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1、高等数学函数极限连续现在学习的是第1页，共59页一、一、集合及其运算（自己复习）集合及其运算（自己复习）二、实数的完备性和确界存在定理二、实数的完备性和确界存在定理 （去掉，可以不看）（去掉，可以不看）实数集实数集 R 和实数轴上的所有点一一对应和实数轴上的所有点一一对应现在学习的是第2页，共59页设 X,Y 是两个非空集合,若存在一个对应规则 f,使得有唯一确定的与之对应,则称 f 为从 X 到 Y 的映射映射,记作 y 称为 x 在映射 f 下的像像,记作 x 称为 y 在映射 f 下的原像原像.集合 X 称为映射 f 的定义域定义域;Y 的子集称为 f 的 值域值域.注注:元素 x 的像
2、 y 是唯一的,但 y 的原像不一定唯一.1、定义、定义4.三、三、映射和函数映射和函数现在学习的是第3页，共59页对映射若,则称 f 为满射满射;若有 则称 f 为单射单射;若 f 既是满射又是单射,则称 f 为双射双射 或一一映射一一映射.现在学习的是第4页，共59页定义域定义定义5.设数集则称映射为定义在D 上的函数,记为称为值域.自变量因变量现在学习的是第5页，共59页 定义域定义域使表达式或实际问题有意义的自变量集合.对实际问题,书写函数时必须写出定义域；基本初等函数：基本初等函数：常数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数，反三角函数.非基本初等函数：非基本初等函数：分段函数等.1
3、、狄利克雷函数例如：x 为有理数x 为无理数现在学习的是第6页，共59页3、符号函数2、取整函数当现在学习的是第7页，共59页2.函数的几种特性函数的几种特性(1)有界性有界性 (2)单调性单调性(3)奇偶性奇偶性(4)周期性周期性注注:周期函数不一定存在最小正周期.例如例如,常量函数现在学习的是第8页，共59页则设有函数链称为由,确定的复合函数,u 称为中间变量.注意:构成复合函数的条件 不可少.例如,函数链:可定义复合函数3.复合函数复合函数约定约定:为简单计,书写复合函数时不一定写出其定义域,默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件.现在学习的是第9页，共59页若函数为单射,则存在一新
4、映射习惯上,的反函数记成称此映射为 f 的反函数.其反函数(减),(减).1)（反函数存在定理）yf(x)严格单调递增且也严格单调递增 性质:使其中4.反函数反函数现在学习的是第10页，共59页2)函数与其反函数的图形关于直线对称.现在学习的是第11页，共59页常数及基本初等函数的函数,经过有限次四则运算和复合运算所构成称为初等函数.5.初等函数初等函数现在学习的是第12页，共59页1.集合及其运算3.函数及其特性有界性,单调性,奇偶性,周期性,反函数,复合函数.4.初等函数.2.实数的完备性和确界存在定理第二节 内容小结内容小结现在学习的是第13页，共59页如果按照某一法则如果按照某一法则,
5、对每一对每一对应着一个对应着一个确定的实数确定的实数则得到一个序列则得到一个序列这一序列称为这一序列称为数列数列,记为记为叫做数列的叫做数列的通项通项数列举例数列举例:注：注：数列数列 可以看作自变量为正整数可以看作自变量为正整数 的函数的函数:四、数列的极限四、数列的极限 现在学习的是第14页，共59页数列的极限数列的极限观察数列观察数列的变化趋势。的变化趋势。现在学习的是第15页，共59页数列的极限数列的极限观察数列观察数列的变化趋势。的变化趋势。现在学习的是第16页，共59页数列的极限数列的极限观察数列观察数列的变化趋势。的变化趋势。现在学习的是第17页，共59页数列的极限数列的极限观察
6、数列观察数列的变化趋势。的变化趋势。现在学习的是第18页，共59页数列的极限数列的极限观察数列观察数列的变化趋势。的变化趋势。现在学习的是第19页，共59页数列的极限数列的极限观察数列观察数列的变化趋势。的变化趋势。现在学习的是第20页，共59页数列的极限数列的极限观察数列观察数列的变化趋势。的变化趋势。现在学习的是第21页，共59页数列的极限数列的极限观察数列观察数列的变化趋势。的变化趋势。现在学习的是第22页，共59页数列的极限数列的极限观察数列观察数列的变化趋势。的变化趋势。现在学习的是第23页，共59页数列的极限数列的极限观察数列观察数列的变化趋势。的变化趋势。现在学习的是第24页，共
7、59页通过演示实验的观察通过演示实验的观察:当当无限增大时，无限增大时，无限接近于无限接近于数列的极限数列的极限观察数列观察数列的变化趋势。的变化趋势。现在学习的是第25页，共59页例如例如数列极限的通俗定义数列极限的通俗定义问题问题:如何用数学语言刻画它？如何用数学语言刻画它？当当无限增大时，无限增大时，如果数列如果数列的一般项的一般项无限无限接近于常数接近于常数则称常数则称常数是数列是数列的的极限极限 或者或者称称记为记为趋势不定趋势不定收敛收敛于于数列数列“当当 无限增大时，无限增大时，无限接近于无限接近于”现在学习的是第26页，共59页数列数列极限的精确定义极限的精确定义如果存在常数如
8、果存在常数对于任意给定对于任意给定总存在正整数总存在正整数使得当使得当 时时 总有总有成立成立 则称常数则称常数是数列是数列的的极限极限 或者称数列或者称数列收敛收敛于于记为记为极限定义的简记形式极限定义的简记形式设设为一数列为一数列 或或当当 时时 的正数的正数现在学习的是第27页，共59页aa-e-ea+e e()当当 时时 现在学习的是第28页，共59页 例例1 1 证明：证明：证明：证明：要使要使只需要只需要于是，于是，当当时，时，即即取取当当 时时 现在学习的是第29页，共59页收敛数列的性质收敛数列的性质定理定理 2.1 收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.定理定理 2.2 收敛
9、数列一定有界收敛数列一定有界.注：注：1.1.有界的数列是否一定收敛?2 数列 的有界性与收敛如何？现在学习的是第30页，共59页则则定理定理 2.3 设例例.求求解：解：由于根据有理运算法则得现在学习的是第31页，共59页32例例.求求解：解：因为根据有理运算法则得现在学习的是第32页，共59页定理定理 2.4 收敛数列具有保号收敛数列具有保号性性.若且有推论推论:若数列从某项起推论推论 (保序性保序性)设若使得恒有则现在学习的是第33页，共59页定理定理2.5 (夹逼性夹逼性)设若使得恒有则现在学习的是第34页，共59页单调增加单调增加单调减少单调减少单调数列单调数列数列收敛性的判别准则数
10、列收敛性的判别准则 单调递增有上界的数列收敛于其上确界；单调递增有上界的数列收敛于其上确界；单调递减有下界的数列收敛于其下确界。单调递减有下界的数列收敛于其下确界。注：注：现在学习的是第35页，共59页 1 1 如果数列的两个子数列存在极限,但其极限不同,那么原数列的极限是否存在?注：注：2 现在又如何判断数列 发散？定理2.7（归并原理）的充要条件是的每个子列都有现在学习的是第36页，共59页 数列的任一收敛子列的极限称为该数列的极限点，极限点，极限点又称极限点又称聚点。聚点。定理定理2.8（Weierstrass定理定理-聚点定理聚点定理）有界数列必有收敛子列。有界数列必有收敛子列。定理定
11、理2.9（CauchyCauchy收敛原理）收敛原理）数列极限存在的充要条件是:存在正整数 N,使当时,有这种数列称为Cauchy列或基本数列。该条件称为Cauchy条件。现在学习的是第37页，共59页内容小结内容小结1.数列极限的“N”定义及应用2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;任一子数列收敛于同一极限3.极限存在准则:夹逼准则;单调有界准则;柯西准则现在学习的是第38页，共59页39P39 10偶数题,11(1)(2)作作 业业现在学习的是第39页，共59页五、函数的极限五、函数的极限是当是当它与函数满足下列关系：自变量无限趋大时的函数极限如果存在常数设是任一函数那么称恒有使得定
12、义3.1（时的函数的极限）极限存在或有极限极限存在或有极限.时时的的极限极限,记作记作或或时时此时又称当此时又称当现在学习的是第40页，共59页时时,函数函数当当的极限可类似的定义.与当时时,函数函数的极限的极限当当当时,有时,有时,有现在学习的是第41页，共59页不难证明几何解释几何解释:现在学习的是第42页，共59页例例 证明证证:故取当时,就有因此现在学习的是第43页，共59页定义定义3.2 设函数在点的某去心邻域内有定义,当时,有则称常数 A 为函数当时的极限,或若记作几何解释几何解释:自变量趋于有限时函数的极限 现在学习的是第44页，共59页例例 证明证证:欲使取则当时,就有因此只要
13、现在学习的是第45页，共59页定义定义 设函数是常数），若时为当或它与满足下列关系：使得则称的左极限，记作：存在常数恒有单侧极限单侧极限 类似地定义：类似地定义：的右极限.时函数显然，现在学习的是第46页，共59页使得当使得当恒有恒有称之为称之为时时的极限为无穷大，的极限为无穷大，记作记作如果如果类似的可以定义及时的无穷大。现在学习的是第47页，共59页函数极限的归并原理函数极限的归并原理定理定理3.1 Heine定理定理设为一函数，则注:此定理只能用来证明极限不存在。对于中的任何数列为有限或无穷).敛于当时，相应的函数值数列都收中的任何数列注:此定理只能用来证明极限不存在。当证明极限存在时，
14、此定理绝对不能用。因为 有无穷多个，我们无法验证所有的数列都满足此定理。现在学习的是第48页，共59页例例 证明：证明：不存在。不存在。现在学习的是第49页，共59页 函数极限的性质函数极限的性质定理定理3.2 设则(1)唯一性唯一性.时，当处是局部有界的，即在的极限是唯一的.(2)局部有界性局部有界性.使得恒有现在学习的是第50页，共59页定理定理3.3 若(2)局部保序性局部保序性.若 使得(3)夹逼性夹逼性.(1)局部保号性局部保号性.则使得若都与a 同号.若则恒有使得都有且a b,则现在学习的是第51页，共59页定理定理 3.4(有理运算法则)其中设定理定理 3.5(复合运算法则)设则
15、(3)(1)(2)是由复合而成，与复合函数中，若定义在都有并且则使得现在学习的是第52页，共59页例例 求解解:例例 求求解解:例例 求求解解:现在学习的是第53页，共59页六、两个重要极限六、两个重要极限 注 2.现在学习的是第54页，共59页例例 求解解:例例 求解解:原式=现在学习的是第55页，共59页例例 求解解:例例 求解：令 则当故时，现在学习的是第56页，共59页注注.两个重要极限或注注:代表相同的表达式思考与练习思考与练习现在学习的是第57页，共59页例例 求解解:原式=现在学习的是第58页，共59页 函数极限的存在准则函数极限的存在准则确界定义确界定义设有函数设有函数若其值域上的上(下)确界，记作有上是的上(下)界(下)界，则称 f在A上有上(下)界，并称在A上的上(下)界，称的上(下)确界是 f 在 A如果如果 f 在在A上既有上界又有下界，则称上既有上界又有下界，则称 f 在在A 上上有界.现在学习的是第59页，共59页