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1、第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 华东师范大学华东师范大学3/6/20233/6/2023第第1 1页页 4.1 特征函数 4.2 大数定律 4.3 随机变量序列的两种收敛性 4.4 中心极限定理第四章 大数定律与中心极限定理第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 华东师范大学华东师范大学3/6/20233/6/2023第第2 2页页4.4 中心极限定理 讨论独立随机变量和的极限分布,并指出极限分布为正态分布.4.4.1 独立随机变量和设 Xn 为独立随机变量序列，记其和为第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 华东师范大学华东
2、师范大学3/6/20233/6/2023第第3 3页页4.4.2 独立同分布下的中心极限定理定理4.4.1 林德贝格勒维中心极限定理设 Xn 为独立同分布随机变量序列，数学期望为,方差为 20，则当 n 充分大时，有应用之例:正态随机数的产生；误差分析第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 华东师范大学华东师范大学3/6/20233/6/2023第第4 4页页例4.4.1 每袋味精的净重为随机变量，平均重量为 100克，标准差为10克.一箱内装200袋味精，求一箱味精的净重大于20500克的概率?解:设箱中第 i 袋味精的净重为 Xi,则Xi 独立同分布，且 E(Xi)=1
3、00，Var(Xi)=100，由中心极限定理得，所求概率为：=0.0002故一箱味精的净重大于20500克的概率为0.0002.(很小)第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 华东师范大学华东师范大学3/6/20233/6/2023第第5 5页页例4.4.2 设 X 为一次射击中命中的环数，其分布列为求100次射击中命中环数在900环到930环之间的概率.XP10 9 8 7 6 0.8 0.1 0.05 0.02 0.03解:设 Xi 为第 i 次射击命中的环数，则Xi 独立同分布，且 E(Xi)=9.62，Var(Xi)=0.82，故=0.99979第四章第四章 大数定
4、律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 华东师范大学华东师范大学3/6/20233/6/2023第第6 6页页4.4.3 二项分布的正态近似定理4.4.2 棣莫弗拉普拉斯中心极限定理设n 为服从二项分布 b(n,p)的随机变量，则当 n 充分大时，有是林德贝格勒维中心极限定理的特例.第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 华东师范大学华东师范大学3/6/20233/6/2023第第7 7页页二项分布是离散分布，而正态分布是连续分布，所以用正态分布作为二项分布的近似时，可作如下修正：注 意 点(1)第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 华东师范大学华东师
5、范大学3/6/20233/6/2023第第8 8页页 中心极限定理的应用有三大类：注 意 点(2)ii)已知 n 和概率，求y；iii)已知 y 和概率，求 n.i)已知 n 和 y，求概率；第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 华东师范大学华东师范大学3/6/20233/6/2023第第9 9页页一、给定 n 和 y，求概率例4.4.3 100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组成一个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率.解：用由此得：Xi=1表示第i个部件正常工作,反之记为Xi=0.又记Y=X1+X2+X100，则 E(Y)=90，Var(Y)=9.第四章第四
6、章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 华东师范大学华东师范大学3/6/20233/6/2023第第1010页页二、给定 n 和概率，求 y例4.4.4 有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床，每台机床工作时需15kw电力.问共需多少电力,才可 有95%的可能性保证正常生产?解：用设供电量为y,则从Xi=1表示第i台机床正常工作,反之记为Xi=0.又记Y=X1+X2+X200，则 E(Y)=140，Var(Y)=42.中解得第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 华东师范大学华东师范大学3/6/20233/6/2023第第1111页页三、给定 y 和概率，
7、求 n例4.4.5 用调查对象中的收看比例 k/n 作为某电视节 目的收视率 p 的估计。要有 90 的把握，使k/n与p 的差异不大于0.05，问至少要调查多少对象？解：用根据题意Yn表示n 个调查对象中收看此节目的人数，则从中解得Yn 服从 b(n,p)分布，k 为Yn的实际取值。又由可解得n=271第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 华东师范大学华东师范大学3/6/20233/6/2023第第1212页页例4.4.6 设每颗炮弹命中目标的概率为0.01，求500发炮弹中命中 5 发的概率.解:设 X 表示命中的炮弹数,则X b(500,0.01)0.17635(2)应用正态逼近:P(X=5)=P(4.5 X 5.5)=0.1742