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1、关于函数的周期性与图象对称性现在学习的是第1页，共13页1函数的周期性函数的周期性对于函数f(x)，如果存在一个不为0的常数T，使得当x取定义域内的 时，有 都成立，那么就把函数yf(x)叫周期函数，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，把这个最小的正数叫 若T是函数yf(x)的一个周期，则nT(nZ)也是f(x)的 任意一个值任意一个值f(xT)f(x)最小正周期最小正周期周期周期注意：定义域两头都是无界注意：定义域两头都是无界 现在学习的是第2页，共13页若函数若函数 满足如下关系，证明这些函数满足如下关系，证明这些函数是否是周期函数，研究它们的周期是否是周期函数，研究它们的周期.探讨：
2、探讨：)(xfy )()() 1 (xfTxf)(1)()(1)()2(xfTxfxfTxf或现在学习的是第3页，共13页【例例1】求函数求函数212xyx图像的对称中心图像的对称中心. axbycxd(0)c 小结：一般地，函数小结：一般地，函数的对称中心为的对称中心为:_. 2.函数图像的中心对称：函数图像的中心对称： 若若f(a+x)+f(a-x)=2b，则，则f(x)的图象关于点的图象关于点 ()()2(, )axaxAb对称对称 现在学习的是第4页，共13页3.函数图像的轴对称：函数图像的轴对称：若若f(a+x)=f(a-x)，则，则f(x)的图象关于直线的图象关于直线 ()()2a
3、xaxx对称。对称。4xsincosyxax【例例2】已知已知是函数是函数的对称轴的对称轴,求求a的值的值. 【练习练习1】若函数若函数y=log2|ax-1|的图象关于直线的图象关于直线x=2对称对称,求非零求非零实数实数a的值的值. 【练习练习2】已知对一切已知对一切x都有都有f(x)=f(2-x)且方程且方程f(x)=0有有2011个不同的根，求这个不同的根，求这2011个根的和个根的和. 现在学习的是第5页，共13页【例3】设设f(x)是定义在是定义在R上的奇函数，对任意上的奇函数，对任意xR，恒有恒有f(x2)f(x)，且当，且当x0,2时，时，f(x)2xx2.(1)求证：求证：f
4、(x)是周期函数；是周期函数；(2)计算计算f(0)f(1)f(2)f(2009)f(2010)现在学习的是第6页，共13页【证明】【证明】(1)f(x(1)f(x2)2)f(x)f(x)，f(xf(x4)4)f(xf(x2)2)f(x)f(x)f(x)f(x)是周期为是周期为4 4的周期函数的周期函数(2)(2)由由f(x)f(x)是周期为是周期为4 4的周期函数，的周期函数，f(0)f(0)f(1)f(1)f(2)f(2)f(3)f(3)f(4)f(4)f(5)f(5)f(6)f(6)f(7)f(7)f(2 004)f(2 004)f(2 005)f(2 005)f(2 006)f(2 0
5、06)f(2 007)f(2 007)现在学习的是第7页，共13页又又x0,2x0,2时，时，f(x)f(x)2x2xx x2 2，f(0)f(0)0 0，f(1)f(1)1 1，f(2)f(2)0 0，且，且f(3)f(3)f(f(1)1)f(x)f(x)是奇函数，是奇函数，f(3)f(3)f(1)f(1)1 1，f(0)f(0)f(1)f(1)f(2)f(2)f(3)f(3)0 0，又又f(2 008)f(2 008)f(0)f(0)0 0，f(2 009)f(2 009)f(1)f(1)1 1，f(2 010)f(2 010)f(2)f(2)0.0.因此因此f(0)f(0)f(1)f(1
6、)f(2)f(2)f(2 008)f(2 008)f(2 009)f(2 009)f(2 f(2 010)010)f(2 008)f(2 008)f(2 009)f(2 009)f(2 010)f(2 010)1.1.现在学习的是第8页，共13页4.对称性与周期性的关系对称性与周期性的关系 一般地一般地:若若x=a,x=b(ab)是函数是函数f(x)的两条对称轴的两条对称轴,则则f(x)为周期函数且为周期函数且2|a-b|为它的一个周期为它的一个周期.一般地一般地:若若(a,0),(b,0)(ab)是函数是函数f(x)的两个对称中心的两个对称中心,则则f(x)为周期函数且为周期函数且2|a-b
7、|为它的一个周期为它的一个周期. 一般地一般地: 若若x=a和和(b,0)(ab)分别是函数分别是函数f(x)的一条对称轴和的一条对称轴和一个对称中心一个对称中心,则则f(x)为周期函数且为周期函数且4|a-b|为它的一个周期为它的一个周期. (结论不需记，以三角函数结论不需记，以三角函数y=sinx为模型加以理解为模型加以理解)现在学习的是第9页，共13页【例例4】已知函数已知函数f(x)是是(，)上的偶函数，若对于上的偶函数，若对于x0，都有，都有f(x2)f(x)，且当，且当x0,2)时，时，f(x)log2(x1)，则，则f(2008)f(2009)的值为的值为()A2 B1 C1 D
8、2现在学习的是第10页，共13页【解解】f(x)是偶函数，f(2 008)f(2 008)，当x0时，f(x2)f(x)，函数f(x)的周期为2，则f(2 009)f(1)又x0,2)时，f(x)log2(x1)因此f(2 008)f(2 009)f(2 008)f(1)f(0)f(1)log21log221.【答案答案】C思维启迪思维启迪 紧紧抓住题目的条件关系奇偶性与周期性，这是解题的关键，并注意体会本题中转化化归思想的运用。 点拨点拨当x0,2)时，f(x)已知，欲求f(2 008)f(2 009)的值，只需转化到已知的区间0,2)上，利用函数的周期性和奇偶性，问题可解现在学习的是第11页，共13页【练习练习】设奇函数设奇函数f(x)的定义域为的定义域为R且且f(x+2)=f(-x),当当x4,6时时f(x)=2x+1,求求f(x)在区间在区间-2,0上的解析式上的解析式.求求f(2011)的值的值. 现在学习的是第12页，共13页感谢大家观看8/21/2022现在学习的是第13页，共13页