrr（c）由边界条件（c），可假设：为 r 的某一函数乘以 ；为r 的某一函数乘以 。r2cosr2sin 又由极坐标下的应力分量表达式：22211rrrrrrr1 可假设应力函数为：2cos2qr2sin2qrba问题22cos)(rf 将其代入相容方程：011222222rrrr圆孔的孔边应力集中八第四十七页，讲稿共七十页哦弹性力学平面问题的极坐标解答4802cos)(9)(9)(2)(32223344drrdfrdrrfdrdrrfdrdrrfd0)(9)(9)(2)(32223344drrdfrdrrfd
29、rdrrfdrdrrfd)ln(rtert或令：0)(16)(4)(4)(223344dttdfdttfddttfddttfd 该方程的特征方程：01644234特征根为：,41,22,0324方程的解为：tttDeCBeAetf224)(2cos12cos)(224rDCBrArrf2241)(rDCBrArrf圆孔的孔边应力集中八第四十八页，讲稿共七十页哦弹性力学平面问题的极坐标解答49 相应的应力分量：22211rrrr2cos)642(42rDrCB22r2cos)6212(42rDBArrrr12sin)6226(422rDrCBAr 对上述应力分量应用边界条件（c）,有内边界0ar
30、r0arr外边界2cos2qbrrsin2qarr（c）（e）2cos2qr2sin2qrba问题2圆孔的孔边应力集中八第四十九页，讲稿共七十页哦弹性力学平面问题的极坐标解答50264242qbDbCB26226422qbDbCBAb064242aDaCB06226422aDaCBAa0A4qB2qaC 44qaD2cos2qr2sin2qrba问题2代入应力分量式（e）,有2cos31244raq2cos)31)(1(22222raraqr2sin)31)(1(22222raraqrr（f）圆孔的孔边应力集中八第五十页，讲稿共七十页哦弹性力学平面问题的极坐标解答51将问题1和问题2的解相加,
31、得全解：2cos312124422raqraq2cos)31)(1(2)1(2222222raraqraqr2sin)31)(1(22222raraqrr讨论：（1）沿孔边，r=a，环向正应力：)2cos21(q),(rAb 齐尔西（G.Kirsch）解3q2qq0q906045300（2）沿 y 轴，=90，环向正应力：)23211(4422raraq1.04q1.07q1.22q3q4a3a2aar圆孔的孔边应力集中八第五十一页，讲稿共七十页哦弹性力学平面问题的极坐标解答52（3）沿 x 轴，=0，环向正应力：)123(22222raraq,ar;q,3ar 0圆孔的孔边应力集中八第五十二
32、页，讲稿共七十页哦弹性力学平面问题的极坐标解答53（4）若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力 q1、q2 作用xyq1q2q2q1xyq1q1xyq2q2叠加后的应力：2cos3121244212221raqqraqq2cos)31)(1(2)1(22222212221raraqqraqqr2sin)31)(1(2222221raraqqrr圆孔的孔边应力集中八第五十三页，讲稿共七十页哦弹性力学54一、极坐标中的平衡微分方程二、极坐标中的几何方程与物理方程三、极坐标中的应力函数与相容方程四、应力分量的坐标变换式五、轴对称应力与相应的位移六、圆环或圆筒受均布压力七、压力隧洞八、圆孔的孔边应力集中九、
33、半平面体在边界上受集中力十、半平面体在边界上受分布力弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)第四章平面问题的极坐标解答内容提要第五十四页，讲稿共七十页哦弹性力学平面问题的极坐标解答55xyO22P1.楔顶受有集中力P作用 楔形体顶角为，下端为无限长（单位厚度），顶端受有集中力 P，与中心线的夹角为，求：（1）应力函数的确定因次分析法：rr,rP)N/m(:2单位)N/m(:单位rP半平面体在边界上受集中力九由应力函数与应力分量间的微分关系，可推断：)(rf（a）将其代入相容方程，以确定函数)(f011222222rrrrrrrr第五十五页，讲稿共七十页哦弹性力学平面问题的极坐
34、标解答560)()(2)(122443fdfddfdr0)()(2)(2244fdfddfd 4阶常系数齐次的常微分方程通解：)sincos(sincos)(DCBAf其中A，B，C，D为积分常数。将其代入前面的应力函数表达式：)(rf)sincos(sincosDCrBrArxy)sincos(DCr（4-20）（对应于无应力状态）xyO22P半平面体在边界上受集中力九第五十六页，讲稿共七十页哦弹性力学平面问题的极坐标解答57（2）应力分量的确定xyO22P22211rrrr22rrrrr1)sincos(DCr)sincos(2CDr00边界条件：02r,02 自然满足abrrr（b）任取
35、一圆弧 ，其上的应力应与楔顶的力 P 平衡。ab:0 xF0coscos22Prdr:0yF0sinsin22Prdr将式（b）代入，有：半平面体在边界上受集中力九第五十七页，讲稿共七十页哦弹性力学平面问题的极坐标解答580cos)cossincos(2222PdCD0sin)sincossin(2222PdCD积分得：0cos)(sinPD0sin)(sinPCsinsinPCsincosPD代入式（b）00rr)sinsinsinsincoscos(2rPr（4-21）密切尔（J.H.Michell）解答xyO22Pabrrr半平面体在边界上受集中力九第五十八页，讲稿共七十页哦弹性力学平面
36、问题的极坐标解答59两种特殊情况：P0（1）,000rrsincos2rPr,29000rrsinsin2rPr（2）两种情况下的应力分布：应力对称分布应力反对称分布rrPxyO22abrrrxyO22abrrr半平面体在边界上受集中力九第五十九页，讲稿共七十页哦弹性力学平面问题的极坐标解答6000rrrPrcos2(1)应力分量由楔形体受集中力的情形，可以得到 极坐标表示的 应力分量利用极坐标与直角坐标的应力转换式（4-8），可求得PxyOr无限大半平面体在边界法线方向受集中力作用 02.半平面边界受法向集中力作用rPx3cos2rPxcossin22rPxy2cossin2或将其改为直角坐
37、标表示xyyxrarctan222（4-23）半平面体在边界上受集中力九第六十页，讲稿共七十页哦弹性力学平面问题的极坐标解答612223)(2yxxPx2222)(2yxxyPy2222)(2yxyxPxy(2)位移分量直角坐标表示的应力分量假定为平面应力情形，其极坐标形式的物理方程为PxyOr)(1rrE)(1rE0r将式代入rEPrcos2rEPcos20r（4-24）00rrrPrcos2半平面体在边界上受集中力九第六十一页，讲稿共七十页哦弹性力学平面问题的极坐标解答62由几何方程rEPrurcos2rEPurrurcos2101ruruurr(a)(b)(c)积分式（a）)(lncos
38、21frEPur(d)式（d）代入式（b）ruEPucos2)()ln(cos21frEP积分上式)()()ln(sin221rfdfrEPu(e)rEPrcos2rEPcos20r半平面体在边界上受集中力九第六十二页，讲稿共七十页哦弹性力学平面问题的极坐标解答63将式（d）(e)代入式（c）得，ddfrEPr)(lnsin211drrdfEPr)(sin2120)()()ln(sin2121rfdfrEPrdrrdfrrfdfEPddf)()()()1(sin2)(2211要使上式成立，方程两侧须等于同一常数。方程左方程右半平面体在边界上受集中力九第六十三页，讲稿共七十页哦弹性力学平面问题的
39、极坐标解答64不妨令sincossin)1()(1KIEPfHrrf)(2代入位移分量式（d）（e），有sincossin)1(lncos2KIEPrEPurcos)1(sin)1(lnsin2EPEPrEPucossinKIHr式中，常数H，I，K 由边界条件确定。(f)PxyOr0半平面体在边界上受集中力九第六十四页，讲稿共七十页哦弹性力学平面问题的极坐标解答6500u由式（f）得：0 KH由问题的对称性，有：常数 I 须由铅垂方向（x方向）位移条件确定。cossin)1(lncos2IEPrEPursincos)1(sin)1(lnsin2IEPEPrEPu(g)PxyOr半平面体在边界
40、上受集中力九第六十五页，讲稿共七十页哦弹性力学平面问题的极坐标解答66(3)边界沉陷计算M点的下沉量：IEPrEPu)1(ln22 由于常数 I 无法确定，所以只能求得的相对沉陷量。为此，在边界上取一基准点B，M点相对于基准点B的沉陷为srrruu22IEPrEP)1(ln2IEPsEP)1(ln2简化后得：PxyOrMBsrsEPln2（4-25）符拉芒（A.Flamant）公式对平面应变情形：rsEPln)1(22半平面体在边界上受集中力九第六十六页，讲稿共七十页哦弹性力学67一、极坐标中的平衡微分方程二、极坐标中的几何方程与物理方程三、极坐标中的应力函数与相容方程四、应力分量的坐标变换式
41、五、轴对称应力与相应的位移六、圆环或圆筒受均布压力七、压力隧洞八、圆孔的孔边应力集中九、半平面体在边界上受集中力十、半平面体在边界上受分布力弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)第四章平面问题的极坐标解答内容提要第六十七页，讲稿共七十页哦弹性力学平面问题的极坐标解答681.应力分量2223)(2yxxdPdx2222)(2yxxydPdy2222)(2yxyxdPdxy半平面体在边界上受分布力十dP 作用在距原点 时，2223)(2yxxqddx2222)()(2yxyxqddy2222)()(2yxyxqddxyqddP OdM将此式在 AB 区间上积分dP 作用在原点O（4-24）PxyOr第六十八页，讲稿共七十页哦弹性力学平面问题的极坐标解答69abxxdyxxqd2223)(2abyydyxyxqd2222)()(2abxyxydyxyxqd2222)()(2式中，需将q 表示成 的函数，再进行积分。qddP OdM2.边界点的相对沉陷量讨论均匀分布的单位力的情形。dPdrcdP1计算分布力中点 I 相对于 K 点的沉陷量。（4-27）半平面体在边界上受分布力十第六十九页，讲稿共七十页哦弹性力学感谢大家观看第七十页，讲稿共七十页哦