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1、多元线性回归方法及其应用实例现在学习的是第1页，共47页主要内容n多元线性回归模型的一般形式 n参数估计（OLS估计）n假设检验n预测现在学习的是第2页，共47页一.多元线性回归模型n问题的提出n解析形式n矩阵形式现在学习的是第3页，共47页问题的提出n现实生活中引起被解释变量变化的因素并非仅只一个解释变量，可能有很多个解释变量。n例如，产出往往受各种投入要素资本、劳动、技术等的影响；销售额往往受价格和公司对广告费的投入的影响等。n所以在一元线性模型的基础上，提出多元线性模型解释变量个数 2现在学习的是第4页，共47页多元线性回归模型的假设n解释变量 Xi 是确定性变量，不是随机变量；解释变量
2、之间互不相关，即无多重共线性。n随机误差项具有0均值和同方差n随机误差项不存在序列相关关系n随机误差项与解释变量之间不相关n随机误差项服从0均值、同方差的正态分布现在学习的是第5页，共47页多元模型的解析表达式现在学习的是第6页，共47页多元模型的矩阵表达式现在学习的是第7页，共47页矩阵形式现在学习的是第8页，共47页二.参数估计(OLS)n参数值估计n参数估计量的性质n偏回归系数的含义n正规方程n样本容量问题现在学习的是第9页，共47页1.参数值估计(OLS)现在学习的是第10页，共47页得到下列方程组求参数估计值的实质是求一个k+1元方程组现在学习的是第11页，共47页正规方程正规方程变
3、成矩阵形式现在学习的是第12页，共47页正规方程正规方程矩阵形式现在学习的是第13页，共47页最小二乘法的矩阵表示现在学习的是第14页，共47页2.1最小二乘估计量的性质n（1）线性（估计量都是被解释变量观测值的线性组合）n（2）无偏性（估计量的数学期望=被估计的真值）n（3）有效性（估计量的方差是所有线性无偏估计中最小的）现在学习的是第15页，共47页OLS估计量的性质（续）现在学习的是第16页，共47页线性现在学习的是第17页，共47页无偏性现在学习的是第18页，共47页有效性现在学习的是第19页，共47页2.2 OLS回归线的性质n完全同一元情形：现在学习的是第20页，共47页2.3 随
4、机扰动项方差的估计现在学习的是第21页，共47页注解：k与k+1n凡是按解释变量的个数为k的，那么共有k+1个参数要估计。而按参数个数为k的，则实际有k-1个解释变量。总之两者相差1而已！要小心所用的k是什么意思！n所以如果本来是用解释变量个数的k表示的要转换成参数个数的k则用k-1代换原来的k就可以了！现在学习的是第22页，共47页3.偏回归系数的意义n多元回归模型中的回归系数称为偏回归系数n某解释变量前回归系数的含义是，在其他解释变量保持不变的条件下，该变量变化一个单位，被解释变量将平均发生偏回归系数大小的变动现在学习的是第23页，共47页4.正规方程n由最小二乘法得到的用以估计回归系数的
5、线性方程组，称为正规方程现在学习的是第24页，共47页正规方程的结构nY 被解释变量观测值 n x 1nX 解释变量观测值（含虚拟变量n x(k+1)）nXX 设计矩阵（实对称(k+1)x(k+1)矩阵）nXY 正规方程右端 n x 1n 回归系数矩阵（(k+1)x 1）n 高斯乘数矩阵，设计矩阵的逆n 残差向量（n x 1）n 被解释变量的拟合（预测）向量 n x 1现在学习的是第25页，共47页5.多元回归模型参数估计中的样本容量问题n样本是一个重要的实际问题，模型依赖于实际样本。n获取样本需要成本，企图通过样本容量的确定减轻收集数据的困难。n最小样本容量：满足基本要求的样本容量现在学习的
6、是第26页，共47页最小样本容量 n k+1n(XX)-1存在|XX|0 XX 为k+1阶的满秩阵nR(AB)min(R(A),R(B)nR(X)k+1n因此，必须有nk+1现在学习的是第27页，共47页满足基本要求的样本容量n一般经验认为：nn 30或者n 3(k+1)才能满足模型估计的基本要求。nn 3(k+1)时，t分布才稳定，检验才较为有效现在学习的是第28页，共47页第三节 多元线性回归模型的检验n本节主要介绍：n3.1 拟合优度检验（判定系数及其校正）n3.2 回归参数的显著性检验（t检验）n3.3 回归方程的显著性检验（F检验）n3.4 拟合优度、t检验、F检验的关系现在学习的是
7、第29页，共47页3.1.1 拟合优度检验 总平方和、自由度的分解n目的：构造一个不含单位，可以相互比较，而且能直观判断拟合优劣的指标。n类似于一元情形，先将多元线性回归作如下平方和分解：现在学习的是第30页，共47页对以上自由度的分解的说明现在学习的是第31页，共47页3.1.2 判定系数n判定系数的定义：n意义：判定系数越大，自变量对因变量的解释程度越高，自变量引起的变动占总变动的百分比高。观察点在回归直线附近越密集。n取值范围：0-1现在学习的是第32页，共47页3.1.3 校正判定系数n为什么要校正？n判定系数随解释变量个数的增加而增大。易造成错觉：要模型拟合得越好，就应增加解释变量。
8、然而增加解释变量会降低自由度，减少可用的样本数。并且有时增加解释变量是不必要的。n导致解释变量个数不同模型之间对比困难。n判定系数只涉及平方和，没有考虑自由度。n校正思路：引进自由度校正所计算的平方和。现在学习的是第33页，共47页校正判定系数 （续）现在学习的是第34页，共47页3.2 回归参数的显著性检验 t检验现在学习的是第35页，共47页以下给出t-检验的具体过程现在学习的是第36页，共47页3.3 回归方程的显著性检验 （F检验）n 回归系数的t检验，检验了各个解释变量Xj单独对应变量Y是否显著；我们还需要检验：所有解释变量联合在一起，是否对应变量Y也显著？n这即是下面所要进行的F-
9、检验。现在学习的是第37页，共47页3.3.1 方差分析表以下用表格的形式列出平方和、自由度、方差平方和来源平方和自由度均方和源于回归K-1源于残差n-k总平方和n-1现在学习的是第38页，共47页3.3.2 F检验（单侧检验）现在学习的是第39页，共47页3.4 各种检验之间的关系n3.4.1 经济意义检验和其他检验的关系联系：判断一个回归模型是否正确，首先要看模型是否具有合理的经济意义，其次才是统计检验。现在学习的是第40页，共47页3.4.2 拟合优度和F检验的关系（1）都是对回归方程的显著性检验；（2）都是把总平方和分解，以构成统计量进行检验；（3）两者同增同减，具有一致性。现在学习的
10、是第41页，共47页拟合优度和F检验的关系（续）n区别：（1）F检验中使用的统计量有精确的分布，而拟合优度检验没有；（2）对是否通过检验，判定系数（校正判定系数）只能给出一个模糊的推测；而F检验可以在给定显著水平下，给出统计上的严格结论；现在学习的是第42页，共47页3.4.2 F检验和t检验的关系n在一元的情形，两者是一致的，等价的。对单个解释变量显著性进行t检验，也就检验了解释变量的整体显著性（F检验）；并且可以证明：Ft2（所以在一元情形，只需要进行一种检验）n多元中，不存在以上关系。现在学习的是第43页，共47页回归模型假设检验的步骤n查看拟合优度，进行F检验，从整体上判断回归方程是否成立，如果F检验通不过，无须进行下一步；否则进行下一步n查看各个变量的t值及其相应的概率，进行t检验，如果相应的概率小于给定的显著水平，该自变量的系数显著地不为0，该自变量对因变量作用显著；否则系数与0无显著差异（本质上=0），该自变量对因变量无显著的作用，应从方程中删去，重新估计方程。n但是，一次只能将最不显著（相应概率最大）的删除。每次删除一个，直至全部显著。现在学习的是第44页，共47页3.5多元线性回归模型的预测现在学习的是第45页，共47页举例：新股发行抑价的实证研究现在学习的是第46页，共47页现在学习的是第47页，共47页