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1、关于大数定律与中心极限定理第1页，讲稿共35张，创作于星期日第一节 大数定律背景背景1.1.为何能以某事件发生的频率作为该事件的概率的估计？为何能以某事件发生的频率作为该事件的概率的估计？2.2.为何能以样本均值作为总体期望的估计？为何能以样本均值作为总体期望的估计？3.3.为何正态分布在概率论中占有极其重要的地位？为何正态分布在概率论中占有极其重要的地位？4.4.大样本统计推断的理论基础是什么？大样本统计推断的理论基础是什么？第2页，讲稿共35张，创作于星期日1.1.切比雪夫不等式切比雪夫不等式 设随机变量设随机变量X的数学期望的数学期望E(X)=,方差方差D(X)=2,则则对任意的正数对任
2、意的正数，不等式，不等式或或成立成立.第3页，讲稿共35张，创作于星期日利用利用切比雪夫不等式可以估计一些随机事件的概率切比雪夫不等式可以估计一些随机事件的概率。例例1 1 设电站供电网有设电站供电网有1000010000盏灯，夜晚每一盏灯开灯的概盏灯，夜晚每一盏灯开灯的概率是率是0.70.7，假定开、关时间彼此独立，估计夜晚同时开，假定开、关时间彼此独立，估计夜晚同时开着的灯数在着的灯数在68006800与与72007200之间的概率之间的概率解解 设设X X表示在夜晚同时开着的灯的数目，它服从参数表示在夜晚同时开着的灯的数目，它服从参数为为n=10000,p=0.7n=10000,p=0.
3、7的二项分布，则有的二项分布，则有而用而用切比雪夫不等式估计切比雪夫不等式估计E(X)=np=7000,D(x)=np(1-p)=2100E(X)=np=7000,D(x)=np(1-p)=2100P(6800X7200)=P(|X-7000|0.95P(6800X7200)=P(|X-7000|0.95使用切比雪夫不等式只能得到事件的大致概率，能否得到其使用切比雪夫不等式只能得到事件的大致概率，能否得到其较精确的概率较精确的概率呢？这就要用到中心极限定理呢？这就要用到中心极限定理第4页，讲稿共35张，创作于星期日2.大数定律大数定律 定义定义1 1 设设Y1，Y2，Yn，,是一随机变量序列，
4、是一随机变量序列，a为一常数为一常数.若对任意给定正数若对任意给定正数 0,0,有有则称随机变量序列则称随机变量序列Y1,Y2,Yn,依概率收敛于依概率收敛于a 定定 义义 2 2 设设X1，X2，Xn，是是一一随随机机变变量量序序列列 .若若 存存 在在 常常 数数 列列 an 使使 对对 任任 意意 给给 定定 的的 正正 数数 ，恒恒 有有 ,则则称称随随机机变变量量序序列列 Yn服从大数定律服从大数定律第5页，讲稿共35张，创作于星期日注意：第6页，讲稿共35张，创作于星期日切比雪夫切比雪夫大数定理大数定理 若若X1，X2，Xn，为独立同分布随机变量为独立同分布随机变量序列序列,E(X
5、k)=D(Xk)=2(k=1,2,)=1,2,)，则对任意的，则对任意的正数正数 0,0,有有或或第7页，讲稿共35张，创作于星期日注意第8页，讲稿共35张，创作于星期日证明证明:（利用切比雪夫不等式）（利用切比雪夫不等式）根据已知条件根据已知条件由切比雪夫不等式，有由切比雪夫不等式，有又又所以所以第9页，讲稿共35张，创作于星期日伯努利大数定理伯努利大数定理设设nA为为 是是n次次独独立立重重复复试试验验中中事事件件A发发生生的的次次数数,p是是事事件件A 在在 每每 次次 试试 验验 中中 发发 生生 的的 概概 率率,则则 对对 任任 意意 的的正数正数 0,0,有有或或第10页，讲稿共
6、35张，创作于星期日证：设证：设由切比雪夫大数定理由切比雪夫大数定理,有有所以所以 即即那么那么 相互独立，且服从参数为相互独立，且服从参数为p的的0101分分布，布，E(Xk)=p，D(Xk)=p(1-(1-p).).第11页，讲稿共35张，创作于星期日辛钦大数定理辛钦大数定理 若若X1，X2，Xn，为独立同分布随机变为独立同分布随机变量序列量序列,E(Xk)=(k=1,2,)=1,2,)，则对任意的正，则对任意的正数数 0,0,有有或或第12页，讲稿共35张，创作于星期日第二节中心极限定理第二节中心极限定理设设 Xn 为独立随机变量序列，记其和为为独立随机变量序列，记其和为问这个和的问这个
7、和的极限分布极限分布是什么？是什么？第13页，讲稿共35张，创作于星期日1.1.独立同分布中心极限定理独立同分布中心极限定理 若若X1，X2，Xn，为独立同分布随机变量序为独立同分布随机变量序列列,E(Xk)=D(Xk)=2(k=1,2,)=1,2,)，则随机变量标准，则随机变量标准化量化量的分布函数的分布函数Fn(x)对于任意对于任意x满足满足第14页，讲稿共35张，创作于星期日第15页，讲稿共35张，创作于星期日例例2 每袋味精的净重为随机变量，平均重量为每袋味精的净重为随机变量，平均重量为 100克，标克，标准差为准差为10克克.一箱内装一箱内装200袋味精，求一箱味精的净重袋味精，求一
8、箱味精的净重大于大于20500克的概率克的概率?解：解：设箱中第设箱中第 i 袋味精的净重为袋味精的净重为 Xi,则则Xi 独立同分布，独立同分布，且且 E(Xi)=100，Var(Xi)=100，由中心极限定理得，所求概率为：由中心极限定理得，所求概率为：故一箱味精的净重大于故一箱味精的净重大于20500克的概率为克的概率为0.0002.第16页，讲稿共35张，创作于星期日2.2.李雅普诺夫中心极限定理李雅普诺夫中心极限定理 若若X1，X2，Xn，为独立随机变量序列为独立随机变量序列,，若存在正数若存在正数，使当，使当 时，时，则随机变量标准化量则随机变量标准化量Zn的分布函数的分布函数Fn
9、(x)对于任意对于任意x满足满足第17页，讲稿共35张，创作于星期日说说明明：中中心心极极限限定定理理表表明明无无论论各各随随机机变变量量 Xk(k=1 1,2 2,)服服 从从什什么么分分布布，只只要要满满足足定定理理的的条条件件，那那么么他他们们的的和和当当n很很大大时时，就就近近似似服服从从正正态态分分布布，这这就就是是为为什什么么正正态态随随机机变变量量在在概概率率论论中中占占有有非非常常重重要要地地位位的的一一个个基基本本原原因因第18页，讲稿共35张，创作于星期日3.3.棣莫弗棣莫弗拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理定理表明：二项分布的极限分布是正态分布，定理表明：二项分布的
10、极限分布是正态分布，即即 设随机变量设随机变量 服从参数为服从参数为n,p的二项分布，的二项分布，则则对任意对任意x，有，有第19页，讲稿共35张，创作于星期日小结小结中中心心极极限限定定理理注注第20页，讲稿共35张，创作于星期日例例3解：解：所以所以第21页，讲稿共35张，创作于星期日第22页，讲稿共35张，创作于星期日例例4(供电问题供电问题)某车间有某车间有200台车床台车床,在生产期间由于需要检在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车.设开设开工率为工率为0.7,并设每台车床的工作是独立的，且在开工并设每台车床的工作是独
11、立的，且在开工时需电力时需电力15千瓦千瓦.问应供应多少瓦电力就能以问应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产?解解 供电所至少要供给这个车间供电所至少要供给这个车间x千瓦的千瓦的电力电力,才能以才能以99.9%99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产产.以以X记记200200台车床在同一时间段内开动的台数，则台车床在同一时间段内开动的台数，则由已知条件由已知条件X服从参数为服从参数为200200，0.70.7的二项分布，于是的二项分布，于是由棣莫弗由棣莫弗拉普拉斯中心极
12、限定理有拉普拉斯中心极限定理有第23页，讲稿共35张，创作于星期日即供电所至少要供给这个车间即供电所至少要供给这个车间2392.62392.6千瓦的电力千瓦的电力.第24页，讲稿共35张，创作于星期日 例例5 对于一个学生而言，来参加家长会的家对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1名家长、名家长、2名家长来参加会议的概率分别名家长来参加会议的概率分别为为0.05、0.8、0.15.若学校共有若学校共有400名学生，名学生，设各学生参加会议的家长数相互独立，且服设各学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布从同一分布
13、.(1)求参加会议的家长人数求参加会议的家长人数X超过超过450的概率；的概率；(2)求有求有1名家长来参加会议的学生人数不多名家长来参加会议的学生人数不多于于340的概率的概率.第25页，讲稿共35张，创作于星期日解解 (1)(1)以以Xk记第记第k个学生来参加会议的家长人数，则个学生来参加会议的家长人数，则由已知条件由已知条件Xk的分布率为的分布率为Xk012P0.050.80.15可以计算可以计算E(Xk)=1.1，D(Xk)=0.19，k=1，2，400.由独立由独立同分布中心极限定理，得同分布中心极限定理，得第26页，讲稿共35张，创作于星期日(2)(2)以以Y记由一名家长参加会议的
14、学生人数，则记由一名家长参加会议的学生人数，则Y Y服从参数为服从参数为400400，0.80.8的二项分布的二项分布.于是由于是由棣莫弗棣莫弗拉普拉斯中心极限定理，拉普拉斯中心极限定理，得得从而有从而有1 1名家长来参加会议的学生人数不多于名家长来参加会议的学生人数不多于340340的概率约为的概率约为0.9938.0.9938.第27页，讲稿共35张，创作于星期日例例6在一个罐子中在一个罐子中,装有装有10个编号为个编号为0-9的同样的球，从罐的同样的球，从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码.(1)至少应取球多少次才能使至少应取球多少
15、次才能使“0”出现的频率在出现的频率在0.09-0.11之间的概率至少是之间的概率至少是0.95?(2)用中心极限定理计算在用中心极限定理计算在100次抽取中次抽取中,数码数码“0”出现次出现次数在数在7和和13之间的概率之间的概率.设设，k=1,2,第28页，讲稿共35张，创作于星期日解（解（1）设应取球设应取球n次，次，0出现频率为出现频率为由中心极限定理由中心极限定理第29页，讲稿共35张，创作于星期日欲使欲使即即查表得查表得从中解得从中解得即至少应取球即至少应取球3458次才能使次才能使“0”出现的频率在出现的频率在0.09-0.11之间的概率至少是之间的概率至少是0.95.第30页，
16、讲稿共35张，创作于星期日（2）在）在100次抽取中次抽取中,数码数码“0”出现次数为出现次数为由中心极限定理由中心极限定理,其中其中E(Xk)=0.1,D(Xk)=0.09即即第31页，讲稿共35张，创作于星期日=0.6826即在即在100次抽取中，数码次抽取中，数码“0”出现次数在出现次数在7和和13之间之间的概率为的概率为0.6826.第32页，讲稿共35张，创作于星期日思考题思考题1.甲乙两电影院在竞争甲乙两电影院在竞争10001000名观众，假设每位观众在选名观众，假设每位观众在选择时随机的，且彼此相互独立，问甲至少应设多少个择时随机的，且彼此相互独立，问甲至少应设多少个座位，才能使
17、观众因无座位而离去的概率小于座位，才能使观众因无座位而离去的概率小于1 1？2.根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布小时的指数分布.现随机地取现随机地取16只，设它们的寿命是相只，设它们的寿命是相互独立的互独立的.求这求这16只元件的寿命的总和大于只元件的寿命的总和大于1920小时的小时的概率概率.第33页，讲稿共35张，创作于星期日3.电电视视台台需需作作节节目目A 收收视视率率的的调调查查.每每天天在在播播电电视视的的同同时时,随随机机地地向向当当地地居居民民打打电电话话询询问问是是否否在在看看电电视视.若若在在看看电电视
18、视,再再问问是是否否在在看看节节目目 A.设设回回答答看看电电视视的的居居民民户户数数为为n.若若要要保保证证以以9 9 5 5%的的概概率率使使调调查查误误差差在在1 1 0 0%之之 内内,n应应取取多多大大？每每晚晚节节目目A A 播播出出一一小小时时,调调查查需需同同时时进进行行,设设每每小小时时每每人人能能调调查查2 20 0户户,每每户户居居民民每每晚晚看看电电视视的的概概率率为为7 70 0%,电电视视台台需需安安排排多多少少人人作作调调查查,又又若若使使调调查查误误差差在在1 1%之内之内,n取多大？取多大？第34页，讲稿共35张，创作于星期日感谢大家观看第35页，讲稿共35张，创作于星期日