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1、二次函数的图像与一元二次方程第1页，本讲稿共24页学习目标1 1、经历探究二次函数、经历探究二次函数y=axy=ax+bx+c+bx+c和一元二和一元二次方程次方程axax+bx+c=0+bx+c=0关系的过程，掌握二次函数关系的过程，掌握二次函数和一元二次方程的关系和一元二次方程的关系2 2、能利用二次函数图像讨论一元二次方程、能利用二次函数图像讨论一元二次方程的实数根，反过来利用一元二次方程的实的实数根，反过来利用一元二次方程的实数根讨论二次函数图像与数根讨论二次函数图像与x x轴交点轴交点3 3、进一步体会数形结合思想和函数与方程、进一步体会数形结合思想和函数与方程思想的综合运用，感知数
2、学美思想的综合运用，感知数学美第2页，本讲稿共24页中国历史上的方程求解中国历史上的方程求解 约公元约公元50100年编成的九章算术，以算法形式给出年编成的九章算术，以算法形式给出了求一次方程、二次方程和正系数三次方程根的方法。了求一次方程、二次方程和正系数三次方程根的方法。7世纪，隋唐数学家王孝通找出了求三次方程正根的数值解法。世纪，隋唐数学家王孝通找出了求三次方程正根的数值解法。11世纪北宋数学家贾宪以世纪北宋数学家贾宪以“立成释锁法立成释锁法”解三次或三次以上解三次或三次以上的高次方程式，同时，还提出了一种更简单的的高次方程式，同时，还提出了一种更简单的“增乘开方法增乘开方法”。13世纪
3、，南宋数学家秦九韶提出了世纪，南宋数学家秦九韶提出了“正负开方术正负开方术”，提，提供了一种用算筹布列解任意数字方程的有效算法。供了一种用算筹布列解任意数字方程的有效算法。第3页，本讲稿共24页相等相等（1 1）抛物线与）抛物线与x x轴有几个公共点？轴有几个公共点？公共点的坐标分别是什么？公共点的坐标分别是什么？观察抛物线观察抛物线y=x2-2x-3，思考，思考下面的问题：下面的问题：（2 2）当）当x x取何值时，函数取何值时，函数y=xy=x2 2-2x-3-2x-3的值是的值是0 0？（3 3）一元二次方程）一元二次方程x x2 2-2x-3=0-2x-3=0有没有根？有没有根？如果有
4、根，它的根是什么？如果有根，它的根是什么？（4 4）一元二次方程）一元二次方程x x2 2-2x-3=0-2x-3=0的根和抛物线的根和抛物线y=xy=x2 2-2x-3-2x-3与与x x轴的公共点的横坐标轴的公共点的横坐标抛物线与抛物线与x x轴有轴有两两个公共点个公共点（-1,0)-1,0)，（，（3,03,0）。.当当x=-1,x=3x=-1,x=3时，函数时，函数y y的值是的值是0.0.即即x x2 2-2x-3=0-2x-3=0。一元二次方程一元二次方程x x2 2-2x-3=0-2x-3=0的根是的根是x x1 1=-1,x=-1,x2 2=3=3，。意意 义义定定 义义有什么
5、关系？有什么关系？第4页，本讲稿共24页（1）抛物线与）抛物线与x轴有几个公共点？轴有几个公共点？交点的坐标分别是什么？交点的坐标分别是什么？观察抛物线观察抛物线 ，思考，思考下面的问题：下面的问题：（2）当）当x取何值时，函数取何值时，函数 的值是的值是0？（3）一元二次方程）一元二次方程 有没有根？有没有根？如果有根，它的根是什么？如果有根，它的根是什么？（4）一元二次方程）一元二次方程 的根和抛物线的根和抛物线 与与x轴的公共点的横坐标有什么关系？轴的公共点的横坐标有什么关系？定定 义义意意 义义。相等相等.第5页，本讲稿共24页y=x2-2x-3（4 4）一元二次方程）一元二次方程x
6、x2 2-2x-3=0-2x-3=0的的根和抛物线根和抛物线y=xy=x2 2-2x-3-2x-3 与与x x轴的轴的公共点的横坐标有什么关系？公共点的横坐标有什么关系？（4）一元二次方程）一元二次方程 的根和抛的根和抛物线物线 与与x轴的公共点的横坐标轴的公共点的横坐标有什么关系？有什么关系？通过刚才解答的问题，通过刚才解答的问题，你能得到什么样的结论？你能得到什么样的结论？第6页，本讲稿共24页抛物线抛物线y=ax2+bx+c与与x轴公共点的横坐标，轴公共点的横坐标，恰为一元二次方程恰为一元二次方程ax2+bx+c=0的实根。的实根。若一元二次方程若一元二次方程ax2+bx+c=0有实根，
7、则有实根，则抛物线抛物线y=ax2+bx+c与与x轴有公共点，且轴有公共点，且公共点的横坐标是这个一元二次方程的实根。公共点的横坐标是这个一元二次方程的实根。y=x2-2x-3第7页，本讲稿共24页抛物线抛物线y=ax2+bx+c与与x轴有公共点轴有公共点二次方程二次方程ax2+bx+c=0有实根有实根转化为转化为转化为转化为第8页，本讲稿共24页画抛物线画抛物线y=x2-3x-2，判断一元二次方程，判断一元二次方程x2-3x-2=0根的情况。根的情况。第9页，本讲稿共24页例例1用图象法讨论一元二次方程用图象法讨论一元二次方程x2-3x-2=0的根的根解：解：（1）画抛物线）画抛物线y=x2
8、-3x-2.（2）由图象可知，在）由图象可知，在-1与与0 之间以及之间以及 3与与4之间各有一个根之间各有一个根.分别计算分别计算x=0，x=-1，x=-0.5的函数值，列的函数值，列表如下：表如下：xy-1-0.502-0.25-2由于当由于当x=-1时，时，y0，当，当x=-0.5时，时，y0，所以方程的根在，所以方程的根在-1和和-0.5之间。之间。由于在画图和观察过程中由于在画图和观察过程中存在误差，所以得到的往往存在误差，所以得到的往往是二次方程根的近似值是二次方程根的近似值（精确到（精确到0.1）第10页，本讲稿共24页可再将可再将-1和和-0.5之间分为之间分为5等份，每个分点
9、作为等份，每个分点作为x值，利用计算器求出所对应的函数值，列表：值，利用计算器求出所对应的函数值，列表：xy-1.0-0.7-0.9-0.82-0.5-0.61.041.510.160.59-0.25可以看出，这个根在可以看出，这个根在-0.6和和-0.5之间，由于本题要求精确之间，由于本题要求精确到到0.1，所以可以将，所以可以将-0.6或或-0.5看作二次方程看作二次方程x2-3x-2=0较小根的近似值，即二次方程较小根的近似值，即二次方程x2-3x-2=0的较小的较小根为根为x-0.6或或x-0.5你能求出二次方程你能求出二次方程x2-3x-2=0较大根较大根的近似值吗？试试看的近似值吗
10、？试试看！第11页，本讲稿共24页同样的，可以求出一元二次方程同样的，可以求出一元二次方程x2-3x-2=0的较大根的近的较大根的近似值，列表如下：似值，列表如下：由上表可见，方程的较大根在由上表可见，方程的较大根在3.5和和3.6之间，之间，所以可以将所以可以将3.5或或3.6看作二次方程看作二次方程x2-3x-2=0较大较大根的近似值，即二次方程根的近似值，即二次方程x2-3x-2=0的较大根为的较大根为x3.5或或x3.63.0-0.25-20.163.73.63.51.040.593.93.821.514.0 xy第12页，本讲稿共24页例例2用图象法讨论一元二次方程用图象法讨论一元二
11、次方程x2-2x+3=0的根。的根。xy解解：（1）画出抛物线）画出抛物线y=x2-2x+3（2）由于图象与）由于图象与x轴没有公共点，轴没有公共点，所以一元二次方程所以一元二次方程x2-2x+3=0没有实没有实数根数根第13页，本讲稿共24页抛物线抛物线y=ax2+bx+c与与x轴无公共点轴无公共点二次方程二次方程ax2+bx+c=0无实根无实根转化为转化为转化为转化为xy第14页，本讲稿共24页挑战自我挑战自我已知抛物线已知抛物线y=ax+bx+cy=ax+bx+c ，当，当a、b、c满足满足什么条件时，什么条件时，(1)抛物线与抛物线与x轴有两个公共点？轴有两个公共点？(2)抛物线与抛物
12、线与x轴只有一个公共点？轴只有一个公共点？(3)抛物线与抛物线与x轴没有公共点？轴没有公共点？b b-4ac-4ac 0 0b b-4ac-4ac0 0b b-4ac=0-4ac=0a 0且且a 0且且a 0且且第15页，本讲稿共24页广角镜广角镜 对于一元二次方程对于一元二次方程 ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，为常数，a0），），由于一元二次方程的根的个数由代数式由于一元二次方程的根的个数由代数式b2-4ac的符号决定，的符号决定，因此把因此把b2-4ac叫做一元二次方程根的叫做一元二次方程根的判别式判别式，通常用希腊，通常用希腊字母字母 表示，即表示，即 =b2-4ac 具体来说
13、，一元二次方程的根有三种情况：具体来说，一元二次方程的根有三种情况：（1）当）当 0时，方程时，方程有两个不相等的实数根；有两个不相等的实数根；（2）当）当 0时，方程时，方程有两个相等的实数根；有两个相等的实数根；（3）当）当 0时，方程时，方程没有实数根。没有实数根。一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式第16页，本讲稿共24页抛物线抛物线y=ax2+bx+c与与x轴有公共点轴有公共点二次方程二次方程ax2+bx+c=0有实根有实根二次方程二次方程ax2+bx+c=0 的根的判别式的根的判别式 0 转化为转化为转化为转化为为化转为化转转化为转化为为化转为化转转化为转化为第17页，本讲
14、稿共24页抛物线抛物线y=ax2+bx+c与与x轴无公共点轴无公共点二次方程二次方程ax2+bx+c=0无实根无实根二次方程二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式的根的判别式 0转化为转化为转化为转化为为化转为化转转化为转化为为化转为化转转化为转化为第18页，本讲稿共24页二次函数二次函数y=ax2+bx+c的的图象图象二次方程二次方程ax2+bx+c=0的根的根二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图的图象与象与x轴的公共点的个轴的公共点的个数数二次方程二次方程ax2+bx+c=0的根的的根的判别式判别式两个公共点两个公共点一个公共点一个公共点没有公共点没有公共点有两个不等实根有两个不等实
15、根有两个相等实根有两个相等实根没有实根没有实根000课堂小结：课堂小结：1、二次函数、二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程的图象与一元二次方程 ax2+bx+c=0的关系。的关系。2、根据二次函数的系数，判断它的图象与、根据二次函数的系数，判断它的图象与x轴的位置关系。轴的位置关系。第19页，本讲稿共24页3、利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。、利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。课堂小结：课堂小结：第20页，本讲稿共24页当堂检测：当堂检测：2、如果关于、如果关于x的一元二次方程的一元二次方程x2-2x+m=0有有两个相等的实数根，则两个相等的实数根，则m=，此时抛
16、物线，此时抛物线y=x2-2x+m与与x轴有轴有 个公共点。个公共点。1、二次方程、二次方程x2+x-6=0的两根为的两根为x1=-3，x2=2，则二次函数则二次函数y=x2+x-6的图象与的图象与x轴公共点的坐标为轴公共点的坐标为 。（-3,0），（），（2,0）11第21页，本讲稿共24页4、用图象法讨论一元二次方程、用图象法讨论一元二次方程 的根的根（精确到（精确到0.1）。）。当堂检测：当堂检测：3、用图象法讨论一元二次方程、用图象法讨论一元二次方程 的根。的根。01.1330.780.70.60.50.120.450.90.8-0.5-0.20 xy17-0.20-0.50.127.
17、37.27.10.780.457.57.41.13xy38计算计算0与与1之间的根：之间的根：计算计算7与与8之间的根：之间的根：分析：分析：第22页，本讲稿共24页作业布置：作业布置：（1）习题）习题5.9 第二题和第三题第二题和第三题（2 2）我们今天所学习的用图象法求一元二次方程的近似解，）我们今天所学习的用图象法求一元二次方程的近似解，利用了数形结合及逼近的数学思想，与数学领域的二分法求方利用了数形结合及逼近的数学思想，与数学领域的二分法求方程近似解类似，课下有兴趣的同学可以上网查阅资料，了解一程近似解类似，课下有兴趣的同学可以上网查阅资料，了解一下什么是二分法？下什么是二分法？第23页，本讲稿共24页第24页，本讲稿共24页