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1、关于函数的周期性与图象对称性第一页，讲稿共十三页哦1函数的周期性函数的周期性对于函数f(x)，如果存在一个不为0的常数T，使得当x取定义域内的 时，有 都成立，那么就把函数yf(x)叫周期函数，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，把这个最小的正数叫 若T是函数yf(x)的一个周期，则nT(nZ)也是f(x)的 任意一个任意一个值值f(xT)f(x)最小正周期最小正周期周期周期注意：定义域两头都是无界注意：定义域两头都是无界 第二页，讲稿共十三页哦若函数若函数 满足如下关系，证明这些函满足如下关系，证明这些函数是否是周期函数，研究它们的周期数是否是周期函数，研究它们的周期.探讨：探讨：第三页
2、，讲稿共十三页哦【例例1】求函数求函数图图像的像的对对称中心称中心.小小结结：一般地，函数：一般地，函数的的对对称中心称中心为为:_.2.函数图像的中心对称：函数图像的中心对称：若若f(a+x)+f(a-x)=2b，则，则f(x)的图象关于点的图象关于点 对称对称 第四页，讲稿共十三页哦3.函数图像的轴对称：函数图像的轴对称：若若f(a+x)=f(a-x)，则，则f(x)的图象关于直线的图象关于直线 对称。对称。【例例2】已知已知是函数是函数的的对对称称轴轴,求求a的的值值.【练习练习1】若函数若函数y=log2|ax-1|的图象关于直线的图象关于直线x=2对称对称,求非零求非零实数实数a的值
3、的值.【练习练习2】已知对一切已知对一切x都有都有f(x)=f(2-x)且方程且方程f(x)=0有有2011个不同的根，求这个不同的根，求这2011个根的和个根的和.第五页，讲稿共十三页哦【例3】设设f(x)是定是定义义在在R上的奇函数，上的奇函数，对对任意任意xR，恒有恒有f(x2)f(x)，且当，且当x0,2时时，f(x)2xx2.(1)求求证证：f(x)是周期函数；是周期函数；(2)计计算算f(0)f(1)f(2)f(2009)f(2010)第六页，讲稿共十三页哦【证证明】明】(1)f(x(1)f(x2)2)f(x)f(x)，f(xf(x4)4)f(xf(x2)2)f(x)f(x)f(x
4、)f(x)是周期是周期为为4 4的周期函数的周期函数(2)(2)由由f(x)f(x)是周期是周期为为4 4的周期函数，的周期函数，f(0)f(0)f(1)f(1)f(2)f(2)f(3)f(3)f(4)f(4)f(5)f(5)f(6)f(6)f(7)f(7)f(2 004)f(2 004)f(2 005)f(2 005)f(2 006)f(2 006)f(2 007)f(2 007)第七页，讲稿共十三页哦又又x0,2x0,2时时，f(x)f(x)2x2xx x2 2，f(0)f(0)0 0，f(1)f(1)1 1，f(2)f(2)0 0，且，且f(3)f(3)f(f(1)1)f(x)f(x)是
5、奇函数，是奇函数，f(3)f(3)f(1)f(1)1 1，f(0)f(0)f(1)f(1)f(2)f(2)f(3)f(3)0 0，又又f(2 008)f(2 008)f(0)f(0)0 0，f(2 009)f(2 009)f(1)f(1)1 1，f(2 010)f(2 010)f(2)f(2)0.0.因此因此f(0)f(0)f(1)f(1)f(2)f(2)f(2 008)f(2 008)f(2 009)f(2 009)f(2 f(2 010)010)f(2 008)f(2 008)f(2 009)f(2 009)f(2 010)f(2 010)1.1.第八页，讲稿共十三页哦4.对称性与周期性的
6、关系对称性与周期性的关系 一般地一般地:若若x=a,x=b(ab)是函数是函数f(x)的两条对称轴的两条对称轴,则则f(x)为为周期函数且周期函数且2|a-b|为它的一个周期为它的一个周期.一般地一般地:若若(a,0),(b,0)(ab)是函数是函数f(x)的两个对称中心的两个对称中心,则则f(x)为周期函数且为周期函数且2|a-b|为它的一个周期为它的一个周期.一般地一般地:若若x=a和和(b,0)(ab)分别是函数分别是函数f(x)的一条对称轴和的一条对称轴和一个对称中心一个对称中心,则则f(x)为周期函数且为周期函数且4|a-b|为它的一个周期为它的一个周期.(结论不需记，以三角函数结论
7、不需记，以三角函数y=sinx为模型加以理解为模型加以理解)第九页，讲稿共十三页哦【例例4】已知函数已知函数f(x)是是(，)上的偶函数，若上的偶函数，若对对于于x0，都有，都有f(x2)f(x)，且当，且当x0,2)时时，f(x)log2(x1)，则则f(2008)f(2009)的的值为值为()A2 B1 C1 D2第十页，讲稿共十三页哦【解解】f(x)是偶函数，f(2 008)f(2 008)，当x0时，f(x2)f(x)，函数f(x)的周期为2，则f(2 009)f(1)又x0,2)时，f(x)log2(x1)因此f(2 008)f(2 009)f(2 008)f(1)f(0)f(1)l
8、og21log221.【答案答案】C思思维维启迪启迪 紧紧抓住题目的条件关系奇偶性与周期性，这是解题的关键，并注意体会本题中转化化归思想的运用。点点拨拨当x0,2)时，f(x)已知，欲求f(2 008)f(2 009)的值，只需转化到已知的区间0,2)上，利用函数的周期性和奇偶性，问题可解第十一页，讲稿共十三页哦【练习练习】设奇函数设奇函数f(x)的定义域为的定义域为R且且f(x+2)=f(-x),当当x4,6时时f(x)=2x+1,求求f(x)在区间在区间-2,0上的解析式上的解析式.求求f(2011)的值的值.第十二页，讲稿共十三页哦感感谢谢大大家家观观看看4/1/2023第十三页，讲稿共十三页哦