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1、（一）函数的定义（一）函数的定义（二）极限的概念（二）极限的概念（三）连续的概念（三）连续的概念 第一章第一章 主要内容主要内容函函 数数的定义的定义反函数反函数隐函数隐函数反函数与直接反函数与直接函数之间关系函数之间关系基本初等函数基本初等函数复合函数复合函数初等函数初等函数函函 数数的性质的性质奇偶性奇偶性单调性单调性有界性有界性周期性周期性1 1、函数的定义、函数的定义记作记作的函数，的函数，是是对应，则称对应，则称则总有确定的数值和它则总有确定的数值和它按照一定法按照一定法，变量，变量集如果对于每个数集如果对于每个数是一个给定的数是一个给定的数是两个变量，是两个变量，和和设设定义定义)
2、(xfyxyyDxDyx 叫做因变量叫做因变量叫做自变量，叫做自变量，叫做这个函数的定义域叫做这个函数的定义域数集数集yxD.),(称为函数的值域称为函数的值域函数值全体组成的数集函数值全体组成的数集DxxfyyW 函数的两要素函数的两要素: :定义域定义域与与对应法则对应法则.()0 x)(0 xf自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则 fxyDW辨别下列各对函数是否相同,为什么?23.( )( )fxtxt与 g2.( )( )fxxxx与 g1 .()1()xfxxx与 g不同不同,定义域不同定义域不同 不同不同,对应关系不同对应关系不同 相同相同,定义域和对应关系定义域和对应关系都相
3、同都相同函数的定义域函数的定义域在实际问题中，函数的定义域由问题的实际意义确定。在实际问题中，函数的定义域由问题的实际意义确定。 用解析式表示的函数，其定义域是自变量所能取的用解析式表示的函数，其定义域是自变量所能取的使解析式有意义的一切实数，通常要考虑以下几点：使解析式有意义的一切实数，通常要考虑以下几点：(6)如果函数表达式是由几个数学式子组合而成， 则其定义域应取各部分定义域的交集。(1)在分式中，分母不能为零；(2)在根式中，负数不能开偶次方根； (3)在对数式中，真数必须大于零； (5) y=arcsinx和y=arccosx中,x-1,1(4)tan(),2xxkkZ在三角函数式y
4、中，cot()yxxkkZ中，例：求下列函数的定义域 1(1)(1)(4)yxx1(2)11yxx 即1040 xx所以定义域为(-,-4) (-4,1)(1,+ )即1010 xx 解得11xx 所以定义域为-1,1) (1,+)(2)要使函数有意义,必须有 且有10 x 10 x 解:(1)要使函数有意义，必须有分母(1)(4)0 xx取其公共部分1,1xx 14xx 解所以定义域为(-3,+)(4)要使函数有意义,必须有 101xx所以定义域为(-1,1)B. (3) (4)1lg1xyxln(3)yx(3)要使函数有意义，必须有30 x解得3x 10101010 xxxx或101011
5、,1010 xxxxx 解得解得无解练习：练习：P9 2 3例. 设 ,求下列函数值 32xfxx解: 033(0)022f 0003()2xf xx23(2 )22afaa解:22222(1)32(1)(1)23bbf bbb解： 1 3437 ( 1)( 4)12422f fff 3332912 ( )()3231322xxxxf f xfxxxxx 0(0),(3),()fff x1）2(2 ),(1)faf b 2） ( 1), ( )f ff f x3）33(3)032f(1) 函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数奇函数奇函数有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD ;)(
6、)()(为偶函数为偶函数称称xfxfxf ;)()()(为奇函数为奇函数称称xfxfxf yxoxyoxy 3xy 2 2、函数的性质、函数的性质(2) 函数的单调性函数的单调性: 设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为D，区间，区间I D，如果对于区间，如果对于区间I上上任意两点任意两点 及及 ，当，当 时，恒有：时，恒有： (1) ,则称函数则称函数 在区间在区间I上是上是单调增加的单调增加的；或或(2) , 则称函数则称函数 在区间在区间I上是上是单调递减的单调递减的；单调增加和单调减少的函数统称为单调增加和单调减少的函数统称为单调函数单调函数。1x2x21xx )()()()(212
7、1xfxfxfxf)(xf)(xfxyo2xy ;0时为减函数时为减函数当当 x;0时为增函数时为增函数当当 x.)(,)(, 0,否则称无界否则称无界上有界上有界在在则称函数则称函数成立成立有有若若XxfMxfXxMDX (3) 函数的有界性函数的有界性:;), 0()0 ,(上无界上无界及及在在.), 11,(上有界上有界及及在在 xyoxy1 11 设函数设函数 f(x) 的定义域为的定义域为D，如果存在一个不为零的，如果存在一个不为零的数数l,使得对于任一使得对于任一 ,有有 .且且 f(x+l)=f(x)恒成立恒成立,则称则称f(x)为为周期函数周期函数,l 称为称为 f(x) 的的
8、周期周期.（通（通常说周期函数的周期是指其最小正常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.Dx Dlx )(4) 函数的周期性函数的周期性:oyx11xxy 1 T)(xfy xyo),(xxf)(,(xfx)(1xfy 说明：反函数与直接函数之间的关系说明：反函数与直接函数之间的关系则则函数函数是一一对应是一一对应设函数设函数,)(xf fDxxxffxff )()(111 .)()(21xyxfyxfy 图象对称于直线图象对称于直线的的与与3 3、反函数、反函数.)()(1称为反函数称为反函数确定的确定的由由xfyxfy 6 6、基本初等函数、基本初等函数1）幂函数幂函数)( 是常数是常数
9、 xy2）指数函数）指数函数)1, 0( aaayx3）对数函数）对数函数)1, 0(log aaxya4）三角函数）三角函数;cos xy ;sin xy 5）反三角函数）反三角函数;arccos xy ;arcsin xy ;cot xy ;tan xy ;arctan xy ycotarcx1.幂函数幂函数)( 是常数是常数 xyoxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy 2.指数函数指数函数)1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0( xey 3.对数函数对数函数)1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 ,
10、1( 4.三角函数三角函数正弦函数正弦函数xysin xysin xycos xycos 余弦函数余弦函数正切函数正切函数xytan xytan xycot 余切函数余切函数xycot 5.反三角函数反三角函数xyarcsin xyarcsin 反反正正弦弦函函数数xyarccos xyarccos 反反余余弦弦函函数数xyarctan xyarctan 反正切函数反正切函数 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三角函数和反三角函数统称为三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.xycot 反余切函数反余切函数arcxycot arc7 7、复合函数、复合函数设设函函数
11、数)(ufy 的的定定义义域域fD,而而函函数数)(xu 的的 值值 域域 为为 Z, 若若 ZDf, 则则 称称 函函 数数)(xfy 为为x的的复复合合函函数数.8 8、初等函数、初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示一个式子表示的函数的函数,称为称为初等函数初等函数.练习：练习：P10 11左右极限左右极限两个重要两个重要极限极限求极限的常用方法求极限的常用方法无穷小无穷小的性质的性质极限存在的极限存在的充要条件充要条件判定极限判定极限存在的准则存在的准则无穷小的
12、比较无穷小的比较极限的性质极限的性质数列极限数列极限函函 数数 极极 限限axnn limAxfxx )(lim0Axfx )(lim等价无穷小等价无穷小及其性质及其性质唯一性唯一性无穷小无穷小0)(lim xf两者的两者的关系关系无穷大无穷大 )(limxf定义定义 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 (不论它多么不论它多么小小),总存在正数总存在正数N,使得对于使得对于Nn 时的一切时的一切nx,不不等式等式 axn都成立都成立,那末就称常数那末就称常数a是数列是数列nx的极限的极限,或者称数列或者称数列nx收敛于收敛于a,记为记为 ,limaxnn 或或).( naxn., 0
13、, 0 axNnNn恒有恒有时时使使1 1、极限、极限定义定义N 定义定义 2 2 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 ( (不论它多么小不论它多么小),),总存在正数总存在正数 , ,使得对于适合不等式使得对于适合不等式 00 xx的的一切一切x, ,对应的函数值对应的函数值)(xf都满足不等式都满足不等式 Axf)(, ,那末常数那末常数A就叫函数就叫函数)(xf当当0 xx 时的极限时的极限, ,记作记作)()()(lim00 xxAxfAxfxx 当当或或定义定义 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒有恒有时时使当使当左极限左极限右极限右极限.)0()(lim0)(000A
14、xfAxfxxxx 或或记作记作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记作记作,0 xx从左侧无限趋近从左侧无限趋近; 00 xx记作记作,0 xx从右侧无限趋近从右侧无限趋近; 00 xx记作记作)(0 xx 函数的极限与左、右极限有如下关系：函数的极限与左、右极限有如下关系： 0lim( )xxf xA 00lim( )lim( )xxxxf xf xA2.2.常用来判断分段函数在分段点的极限是否存在常用来判断分段函数在分段点的极限是否存在 例例 判断函数判断函数 1cos,0( )sin,0 xxf xxx 在在 点处是否有极限点处是否有极限. . 0 x 00lim(
15、 )lim(1cos )0 xxf xx 解解: 00lim( )lim sin0 xxf xx 00lim( )lim( )0 xxf xf x 因为因为0lim( )0 xf x 所以所以说明：说明：1.1.左极限与右极限中只要有一个不存在，或者左极限与右极限中只要有一个不存在，或者 都存在但不相等，则函数的极限不存在。都存在但不相等，则函数的极限不存在。.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定理定理.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定理定理yx11 oxxxxxx 00limlim左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在不存在xf
16、x证证1)1(lim0 xxxxxxx00limlim 11lim0 x习题：习题：P18 30lim.xxx证明不存在定理定理( (唯一性定理唯一性定理) ) 如果函数在某一变化过程中如果函数在某一变化过程中 有极限，则其极限是唯一的有极限，则其极限是唯一的 定理定理( (有界性定理有界性定理) ) 若函数若函数f (x)当当x x0 0时极限存在，时极限存在，则必存在则必存在x0 0的某一邻域，使得函数的某一邻域，使得函数f (x)在该邻域内有界在该邻域内有界函数极限的性质函数极限的性质).0)(0)(,),(, 0),0(0,)(lim000 xfxfxUxAAAxfxx或或时时当当则则
17、或或且且若若定理定理( (保号性保号性) ).0(0),0)(0)(,),(, 0,)(lim000 AAxfxfxUxAxfxx或或则则或或时时当当且且若若推论推论无穷小无穷小:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.).0)(lim(0)(lim0 xfxfxxx或或记作记作绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.无穷大无穷大:).)(lim()(lim0 xfxfxxx或或记作记作在同一过程中在同一过程中, ,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小; ;恒不为恒不为零的无穷小的倒数为无穷大零的无穷小的倒数为无穷大. .无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的
18、关系2 2、无穷小与无穷大、无穷小与无穷大性质性质3 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和有限个无穷小的代数和仍是无穷小仍是无穷小.性质性质1 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.性质性质2 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.无穷小的运算性质无穷小的运算性质一、无穷小量一、无穷小量二、无穷小的性质二、无穷小的性质三、极限与无穷小的关系三、极限与无穷小的关系四、无穷大量四、无穷大量五、无穷小与无穷大的关系五、无穷小与无穷大的关系六、小节六、小节补充补充 无穷大与无穷小无穷大
19、与无穷小定义定义 若变量若变量Y在某过程下以零为极限，则称变量在某过程下以零为极限，则称变量Y在在此过程下为无穷小量，简称无穷小此过程下为无穷小量，简称无穷小.303lim00 xxxx ，是是例例1sinsinxxxx 0 0l l i i m m0 00 0，是是例例2时的无穷小量时的无穷小量.时的无穷小量时的无穷小量.因为因为所以所以因为因为所以所以一、无穷小量一、无穷小量例如函数例如函数 时的无穷小，但当时的无穷小，但当时不是无穷小。时不是无穷小。当当 时，时， 的极限不为零，所以当的极限不为零，所以当 时，函数时，函数 不是无穷小，而当不是无穷小，而当 时时是无穷小量。是无穷小量。应
20、该注意无穷小量是在某一过程中，以零为极应该注意无穷小量是在某一过程中，以零为极限的变量，而不是限的变量，而不是绝对值很小绝对值很小的数。因此应明确指的数。因此应明确指出其变化过程。出其变化过程。1x sin x 2x2xsin x0 x sin x ( )0f xxx是是(4) 有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小.(3)常量与无穷小的乘积仍为无穷小常量与无穷小的乘积仍为无穷小.(2) 有限个无穷小的乘积仍为无穷小有限个无穷小的乘积仍为无穷小.注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. . (1) (1) 有限个无穷小的代数和仍为
21、无穷小有限个无穷小的代数和仍为无穷小.二、无穷小的性质二、无穷小的性质定理定理 在自变量的同一变化过程中在自变量的同一变化过程中sin.xxx 0 01 1l li im m求求例例3limxxxx0 00000，即即 是是解解 |sin|,sinxx 1111 1 1 而而即即注意注意 这个极限不能用极限的四则运算法则求得，这个极限不能用极限的四则运算法则求得， 因为因为 不存在不存在.xx1sinlim0. 01sinlim0 xxx所以所以时的无穷小量时的无穷小量.为有界变量为有界变量,三、无穷小与函数极限的关系三、无穷小与函数极限的关系:证证 必要性必要性,)(lim0Axfxx 设设
22、,)()(Axfx 令令, 0)(lim0 xxx则有则有).()(xAxf 充分性充分性),()(xAxf 设设,)(0时的无穷小时的无穷小是当是当其中其中xxx )(lim)(lim00 xAxfxxxx 则则)(lim0 xAxx .A ).( )( )(lim00 xxxfxfxx或定义定义 在自变量在自变量x的某一变化过程中的某一变化过程中, ,若函数值的绝对若函数值的绝对值值 无限增大，则称无限增大，则称 f( (x) )为此变化过程中的无为此变化过程中的无穷大量，简称无穷大穷大量，简称无穷大. .记作记作 )(xf四、无穷大量四、无穷大量特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无
23、穷大，负无穷大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注意注意 1.无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;3. 无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.)(lim. 20认为极限存在认为极限存在切勿将切勿将 xfxx简言之无穷小与无穷大的关系为：在自变量的简言之无穷小与无穷大的关系为：在自变量的同同 一一变化过程中，无穷大的倒数是无穷小变化过程中，无穷大的倒数是无穷小,无穷小无穷小(不不等于等于0)的倒数是无穷大的倒数是无穷大.定理定理 在自变量的同一变化过程中，若在自变量的同一变化过
24、程中，若f (x)为无穷大为无穷大,则则 为无穷小为无穷小;反之反之,若若f (x)为无穷小且为无穷小且f (x)不等于不等于0,则则 为无穷大为无穷大.)(1xf)(1xf xx1lim001lim xx例如：例如：五、无穷小与无穷大的关系五、无穷小与无穷大的关系.xxx 2 22 21 11 1l i ml i m1 1求求.xxx 2 22 21 11 1 l i m l i m1 1由由定定理理知知以后，遇到类似例以后，遇到类似例6的题目，可直接写出结果的题目，可直接写出结果.例例4,xxx 2 22 21 11 1 l i m0 l i m01 1由由于于解解( )xf xx 1 1
25、1 1例例5 5考察考察 当当 时，时， 为无穷大量；为无穷大量；( )xf xx 1 11 11x 当当 时，时， 为无穷小量；为无穷小量； ( )xf xx 1 11 11 11x六、小结六、小结1、主要内容、主要内容: 两个定义两个定义; 定理定理.2、几点注意、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1） 无穷小（无穷小（ 大）是变量大）是变量,不能与很小（大）的数混不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；淆，零是唯一的无穷小的数；（2 2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小. .（3） 无
26、界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.定理定理. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中则则设设推论推论1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 则则为常数为常数而而存在存在如果如果.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 则则是正整数是正整数而而存在存在如果如果推论推论2 23 3、极限的性质、极限的性质4 4、求极限的常用方法、求极限的常用方法a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;
27、c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.求极限方法举例求极限方法举例例例2 2.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 321lim(232).xxx求求极极限限例例1. 12131223 解：原式解：原式小结小结: :则有则有设设,)(. 1110nnnaxaxaxf nnnaxaxa 10100).(0 xf 则有则有且且设设,
28、0)(,)()()(. 20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf ., 0)(0则商的法则不能应用则商的法则不能应用若若 xQ解解)32(lim21 xxx, 0 商的法则不能用商的法则不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得例例3 3.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx解解例例4 4.321lim221 xxxx求求.,1分母的极限都是零分母的极限都是零分子分子时时x.1后再求极限后再求极限
29、因子因子先约去不为零的无穷小先约去不为零的无穷小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型(消去零因子法消去零因子法)lim ().xx 1 11212lim.xxx 2 2 1 11 11 1求求练习练习()()limlimxxxxxxx 2 2 1 1 1 11111111111解解lim().xxx 3 31 113131111求求lim()limxxxxxxx 2 23 33 31 11 11 13 31 1 3 31 11 11 1解)1)(1()2)(1(lim21 xxxxxx . 11112112lim22
30、1 xxxx 220.lim11xxx例求222011limxxxx（）2222220011limlim111111xxxxxxxx（）解：（） （）20lim11xx（）=-2分母有理化，分子有理化分母有理化，分子有理化2lim1xxxx 解：2222()11lim1lim1xxxxxxxxxxxx 22221limlim11xxx xxxxxxx 2121()111limlim211(1)xxxxxxxx 例例5 5.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的极限都是无穷大分母的极限都是无穷大分子分子时时 x)(型型 .,3再求极限再求极限分出无穷小分出无穷小去除分子分母去除
31、分子分母先用先用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 (无穷小因子分出法无穷小因子分出法).21lim32 xxxx求求. 021111lim21lim32332 xxxxxxxxx例例6，然后再求极限，得，然后再求极限，得分母同时除以分母同时除以分子分子, ,3x解解小结小结: :为非负整数时有为非负整数时有和和当当nmba, 0, 000 , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当当当当无穷小分出法无穷小分出法: :以分母中自变量的最高次幂除分以分母中自变量的最高次幂除分子子,分母分母,以分出无穷小以分出
32、无穷小,然后再求极限然后再求极限.lim.xxxx 2 22 221212 2求求练习练习limlim.xxxxxxxx 2 22 22 22 211112 221212 22 22 21 1解解例例7 7).21(lim222nnnnn 求求解解是无穷小之和是无穷小之和时时, n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先变形再求极限先变形再求极限.例例8 8.sinlimxxx 求求解解,1,为无穷小为无穷小时时当当xx .sin 是有界函数是有界函数而而x. 0sinlim xxxxxysin 例例9 9).(lim,0
33、, 10,1)(02xfxxxxxfx 求求设设yox1xy 112 xy解解两两个个单单侧侧极极限限为为是是函函数数的的分分段段点点 ,0 x)1(lim)(lim00 xxfxx , 1 )1(lim)(lim200 xxfxx, 1 左右极限存在且相等左右极限存在且相等,. 1)(lim0 xfx故故说明：说明：1 什么情况下，需要分别求左右极限什么情况下，需要分别求左右极限（）求分段函数连接点处的极限（）求分段函数连接点处的极限 （）（）被考虑的函数中，含有某些项其左右极限不相等被考虑的函数中，含有某些项其左右极限不相等 .下列几个极限不存在下列几个极限不存在1100limsin ,l
34、imcosxxxx100limarctan ,limxxxxe一个重要的结论一个重要的结论( ), ( )lim0lim,f xAg xB若若则有( )( )( )( )limlimlimg xg xf xf x 例题(+1)2220limxxx 求求(+1) 10200limlim2xxxx 解解： ， （2）2）=2=2(+1)22220lim11xxx 由由定定理理得得 练习：练习： P1920 1准则准则 如果当如果当),(00rxUx (或或Mx )时时,有有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)(0
35、xfxxx 存在存在,且等于且等于A.5 5、判定极限存在的准则、判定极限存在的准则准准则则 单单调调有有界界数数列列必必有有极极限限.(夹逼准则夹逼准则)(1)1sinlim0 xxx(2)exxx )11(limexxx 10)1(lim; 1sinlim 某过程某过程.)1(lim1e 某过程某过程6 6、两个重要极限、两个重要极限sinlimxxx00sin( )lim1,lim( )0( )xxf xf xf x其中=0注意：注意：(1)1sinlim0 xxx. 1tanlim0 xxx求例例1)cos1sin(limtanlim 00 xxxxxxx解解. 1cos1limsin
36、lim00 xxxxx1coslim0此题中用到此题中用到 xxxxx55sinlim50. 515 .5sinlim0 xxx求例例2xxxxxx55sin5lim5sinlim 00解解例例3 3.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 21 cos2sin2xx利用三角公式：练习：练习：20sin 3limxxxx 00222200sin 3sin 33limlim3xxxxxxxxxxxx2200sin 3limlim 31 333xxxxxxx 解答：解答：(
37、2)exxx )11(lim1特点： 的形式 互为倒数( )lim,lim( )( )f xxxef xf x 1（1+）其中( )00lim( ),lim( )0f xxxf xef x1（1+）其中注意：注意：例例4 4解解.1e 练习：练习：3lim(1) .xxx求1lim(1) .xxx求11lim(1)xxx1e11lim(1)xxx原式或或10lim(12 )xxx1112200lim(12 )lim(12 )xxxxxxxx解： 12120lim (12 )xxxxx 2e例题例题01lim2120lim(12 )xxxxxx( )( )( )( )limlimlimg xg
38、xf xf x 例例5 5.)23(lim2xxxx 求求解解.2e 2231lim()lim(1)22xxxxxxx1(2)221lim(1)2xxxxx122(2)1lim (1)2xxxxx1lim22(2)1lim(1)2xxxxxx( )( )( )( )limlimlimg xg xf xf x );(, 0lim)1( o记作记作高阶的无穷小高阶的无穷小是比是比就说就说如果如果定义定义: :. 0, 且且穷小穷小是同一过程中的两个无是同一过程中的两个无设设;),0(lim)2(是同阶的无穷小是同阶的无穷小与与就说就说如果如果 CC;, 1lim 记作记作是等价的无穷小是等价的无穷
39、小与与则称则称如果如果特殊地特殊地7 7、无穷小的比较、无穷小的比较定理定理(等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理).limlim,lim, 则则存在存在且且设设.),0, 0(lim)3(无穷小无穷小阶的阶的是是是是就说就说如果如果kkCCk 8、等价无穷小的性质、等价无穷小的性质几个重要的等价无穷小： 当0 x 时，sinxxtanxxarcsinxxtanarcxx2121 cosxxln(1) xx1xex(1)1xx例例.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 时时当当22021)2(limxxx 原式原式. 8 不能滥用等价无穷小代换
40、不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换. .注意注意例例.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx时时当当 30)2(limxxxx 原式原式. 0 解解,0时时当当 x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 错错 左右连续左右连续在区间在区间a,ba,b上连续上连续连续函数连续函数的的 性性 质质初等函数初等函数的连续性的连续性间断点定义间断点定义连连 续续 定定 义义0lim0 yx)()(lim00 xfxfxx 连续的连续
41、的充要条件充要条件连续函数的连续函数的运算性质运算性质非初等函数非初等函数的连续性的连续性 振荡间断点振荡间断点 无穷间断点无穷间断点 跳跃间断点跳跃间断点 可去间断点可去间断点第一类第一类 第二类第二类定义定义1 1 设函数设函数)(xf在点在点0 x的某一邻域内有定义的某一邻域内有定义, ,如果当自变量的增量如果当自变量的增量x 趋向于零时趋向于零时, ,对应的函数对应的函数的增量的增量y 也趋向于零也趋向于零, ,即即0lim0 yx 或或 0)()(lim000 xfxxfx那末就称函数那末就称函数)(xf在点在点0 x连续连续, ,0 x称为称为)(xf的连的连续点续点. .1 1、
42、连续的定义、连续的定义定义定义 2 2 设函数设函数)(xf在在)(0 xU 内有定义内有定义, ,如果如果函数函数)(xf当当0 xx 时的极限存在时的极限存在, ,且等于它在且等于它在点点0 x处的函数值处的函数值)(0 xf, ,即即 )()(lim00 xfxfxx 那末就称函数那末就称函数)(xf在点在点0 x连续连续. .连续连续在在0)(xxf从而，从而，则一定满足以下条件则一定满足以下条件存在存在)(lim)2(0 xfxx)()(lim)3(00 xfxfxx ;)()1(0处处有有定定义义在在点点xxf例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(处连续处连续在在试证函数试
43、证函数 xxxxxxf证证, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定义由定义2知知.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf),0()(lim0fxfx 21sin,0,( )0,0,0.xxf xxxx考察函数在处的连续性2.单侧连续单侧连续;)(),()0(,()(0000处左连续处左连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfxaxf 定理定理.)()(00处既左连续又右连续处既左连续又右连续在在是函数是函数处连续处连续在在函数函数xxfxxf.)(),()0(,),)(0000处右连续处右连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxf
44、xfxfbxxf )()(lim00 xfxfxx)()()()()(00limlimlim000 xfxfxfxfxfxxxxxx 3 3、连续的充要条件、连续的充要条件例例2 2.0, 0, 2, 0, 2)(连续性连续性处的处的在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右连续但不左连续右连续但不左连续 ,.0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf4.连续函数与连续区间连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上叫做在该区间上的的连续
45、函数连续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. , ,( ) , , ( )a bf xa ba bf x如果函数在区间上每一点都连续则称在闭区间上连续，并称是的连续区间。sin(,)yx 函数在区间内连续例如通俗的说即一笔划过通俗的说即一笔划过:)(0条件条件处连续必须满足的三个处连续必须满足的三个在点在点函数函数xxf;)()1(0处有定义处有定义在点在点xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或间断点或间断点的不连续点的不连
46、续点为为并称点并称点或间断或间断处不连续处不连续在点在点函数函数则称则称要有一个不满足要有一个不满足如果上述三个条件中只如果上述三个条件中只xfxxxf5 5、间断点的定义、间断点的定义1.跳跃间断点跳跃间断点.)(),0()0(,)(0000的跳跃间断点的跳跃间断点为函数为函数则称点则称点但但存在存在右极限都右极限都处左处左在点在点如果如果xfxxfxfxxf 例例.0, 0,1, 0,)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0为函数的跳跃间断点为函数的跳跃间断点 xoxy6 6、间断点的分类、间断点的分类
47、2.可去间断点可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的可去间断点的可去间断点为函数为函数义则称点义则称点处无定处无定在点在点或或但但处的极限存在处的极限存在在点在点如果如果xfxxxfxfAxfxxfxx 例例.1, 1,11, 10, 1,2)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 解解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f .0为函数的可去间断点为函数的可去间断点 x注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义, 则可使其变为连续点则
48、可使其变为连续点.如上例中如上例中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(处连续处连续在在则则 xxxxxxfoxy112跳跃间断点与可去间断点统称为跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点第一类间断点.特点特点: :.,0右极限都存在右极限都存在处的左处的左函数在点函数在点x可去型可去型第一类间断点第一类间断点跳跃型跳跃型0yx0 x0yx0 x3.第二类间断点第二类间断点.)(,)(00的第二类间断点的第二类间断点为函数为函数则称点则称点在在右极限至少有一个不存右极限至少有一个不存处的左、处的左、在点在点如果如果xfxxxf例例.0, 0, 0,1)(处的连续性处的连续性在在讨论
49、函数讨论函数 xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f.1为函数的第二类间断点为函数的第二类间断点 x.断点断点这种情况称为无穷间这种情况称为无穷间例例.01sin)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy1sin ,0处没有定义处没有定义在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0为第二类间断点为第二类间断点 x.这种情况称为振荡间断点例例)1()(22 xxxxxf解解 函数在函数在x= -1 , x = 0 , x = 1处没有定义处没有定义所以所以x= -1 , x = 0 , x = 1是函数的间断点是函数的间断点221lim(1)xxxxx
50、 所以所以x = - -1是函数的无穷间断点是函数的无穷间断点22221(1)(1)0001(1)(1)000lim()limlim1lim()limlim1xxxxxxxxxxxxxxxxfxfx 所以所以x= 0是函数的跳跃间断点是函数的跳跃间断点()()2211(1)2(1)111lim( )limlimxxxx xxxxf x 所以所以x= 1是函数的可去间断点是函数的可去间断点()20 (1 )21 (12 )1(2 )xyxxxx 解解分界点为分界点为 x =1,=1,x =2=2, 00lim)(lim11 xxxf（i i）当）当 x=1=1时时 所以所以 x= 1 是函数的跳